概率论基础阶导数应用笔记.doc

一阶导数应用1、函数的极值P82，定义：如在邻域内，恒有， ，则称为函数的一个极大（小）值。可能极值点， 不存在的点与的点。（驻点）驻点 极值点极小值极大值判别方法P82，、导数变号。 、，例1、 设满足关系式，且, ，则在点处 A A、取得极大值 B、取得最小值 C、在某邻域内单增D、在某邻域内单减例2、 已知函数对一切满足 如，则 A A、 是的极小值B、是的极大值 C、是曲线的拐点 D、不是的极值，也不是曲线 的拐点例3、 设函数在的某邻域内可导，且， ，则是的极 大 值。2、函数的最大值与最小值(1) 求出内可能的极值点，不需判别极大还是极小，求出它们的函数值，再与端点的函数值进行比较，其中最大的（小）为最大（小）值。(2)在内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值 如是极大值则为最大值(3)如分别为最小, 最大值(4)实际问题据题意可不判别。 例1、 在抛物线上的第一象限部分求一点P，过P点作 切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小。解：设切点为，切线方程为即 三角形面积： ，令（唯一） 故 为所求点3、曲线的凹凸、拐点及渐近线 在I上可导 如则曲线是凹（凸）的, 在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。 可能的拐点和不存在的点例1、 设，试讨论的性态。 x(-,-2)-2(-2,0)0(0,1)1(1,+ )y+0-间断+0+y-0+y 单调增上凸极大值 单减上凸单增上凸拐点(1,0) 单增下凸渐近线如则称为水平渐近线如 则称为垂直渐近线例2、求渐近线（斜渐近线不讨论）解： 为水平渐近线 垂直渐近线例4、 曲线的渐近线有 4 条4证明不等式（1）利用中值定理（R，L）；（2）利用函数单调性；（3）利用最值；（4）引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式；（5）利用函数凹凸性；（6）利用泰勒公式。例1、当，试证： 即证： 设，在连续，可导， 由拉格朗日中值定理 ，即 例2、设，证明证： 设单增，当 设 单增，当 例3、当证明 证： 令 驻点唯一， 极小 为最小值 即 例4、 P91 ， 习题22 当 证明 证: 设 令 , 驻点唯一 , 当 , 在上最大值为 ,最小值为 例5、 设，证明证明：即 证 设 ， 时 单减 当 即 例6、 设在上可导，且单调减， 证明： ， 证： 令 单调减 ， ， ，即单调减 ， 即