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带积分型余项的泰勒公式及其应用

吴洁

定理 设在点的邻域内有连续的阶导数，则，有
，
其中。
证 从 可得：
，，。
逐次积分，得

。
注：（1）对右边用积分中值定理，有

，
其中介于与之间，这就是拉格朗日型余项。
（2）将余项中的被积函数看成一整体，用积分中值定理，有

（介于与之间）
（）
这是柯西型余项。
（3）由于积分型余项中不含中值，因此带积分型余项的泰勒公式常用于比较精确的表达式中。

例1 证明：对于每个整数都有。（普特兰第35届B-5）（注：可以利用以及）
证：由提示可知，即证或，
即 。
对右边换元：令，则，
于是即证，亦即。
注意到被积函数非负，因此成立，为此对左边换元：令（，），则；右边被积函数相应也变成关于与的函数，但积分区间为，为此令，则
，因此所证等式等价于
（）
如果能证明，则上式成立，亦即原不等式成立。
由于，
令，则，当时，

所以在上单调增加，从而当时，。

带积分型余项的泰勒公式可改写为

因此，当被积函数某一函数乘以（积分上限—积分变量）的高次幂时，可考虑用上述公式。
例1 计算（为正整数）
解 设，则，于是
。
例2 计算（为正整数，）。
解 设，则，于是

。
例3 计算。
解 。