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专题一 第五讲 导数及其应用
一、利用导数研究曲线的切线
例1.已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 .
解析：由得：
即，∴∴，
∴切线方程，即.
例2. 已知曲线，过原点的直线与曲线相切，求直线的方程.
答案：或
注意：“在点A处的切线”与“过点A的切线”的区别
二、利用导数研究函数的单调性
例3.（2010·山东）已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，讨论的单调性.
解：（1） 当
因此，,又
所以曲线

（2）因为,所以
,令
①当时，所以
当时，>0，此时，函数单调递减；
当时，<0，此时，函数单调递增.
②当时，由，即，解得.
当时， ， 恒成立，此时，函数在（0，+∞）上单调递减;
当时， ，
时，,此时,函数单调递减
时，<0,此时,函数单调递增
时，，此时，函数单调递减
当时，由于,
时，,此时,函数单调递减；
时，<0,此时,函数单调递增.
综上所述
当时，在上单调递减;函数在上单调递增
当时,在上单调递减
当时，在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减.
三、利用导数研究函数的极值与最值
例4．函数在处有极值，则点为 ．
答案：（-4,11）
四、利用导数研究函数的图象
例5．设函数若关于的方程在上恰有两个相异实根，求实数的取值范围．
解：依题意，得在区间[O，2]上恰有两个相异实根．
令，
则
当时，当
在上是减函数，在上是增函数．
又只要
如图，即，可以使方程在区间上恰有两个相异实根，
故的取值范围是
五、利用导数证明不等式
例6．已知直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为．
（1）求直线的方程及的值；
（2）若（其中是的导函数），求函数的最大值；
（3）当时，求证：．
解：(1)依题意知，直线是函数在点处的切线，故其斜率
所以直线的方程为又因为直线与的图像相切，所以由
得
不合题意，舍去）
(2)因为，
所以
当时当时
因此在上单调递增，在上单调递减．
因此，当时取得最大值
(3)当时.由(2)知：当O时即
因此，有.
例7．(1)已知，试求函数的最小值；
（2）若，求证：.
解：（1）对于函数，
求导得，由得，
当时，，函数是递减函数；
当时，，函数是递增函数；
所以当时，函数.
（2）由第（1）题得：
从而，，，
三式相加得：
变题：
由（1）知：，从而，，
，三式相加，结合得：
.
联想：
在三角函数中，有公式，因此，若，且，则.
类比：
若，则

专题一 第五讲 导数及其应用
班级_________________姓名____________________
一、填空题：
1．如图所示，有一圆锥形容器，其底面半径等于圆锥的高，若以的速度向该容器注水，则水深时水面上升的速度为

2．等比数列中，，，函数，则=_________.
3．已知函数满足则函数
的图象在处的切线方程为 ．
4．已知曲线上的一点则过点P的切线方程为 ．
5．若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则______.
6．若函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，则实数的取值范围为 ．
7．关于的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是 ．
8．设函数若恒成立，则实数的取值范围是 ．
9．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数 的取值范围是 ．
10．已知函数直线若当时，函数的图象在直线的下方，则实数c的取值范围为 ．
11．函数在定义域内可导，若，且当时，，设，，，则的大小关系为_________.
12．设函数(n为正整数)，则在［0,1］上的最大值为 ．

二、解答题：
13．已知函数的导数为实数，
（1）若在区间上的最小值、最大值分别为，求的值；
（2）在（1）的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程．

14．已知函数()=ln(1+)-+，(≥0).
（1）当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；
（2）求()的单调区间.

15．已知．
（1）求函数在上的最小值；
（2）对一切恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明对一切，都有成立．

16．已知，点A(s,f(s)), B(t,f(t))
（1）若,求函数的单调递增区间；
（2）若函数的导函数满足：当|x|≤1时，有||≤恒成立，求函数的解析表达式；
（3）若0<a<b, 函数在和处取得极值，且,证明：与不可能垂直.

专题一 第五讲 导数及其应用答案
1． 2．212 3． 4．或
5．64 6． 7． 8． 9．
10． 11． 12.
13．(1)由已知得由，得
因为所以当时递增；
当时．递减．
所以在区间[-1，1]上的最大值为
又，故由题意得，即得故
(2)由(1)得点P(2，1)在曲线上，
①当切点为P(2，1)时，切线的斜率
故的方程为，即
⑦当点P不是切点时，设切点为，切线的斜率所以的方程为又点在上，所以
所以
整理并化简得因为，故所以切线的方程为
故所求切线的方程为或
(或者：由(1)知点A(O，1)为极大值点，所以曲线的点A处的切线为y=l，此切线恰好经过点P(2，1)，符合题意．）
14.（1）当时，，
由于，，
所以曲线在点处的切线方程为
即
（2），.
当时，.
所以，在区间上，；在区间上，.
故的单调递增区间是，单调递减区间是.
当时，由，得，
所以，在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是.
当时，，故的单调递增区间是.
当时，，得，.
所以在区间和上，；在区间上，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是
15．解：（1），……………………………………………………1分
当单调递减，当单调递增 …2分
①，即时，
； …………………………………………………4分
②，即时，上单调递增，；5分
所以 …………………………………………………6分
（2），则，………………………………7分
设，则，
① 单调递减， ② 单调递增，
所以，对一切恒成立，所以；
………………………………………………10分
（3）问题等价于证明， ……………………………11分
由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到，
设，则，易知
，当且仅当时取到， ………………………………13分
从而对一切，都有 成立 …………………………14分
16．解：(1) f (x)=x3-2x2+x, (x)=3x2-4x+1, 因为f(x)单调递增，所以(x)≥0，
即 3x2-4x+1≥0,解得，x≥1, 或x≤,故f(x)的增区间是(-∞，)和(1,+ ∞).
(2) (x)=3x2-2(a+b)x+ab.
当x∈[-1，1]时，恒有|(x)|≤. 故有≤(1)≤， ≤(-1)≤，
≤(0)≤, 即
①+②，得≤ab≤，又由③，得ab=，
将上式代回①和②，得 a+b=0,故f(x)=x3x.
(3) 假设⊥, 即= = st+f(s)f(t)=0,
(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1, [st-(s+t)a+a2][st-(s+t)b+b2]=-1,
由s，t为(x)=0的两根可得， s+t=(a+b), st=, (0<a<b),
从而有ab(a-b)2=9. 这样(a+b)2=(a-b)2+4ab = +4ab≥2=12，即 a+b≥2,
这样与a+b<2矛盾.故与不可能垂直.

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