山东师范大学2006-2007学年第二学期期末.doc

山东师范大学2006-2007学年第二学期期末考试试题答案及评分标准

课程编号：4081102 课程名称：数学分析 适用年级：2006 学制:_4_ 适用专业：应用数学\信息计算 试题类别：(A)

一、单项选择题：（本题共5小题，每小题2分，共10分）
1. 若 则等于 ( A )
A. B. C. D.
2. 使得瑕积分收敛的的值为 （ B ）
A. B. C. D.
3. 已知级数 则级数等于 （ C ）
A. 3 B. 7 C. 8 D. 9
4. 若级数在处收敛, 则此级数在处 ( B )
A. 条件收敛 B. 绝对收敛 C. 发散 D. 敛散性不确定
5. 设, 其中
则等于 ( D )

A. B. C. D.
二、填空题：（本题共8小题10个空格，每空2分，共20分）
1. 实数完备性的六个基本定理为: 单调有界定理, _确界原理, 聚点定理, 区间套定理, 有限覆盖定理, 柯西收敛准则;
2. 数列的上﹑下极限分别为_2____, ____0____;
3. 计算不定积分;
4. 设 则;
5. 级数的和为;
6. 级数的收敛域为[0, 2)____;
7. 函数展成的幂级数为
8. 使得级数条件收敛的的值为;
三、判断下列反常积分的敛散性, 若收敛是条件收敛还是绝对收敛(本题共4小题，共20分）
1．
解: 对 有;
而 单调趋于0 , 故由狄利克雷判别法推知
无穷积分是收敛的. 3’
由于
其中 满足狄利克雷判别法的条件, 是收敛的,
而是发散的. 5’
因此无穷积分是条件收敛的. 6’
2.
解: 由于
由于, 3’
因此由比较判别法知是发散的. 4’
3.
解: 此瑕积分的瑕点为. 当取时, 有
,
所以瑕积分收敛. 4’

因为在上恒为负, 从而此瑕积分收敛与绝对收敛是等价的, 因此
瑕积分是绝对收敛的. 6’

4.

解: 此瑕积分的瑕点为. 且
. 2’

由于知积分发散, 从而积分是发散的
于是 积分是发散的. 4’

四、（本题共2小题，每小题10分，共20分）
1. 级数当为何值时是绝对收敛, 条件收敛或发散的?
解: (1) 当时, 由于

因此级数是绝对收敛的. 3’

(2) 当时, 考虑函数. 由于

因此当充分大时, . 从而当充分大时, 单调递增, 由此推出, 当充分大时, 单调递减. 又因为 ,
所以级数是收敛的.
另一方面, 因此级数非绝对收敛. 从而当时, 级数是条件收敛的. 7’

(3) 又显然当时, , 从而级数是发散的. 9’

综上所述, 得: 当时, 级数绝对收敛; 当时, 级数条件收敛; 当时,
级数发散. 10’

2. 设 证明函数项级数在上一致收敛, 并讨论其和函数在上的连续性、可积性与可微性.
证明： 对每一个， 易见为上增函数， 故有

又当时， 有不等式 所以

以收敛级数为的优级数， 推得在上一致收敛. 4’
由于每一个在上连续, 根据和函数的连续性定理与逐项可积定理知, 的和函数在上连续且可积. 6’

又由
即收敛级数也是的优级数， 推得也在上一致收敛.
9’

由逐项可微定理知 在上可微. 10’
五、(本题共两小题，每小题7分，共14分)
1. 求函数在处的幂级数展开式, 并确定它收敛于该函数的区间.
解: 因为在内能展开为麦克劳林级数
。 2’

所以,
6’
从而幂级数收敛于该函数的区间是. 7’

2. 把函数在上展开成余弦级数, 并推出 .
解: 为把展成余弦级数, 对作偶式周期延拓, 由公式知

4’

根据收敛定理, 在区间上
6’

当时, 由收敛定理可得

从而有 . 7’

六、(本题共两小题，每小题8分，共16分)
1. 设 为等比数列(公比满足), 试求:
(1) 幂级数的收敛半径; (2) 数项级数的和.
解: (1) 设 为等比数列(公比满足), 则
, 从而有
所以 幂级数的收敛半径. 4’

(2) 由于数项级数,

, 6’

对于级数, 因为 , 所以级数收敛.
令 则有

所以 , 从而
因此数项级数的和为. 8’

2. 求幂级数的和函数
解: (1) 先求幂级数的收敛域. 因为

所以
又当时, 相应的级数
与
都收敛, 从而该幂级数的收敛域为. 3’

(2) 再求幂级数在其收敛区间上的和函数, 下面用逐项求导法来求解.
设
则有
再设
又有
于是对上式两边进行积分, 得到

并有
再进行积分, 又得
6’

(3) 最后讨论幂级数在其收敛域上的和函数, 因为函数

在处左连续, 而幂级数在处收敛, 所以等式

在处也成立. 又
所以原幂级数的和函数为
8’

8