陈湘平(异曲同工的几道探究题赏析).doc

异曲同工的几道探究题赏析
广东省珠海市第四中学（519015）陈湘平
在现行的新教材七年级数学上册安排了线（直线、线段、射线）和角的有关内容，其中涉及到有关有多少条线段、有多少个角等数数的探究性问题，细究一番，发现了其异曲同工之妙。
D
C
B
A
例1 如图所示，共有多少条线段？如果线段上共有n个点（包括端点），则共有多少条线段？　　　　　　　　　　　　　

解：(1)易知上图中的线段有AC，AD，AB；CD，CB；DB共6条。
(2)我们先从简单的情形入手：
A
B
线段AB
A
B
C
　　　　　　　　　　线段AB，AC；BC
D
B
A
C
　　　　　　　　　　线段AB，AC，AD；BC，BD；CD

如果用表格来整理的就不难观察、推理出问题的答案：
线段上的点数（包括端点）
线段的条数
2
1=1
3
3=1+2
4
6=1+2+3
C
……
……
n
？＝1+2+3+……+（n-1）

　　以此类推，如果线段上共有n个点（包括端点），则共有1+2+3+……+（n-1）条线段。

D
C
B
O
A
例2 如图所示，共有多少个角？如果由一个点出发共有n个射线，则共有多少个角？

解：（1）右图的角有∠AOB，∠AOC，∠AOD；∠BOC，∠BOD；∠COD共6个。
B
O
A
(2)我们先从简单的情形入手：
B
A
C
O
∠AOB

D
C
B
O
A
∠AOB, ∠AOC；∠BOC

　　　　　　　　　∠AOB，∠AOC，∠AOD；∠BOC，∠BOD；∠COD　　　　　
同样可以用表格来整理观察、推理出问题的答案：
射线条数
角的个数
2
1=1
3
3=1+2
4
6=1+2+3
C
……
……
n
？＝1+2+3+……+（n-1）

　　同理，如果由一个点出发共有n个射线，则共有1+2+3+……+（n-1）个角。
例3 两条直线相交，有一个交点，三条直线相交，最多有多少个交点？四条直线呢？你能发现什么规律或有什么猜想？
解：如下图所示易知：

（1） 三条直线相交，最多有三个交点；
（2） 四条直线相交，最多有六个交点；
与上两例同，不难得到如果有n个直线相交，则最多有1+2+3+……+（n-1）个交点。

例4 一条直线可以把平面分为两个部分，两条直线最多可以把平面分为四个部分，那么三条直线最多可以把平面分为几个部分？四条直线呢？你能发现什么规律或有什么猜想？
　　解：如下图所示易知：

(1) 一条直线可以把平面分为两个部分;
(2) 两条直线最多可以把平面分为四个部分;
(3) 三条直线最多可以把平面分为七个部分；
(4) 四条直线最多可以把平面分为十一个部分。
相交直线条数
最多分平面得的部分数
1
2=1+1
2
4=1+1+2
3
7=1+1+2+3
4
11=1+1+2+3+4
C
……
……
n
？＝1+1+2+3+……+（n-1）+n

按照上面例子的分析方法，不难得到如果有n个直线相交，则最多可以把平面分为1+1+2+3+……+（n-1）+n个部分。
可以看到，这四道题异曲同工，如出一辙。异曲同工的背后，其实是跟高等数学中的排列组合是紧紧联系在一起的。
如例1，其实只要有两个点就可以组成一条线段（不用考虑端点的次序，即线段AB与线段BA是一样的，只能算是一条线段），所以共有C＝＝6条线段，因此如果线段上共有n个点（包括端点），则共有C＝条线段，其实＝1＋2＋3＋……+（n-1）。例2与例1同。
又如例3，不难知道，要想直线与直线有最多交点，意即任意两条直线都要相交而且任意三条直线不能相交于一点，因为每两条直线都有一个交点，所以n条直线相交最多有C＝个交点，其实＝1＋2＋3＋……+（n-1）。按照上面三个例子的分析方法，就容易找到例4的答案。
中科院院士、北京师范大学原校长王梓坤教授曾说：“我们不应该像蚂蚁，单只收集；也不可像蜘蛛，只从自己肚中抽丝；而应该像蜜蜂，既采集，又整理，这样才能酿出香甜的蜂蜜来。” 上面的几道探究题，渗透了高等数学中的排列组合知识，通过类比、整理，可以很好地激发学生的求知欲和研究数学的兴致，在教学中应注意把握、利用。