2013高考数学(理)一轮复习试题：9-9.doc

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A级　基础达标演练
(时间：40分钟　满分：60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的是(　　)．
A．一条直线和一条双曲线 B．两条双曲线
C．两个点 D．以上答案都不对
解析　(x－y)2＋(xy－1)2＝0⇔
∴或
答案　C
2．(2012·厦门模拟)已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　)．
A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线
解析　由已知：|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，故选D.
答案　D
3．设P为圆x2＋y2＝1上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，若＝λ(其中λ为正常数)，则点M的轨迹为(　　)．
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
解析　设M(x，y)，P(x0，y0)，则Q(x0,0)，
由＝λ得(λ＞0)，
∴
由于x20＋y20＝1，∴x2＋(λ＋1)2y2＝1，∴M的轨迹为椭圆．
答案　B
4．(2012·长春模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为
(　　)．
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
解析　M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，
∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，
∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案　D
5．(2011·湘潭模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　)．

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
解析　由条件知|PM|＝|PF|.
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.
∴P点的轨迹是以O、F为焦点的椭圆．
答案　A
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程是________．
解析　＝－(－2，y)＝，
＝(x，y)－＝，
∵⊥，∴·＝0，
∴·＝0，即y2＝8x.
∴动点C的轨迹方程为y2＝8x.
答案　y2＝8x
7．(2012·佛山月考)在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B，C(a>0)，且满足条件sin C－sin B＝sin A，则动点A的轨迹方程是________．
解析　由正弦定理：－＝×，
∴|AB|－|AC|＝|BC|，且为双曲线右支．
答案　－＝1(x>0且y≠0)
8．直线＋＝1与x、y轴交点的中点的轨迹方程是______．
解析　(参数法)设直线＋＝1与x、y轴交点为A(a,0)、B(0,2－a)，A、B中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1，∵a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1.
答案　x＋y＝1(x≠0，x≠1)
三、解答题(共23分)
9．(★)(11分)设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
解　法一　直接法．
如图，设OQ为过O点的一条弦，P(x，y)为其中点，
则CP⊥OQ.因OC中点为M，连接PM.
故|MP|＝|OC|＝，得方程2＋y2＝，由圆的范围知0＜x≤1.
法二　定义法．
∵∠OPC＝90°，
∴动点P在以点M为圆心，OC为直径的圆上，由圆的方程得2＋y2＝(0＜x≤1)．
法三　代入法．
设Q(x1，y1)，则
⇒又∵(x1－1)2＋y21＝1，
∴(2x－1)2＋(2y)2＝1(0＜x≤1)．
法四　参数法．
设动弦OQ的方程为y＝kx，代入圆的方程得(x－1)2＋k2x2＝1.
即(1＋k2)x2－2x＝0，
∴x＝＝，y＝kx＝，消去k即可得到(2x－1)2＋(2y)2＝1(0＜x≤1)．
【点评】 本题中的四种解法是求轨迹方程的常用方法，在求轨迹方程时，要注意挖掘题目中的条件，恰当地选取方法.
10．(12分)(2012·苏州模拟)已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求·的最小值．
解　(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离， ∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，
∴动点C的轨迹方程为x2＝4y.
(2)由题意知，直线l2方程可设为y＝kx＋1(k≠0)，
与抛物线方程联立消去y，得x2－4kx－4＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
又易得点R的坐标为，
∴·＝·
＝＋(kx1＋2)(kx2＋2)
＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋4
＝－4(1＋k2)＋4k＋＋4
＝4＋8.
∵k2＋≥2，当且仅当k2＝1时取等号，
∴·≥4×2＋8＝16，即·的最小值为16.
B级　综合创新备选
(时间：30分钟　满分：40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x>3) D.－＝1(x>4)
解析　如图|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，
实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．
答案　C
2．|y|－1＝表示的曲线是(　　)．
A．抛物线 B．一个圆
C．两个圆 D．两个半圆
解析　原方程等价于
⇔
⇔或
答案　D
二、填空题(每小题4分，共8分)
3．(2012·开封模拟)已知P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，则动点Q的轨迹方程是______________．
解析　由＝＋，
又＋＝＝2＝－2，
设Q(x，y)，则＝－＝－(x，y)
＝，
即P点坐标为，又P在椭圆上，
则有＋＝1，即＋＝1.
答案　＋＝1
4．已知两条直线l1：2x－3y＋2＝0和l2：3x－2y＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l1、l2都相交，且l1、l2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是____________．
解析　设动圆的圆心为M(x，y)，半径为r，点M到直线l1，l2的距离分别为d1和d2.
由弦心距、半径、半弦长间的关系得，
即
消去r得动点M满足的几何关系为d22－d21＝25，
即－＝25.
化简得(x＋1)2－y2＝65.
此即为所求的动圆圆心M的轨迹方程．
答案　(x＋1)2－y2＝65
三、解答题(共22分)
5．(10分)已知双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的两个动点．
(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；
(2)若过点H(0，h)(h＞1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值．
解　(1)由题设知|x1|＞，A1(－，0)，A2(，0)，
则有直线A1P的方程为y＝(x＋)，①
直线A2Q的方程为y＝(x－)．②
联立①②解得交点坐标为x＝，y＝，
即x1＝，y1＝，③
则x≠0，|x|＜.
而点P(x1，y1)在双曲线－y2＝1上，
∴－y21＝1.
将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为
＋y2＝1，x≠0且x≠±.
(2)设过点H(0，h)的直线为y＝kx＋h(h＞1)，
联立＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.
令Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0得h2－1－2k2＝0，
解得k1＝ ，k2＝ －.
由于l1⊥l2，则k1k2＝－＝－1，故h＝.
过点A1，A2分别引直线l1，l2通过y轴上的点H(0，h)，且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，
由×＝－1，得h＝.此时，
l1，l2的方程分别为y＝x＋与y＝－x＋，
它们与轨迹E分别仅有一个交点与.
所以，符合条件的h的值为或.

6．(12分)设椭圆方程为x2＋＝1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，点P满足＝(＋)，点N的坐标为，当直线l绕点M旋转时，求：
(1)动点P的轨迹方程；
(2)||的最大值，最小值．
解　(1)直线l过定点M(0,1)，设其斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，A、B的坐标满足方程组
消去y得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0.
则Δ＝4k2＋12(4＋k2)>0.
∴x1＋x2＝－，x1x2＝.
设P(x，y)是AB的中点，则＝(＋)，得

消去k得4x2＋y2－y＝0.
当斜率k不存在时，AB的中点是坐标原点，也满足这个方程，
故P点的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0.
(2)由(1)知4x2＋2＝
∴－≤x≤
而|NP|2＝2＋2
＝2＋
＝－32＋，
∴当x＝－时，||取得最大值，
当x＝时，||取得最小值.