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数值分析实验

董海云

数理学院数学实验教学中心

目 录
0 Matlab介绍入门知识 3
1 绪论 17
1.1 例题解答 17
1.2 Matlab中数值计算精度 20
2 线性方程组的直接解法 22
2.1 例题解答 22
2.2 Matlab解线性方程组常用命令介绍 36
3 线性方程组的迭代解法 38
3.1 例题解答 38
3.2 Matlab迭代解法用到的函数介绍 53
4 方阵特征值和特征向量的计算 55
4.1 例题解答 55
4.2 Matlab关于方阵特征值为特征向量函数介绍 62
5 非线性方程求根 64
5.1 例题解答 64
5.2 Matlab非线性方程求根的命令 85
6 插值法 86
6.1 例题解答 86
6.2 Matlab插值函数介绍 101
7 数据拟合和最佳平方逼近 103
7.1 例题解答 103
7.2 Matlab数据拟合命令介绍 113
8 数值积分与数值微分 114
8.1 例题解答 114
9 常微分方程数值解法 138
9.1 例题解答 138
9.2 Matlab常微分方程数值解常用命令介绍 154

0 Matlab介绍入门知识
1. Matlab简介
MATLAB的含义是矩阵实验室（MATRIX LABORATORY），主要用于方便矩阵的存取，其基本元素是无须定义维数的矩阵.MATLAB自问世以来,就是以数值计算称.MATLAB进行数值计算的基本单位是复数数组（或称阵列），这使得MATLAB高度“向量化”.经过十几年的完善和扩充，现已发展成为线性代数课程的标准工具.由于它不需定义数组的维数，并给出矩阵函数、特殊矩阵专门的库函数，使之在求解诸如信号处理、建模、系统识别、控制、优化等领域的问题时，显得大为简捷、高效、方便，这是其它高级语言所不能比拟的.MATLAB中包括了被称作工具箱（TOOLBOX）的各类应用问题的求解工具.工具箱实际上是对MATLAB进行扩展应用的一系列MATLAB函数（称为M文件），它可用来求解各类学科的问题，包括信号处理、图象处理、控制系统辨识、神经网络等.随着MATLAB版本的不断升级，其所含的工具箱的功能也越来越丰富，因此，应用范围也越来越广泛，MATLAB提供的工具箱已覆盖信号处理、系统控制、统计计算、优化计算、神经网络、小波分析、偏微分方程、模糊逻辑、动态系统模拟、系统辨识和符号运算等领域.当前它的使用范围涵盖了工业、电子、医疗、建筑等各行各业.MATLAB中包括了图形界面编辑GUI，让使用者也可以象VB、VC、VJ、DELPHI等那样进行一般的可视化的程序编辑.在命令窗口（matlab command window）键入simulink，就出现(SIMULINK) 窗口.以往十分困难的系统仿真问题，用SIMULINK只需拖动鼠标即可轻而易举地解决问题，这也是近来受到重视的原因所在.
MATLAB 语言由美国 The MathWorks 开发,最早是由C.Moler用Fortran语言编写的，用来方便地调用LINPACK和EISPACK矩阵代数软件包的程序.后来他创立了MATHHWORKS公司，对MATLAB作了大量的、坚持不懈的改进.Cleve B.Moler是The MathWork公司的主席和首席科学家.曾任密歇系教授.他在两个计算机硬件制造商Intel公司的Hypercube组织和Arden Computers 公司工作了五年.他的主要专业兴趣在于数值分析和科学计算.他是MATLAB软件的创始者，也是著名的矩阵计算软件包LINPACK和EISPACK的著作这一，已撰写了三本有相关数值方法的教材.同时，他在SIAM（美国工业与应用数学学会）历任期刊编辑、委员会成员和副总裁，并从1996年开始担任理事会成员.
2. Matlab入门知识
Matlab变量名是以字母开头，后接字母、数字或下划线的字符序列，最多63个字符.在MATLAB中，变量名区分字母的大小写.
赋值语句:
变量=表达式 或 表达式
其中表达式是用运算符将有关运算量连接起来的式子，其结果是一个矩阵.
clear命令用于删除MATLAB工作空间中的变量.who和whos这两个命令用于显示在MATLAB工作空间中已经驻留的变量名清单.who命令只显示出驻留变量的名称，whos在给出变量名的同时，还给出它们的大小、所占字节数及数据类型等信息.
利用MAT文件可以把当前MATLAB工作空间中的一些有用变量长久地保留下来，扩展名是.mat.MAT文件的生成和装入由save和load命令来完成.常用格式为：
save 文件名 [变量名表] [-append][-ascii]
load 文件名 [变量名表] [-ascii]
其中，文件名可以带路径，但不需带扩展名.mat，命令隐含一定对.mat文件进行操作.变量名表中的变量个数不限，只要内存或文件中存在即可，变量名之间以空格分隔.当变量名表省略时，保存或装入全部变量.-ascii选项使文件以ASCII格式处理，省略该选项时文件将以二进制格式处理.save命令中的-append选项控制将变量追加到MAT文件中.
(1) 向量的创建
用步长生成法：
数组=初值:步长(增量):终值
>> a=1:0.5:3
a =
1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000
用linspace生成：
数组=linspace(初值,终值,等分点数目)
>> b=linspace(1,3,5)
b =
1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000
列向量用分号（;）作为分行标记：
>> c=[1;2;3;4;]
c =
1
2
3
4
若不想输出结果，在每一条语句后用分号作为结束符，若留空或用逗号结束，则在执行该语句后会把结果输出来.
>> a+b;
>> a+b
ans =
2 3 4 5 6
(2) 矩阵的创建
直接输入:
最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素.具体方法如下：将矩阵的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序输入各元素，同一行的各元素之间用空格或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分隔.
>> A=[1 2 3;4 5 6;2 3 5]
A =
1 2 3
4 5 6
2 3 5
利用矩阵函数创建:
>> B=magic(3)%魔方阵
B =
8 1 6
3 5 7
4 9 2
>> C=hilb(3)%3阶Hilbert矩阵
C =
1.0000 0.5000 0.3333
0.5000 0.3333 0.2500
0.3333 0.2500 0.2000
Matlab中用%引导注释
其它创建矩阵函数还有:
eye(m,n):生成m行n列单位矩阵.
zeros(m,n):生成m行n列全零矩阵.
ones(m,n):生成全1矩阵.
rand(m,n):生成随机矩阵.
rand:生成一个随机数.
diag(A):取A的对角线元素.
tril(A):取A的下三角元素.
triu(A):取A的上三角元素.
hilb(n):生成n维Hilbert矩阵.
randn(n)：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵.
vander(V):生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵.
invhilb(n): 求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵.
toeplitz(x,y): 生成一个以x为第一列，y为第一行的托普利兹矩阵
compan(p): 生成伴随矩阵, p是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后.
pascal(n): 生成一个n阶帕斯卡矩阵.
compan: 生成伴随矩阵
(3) 矩阵运算
MATLAB的基本算术运算有：＋(加)、－(减)、*(乘)、/(右除)、\(左除)、^(乘方).
加法：
>> A+B
ans =
9 3 9
7 10 13
6 12 7
减法：
>> B-A
ans =
7 -1 3
-1 0 1
2 6 -3
乘法：
>> A*B
ans =
26 38 26
71 83 71
45 62 43
除法:
>> magic(3)/hilb(3)
ans =
1.0e+003 *
0.2160 -1.1760 1.1400
0.0570 -0.4080 0.4500
-0.2280 1.2240 -1.1400
在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算.点运算符有.*、./、.\和.^.两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同.
>> A.*B
ans =
8 2 18
12 25 42
8 27 10
MATLAB提供了6种关系运算符：<(小于)、<=(小于或等于)、>(大于)、>=(大于或等于)、==(等于)、～=(不等于).
>> A>B
ans =
0 1 0
1 0 0
0 0 1
MATLAB提供了3种逻辑运算符：&(与)、|(或)和～(非).
在逻辑运算中，确认非零元素为真，用1表示，零元素为假，用0表示.设参与逻辑运算的是两个标量a和b，那么，
a&b a,b全为非零时，运算结果为1，否则为0.
a|b a,b中只要有一个非零，运算结果为1.
～a 当a是零时，运算结果为1；当a非零时，运算结果为0.
3. 矩阵操作和矩阵函数
矩阵通过下标引用矩阵的元素，矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的排列顺序.在MATLAB中，矩阵元素按列存储，先第一列，再第二列，依次类推.
(1) 矩阵拆分
利用冒号表达式获得子矩阵.A(:,j)表示取A矩阵的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩阵第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩阵第i行、第j列的元素.A(i:i+m,:)表示取A矩阵第i～i+m行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取A矩阵第k～k+m列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩阵第i～i+m行内，并在第k～k+m列中的所有元素.
此外，还可利用一般向量和end运算符来表示矩阵下标，从而获得子矩阵.end表示某一维的末尾元素下标.
(2) 利用空矩阵删除矩阵的元素
在MATLAB中，定义[]为空矩阵.给变量X赋空矩阵的语句为X=[].
(3) 矩阵的转置
转置运算符是单撇号(‘).
(4) 矩阵的旋转
利用函数rot90(A,k)将矩阵A旋转90o的k倍，当k为1时可省略.
(5) 矩阵的左右翻转
对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，…，依次类推.MATLAB对矩阵A实施左右翻转的函数是fliplr(A).
(6) 矩阵的上下翻转
MATLAB对矩阵A实施上下翻转的函数是flipud(A).
(7) 方阵A的逆矩阵inv(A)
>> A=magic(3)
A =
8 1 6
3 5 7
4 9 2
>> B=inv(A)
B =
0.1472 -0.1444 0.0639
-0.0611 0.0222 0.1056
-0.0194 0.1889 -0.1028
>> A*B
ans =
1.0000 0 -0.0000
-0.0000 1.0000 0
0.0000 0 1.0000
(8) 方阵的行列式
>> det(A)
ans =
-360
(9) 矩阵的迹
>> C=trace(A)
C =
15
(10) 一些常用的基本初等三角函数
三角函数:sin(x),cos(x),tan(x)
反三角函数:asin(x),acos(x),atan(x)
指数函数:exp(x)
自然对数:log(x)
常用对数:log10(x)
以2为底的对数:log2(x)
开平方:sqrt(x)
绝对值:abs(x)
计算一般函数值:eval(f)
求虚部函数: imag(x)
求实部函数: real(x)
角相位函数:angle(x)
共轭复数函数:conj(x)
沿零方向取整 :fix (x)
舍入取整:round(x)
沿负无穷大方向取整:floor (x)
沿正无穷大方向取整:ceil(x)
求除法的余数: rem
符号函数:sign(x)
最大公约数:gcd()
4. 图形可视化
(1) 二维绘图指令plot
plot函数的基本调用格式为:
plot(x,y,)
其中x和y为长度相同的向量，分别用于存储x坐标和y坐标数据.
plot(x)
plot函数最简单的调用格式.当x是实向量时，以该向量元素的下标为横坐标，元素值为纵坐标画出一条连续曲线.实际上是绘制折线图.
plot(x1,y1,x2,y2,…,xn,yn)
当输入参数都为向量时，x1和y1，x2和y2，…，xn和yn分别组成一组向量对，每一组向量对的长度可以不同.每一向量对可以绘制出一条曲线，可以在同一坐标内绘制出多条曲线.
plotyy(x1,y1,x2,y2)
绘制出具有不同纵坐标标度的两个图形.
hold on/off
保持原有图形还是刷新原有图形,不带参数的hold命令在两种状态之间进行切换.
plot(x1,y1,选项1,x2,y2,选项2,…,xn,yn,选项n)
设置曲线样式进行绘图.
选项字段见下表:
表 Matlab常用线形与颜色标记表
符号
线型
符号
线型
符号
线型
颜色
含义
-
实线
.
实点标记
^
朝上三角
g
绿色
--
虚线
o
圆圈
<
朝左三角
r
红色
：
点线
X
叉字符
>
朝右三角
c
青色
-.
点划线
+
加号
p
五角星
m
洋红

*
星号
h
六角形
y
黄色

s
方块

k
黑色

d
菱形

w
白色

v
朝下三角

b
蓝色

(2) 图形标注:
title('图形名称'):图形标题
xlabel('x轴说明')
ylabel('y轴说明')
text(x,y,'图形说明')
legend('图例1','图例2',…)
gtext('用鼠标确定位置的字符说明')
(3) 坐标控制axis
axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax])
axis函数功能丰富，常用的格式还有：
axis equal：纵、横坐标轴采用等长刻度.
axis square：产生正方形坐标系(缺省为矩形).
axis auto：使用缺省设置.
axis off：取消坐标轴.
axis on：显示坐标轴.
grid on/off:网格开/关
box on/off:加/不加边框线

上述命令示例如下:
>> x=1:length(peaks);
>> plot(x,peaks);
>> box on;
>> title('绘制混合图形');
>> xlabel('X轴');
>> ylabel('Y轴');
绘制图像为:

(4) 二维数值函数的专用绘图函数fplot
fplot(functionname,[a,b],tol,选项)
其中functionname为函数名，以字符串形式出现，[a,b]为绘图区间，tol为相对允许误差，其系统默认值为2e-3.选项定义与plot函数相同.

>> fplot(@(x)[tan(x),sin(x),cos(x)], 2*pi*[-1 1 -1 1]);

(5) 二维符号函数曲线专用命令ezplot
f = f(x)时:
ezplot(f)：在默认区间-2π<x<2π绘制f = f(x)的图形.
ezplot(f, [a,b])：在区间a<x<b绘制f = f(x)的图形
f = f(x,y)时:
ezplot(f)：在默认区间-2π<x<2π和-2π<y<2π绘制f(x,y) = 0的图形.
ezplot(f, [xmin,xmax,ymin,ymax])：在区间xmin<x<xmax和ymin<y<ymax绘制f(x,y) = 0的图形
ezplot(f, [a,b])：在区间a<x<b和a<y< b绘制f(x,y) = 0的图形
若x = x(t),y = y(t):
ezplot(x,y)：在默认区间0<t<2π绘制x=x(t)和y=y(t)的图形.
ezplot(x,y, [tmin,tmax])：在区间tmin < t < tmax绘制x=x(t)和y=y(t)的图形

>> figure;ezplot('cos(tan(pi*x))',[ 0,1]);

(6) 图形窗口的分割subplot
subplot(m,n,p)
该函数将当前图形窗口分成m×n个绘图区，即每行n个，共m行，区号按行优先编号，且选定第p个区为当前活动区.在每一个绘图区允许以不同的坐标系单独绘制图形.
(7) 其他坐标系下的二维数据曲线图
对数坐标图形:
semilogx(x1,y1,选项1,x2,y2,选项2,…)
semilogy(x1,y1,选项1,x2,y2,选项2,…)
loglog(x1,y1,选项1,x2,y2,选项2,…)
极坐标图polar:
polar(theta,r,选项)
其中theta为极坐标极角，r为极坐标矢径，选项的内容与plot函数相似.
二维统计分析图:
bar(x,y,选项):条形图
stairs(x,y,选项):阶梯图
stem(x,y,选项):杆图
fill(x1,y1,选项1,x2,y2,选项2,…):填充图
(8) 三维曲线plot3
plot3(x1,y1,z1,选项1,x2,y2,z2,选项2,…,xn,yn,zn,选项n)
其中每一组x,y,z组成一组曲线的坐标参数，选项的定义和plot函数相同.当x,y,z是同维向量时，则x,y,z 对应元素构成一条三维曲线.当x,y,z是同维矩阵时，则以x,y,z对应列元素绘制三维曲线，曲线条数等于矩阵列数.

>> t=0:0.1:8*pi;
>> plot3(sin(t),cos(t),t);

(9) 产生三维数据
在MATLAB中，利用meshgrid函数产生平面区域内的网格坐标矩阵.其格式为：
[X,Y]=meshgrid(x,y);
语句执行后，矩阵X的每一行都是向量x，行数等于向量y的元素的个数，矩阵Y的每一列都是向量y，列数等于向量x的元素的个数.
(10) 绘制三维曲面的函数
surf函数和mesh函数的调用格式为:
mesh(x,y,z,c)
surf(x,y,z,c)
一般情况下，x,y,z是维数相同的矩阵.x,y是网格坐标矩阵，z是网格点上的高度矩阵，c用于指定在不同高度下的颜色范围.
(11) 标准三维曲面
sphere函数的调用格式为：
[x,y,z]=sphere(n)
cylinder函数的调用格式为：
[x,y,z]= cylinder(R,n)
MATLAB还有一个peaks 函数，称为多峰函数，常用于三维曲面的演示.
(12) 其他三维绘图指令介绍
bar3函数绘制三维条形图，常用格式为
bar3(y)
bar3(x,y)
stem3函数绘制离散序列数据的三维杆图，常用格式为：
stem3(z)
stem3(x,y,z)
pie3函数绘制三维饼图，常用格式为：
pie3(x)
fill3函数等效于三维函数fill，可在三维空间内绘制出填充过的多边形，常用格式为：
fill3(x,y,z,c)
5. 程序控制结构
(1)数据的输入:
A=input(提示信息，选项)
其中提示信息为一个字符串，用于提示用户输入什么样的数据.如果在input函数调用时采用's'选项，则允许用户输入一个字符串.
(2)数据的输出:
disp(输出项)
(3)程序的暂停:
pause(延迟秒数)
如果省略延迟时间，直接使用pause，则将暂停程序，直到用户按任一键后程序继续执行. 若要强行中止程序的运行可使用Ctrl+C命令.
(4)单分支if语句：
if 条件
语句组
end
当条件成立时，则执行语句组，执行完之后继续执行if语句的后继语句，若条件不成立，则直接执行if语句的后继语句.
(5) 双分支if语句：
if 条件
语句组1
else
语句组2
end
当条件成立时，执行语句组1，否则执行语句组2，语句组1或语句组2执行后，再执行if语句的后继语句.
(6) 多分支if语句：
if 条件1
语句组1
elseif 条件2
语句组2
……
elseif 条件m
语句组m
else
语句组n
end
语句用于实现多分支选择结构.
(7)switch语句:
switch 表达式
case 表达式1
语句组1
case 表达式2
语句组2
……
case 表达式m
语句组m
otherwise
语句组n
end
(8)try语句
语句格式为：
try
语句组1
catch
语句组2
end
try语句先试探性执行语句组1，如果语句组1在执行过程中出现错误，则将错误信息赋给保留的lasterr变量，并转去执行语句组2.
(9)for语句
for语句的格式为：
for 循环变量=表达式1:表达式2:表达式3
循环体语句
end
其中表达式1的值为循环变量的初值，表达式2的值为步长，表达式3的值为循环变量的终值.步长为1时，表达式2可以省略.
for语句更一般的格式为：
for 循环变量=矩阵表达式
循环体语句
end
执行过程是依次将矩阵的各列元素赋给循环变量，然后执行循环体语句，直至各列元素处理完毕.
(10)while语句
while语句的一般格式为：
while (条件)
循环体语句
end
其执行过程为：若条件成立，则执行循环体语句，执行后再判断条件是否成立，如果不成立则跳出循环.
(11)break语句和continue语句
与循环结构相关的语句还有break语句和continue语句.它们一般与if语句配合使用.
break语句用于终止循环的执行.当在循环体内执行到该语句时，程序将跳出循环，继续执行循环语句的下一语句.
continue语句控制跳过循环体中的某些语句.当在循环体内执行到该语句时，程序将跳过循环体中所有剩下的语句，继续下一次循环.
(12)循环的嵌套
如果一个循环结构的循环体又包括一个循环结构，就称为循环的嵌套，或称为多重循环结构.
(13)函数文件的基本结构
函数文件由function语句引导，其基本结构为
function 输出形参表=函数名(输入形参表)
注释说明部分
函数体语句
其中以function开头的一行为引导行，表示该M文件是一个函数文件.函数名的命名规则与变量名相同.输入形参为函数的输入参数，输出形参为函数的输出参数.当输出形参多于一个时，则应该用方括号括起来.
(14)函数调用
函数调用的一般格式是：
[输出实参表]=函数名(输入实参表)
注意的是，函数调用时各实参出现的顺序、个数，应与函数定义时形参的顺序、个数一致，否则会出错.函数调用时，先将实参传递给相应的形参，从而实现参数传递，然后再执行函数的功能.
在MATLAB中，函数可以嵌套调用，即一个函数可以调用别的函数，甚至调用它自身.一个函数调用它自身称为函数的递归调用.
(15)函数参数的可调性
在调用函数时，MATLAB用两个永久变量nargin和nargout分别记录调用该函数时的输入实参和输出实参的个数.只要在函数文件中包含这两个变量，就可以准确地知道该函数文件被调用时的输入输出参数个数，从而决定函数如何进行处理.
(16)全局变量与局部变量
全局变量用global命令定义，格式为：
global 变量名
(17)程序调试
Debug菜单项:
该菜单项用于程序调试，需要与Breakpoints菜单项配合使用.
Breakpoints菜单项:
该菜单项共有6个菜单命令，前两个是用于在程序中设置和清除断点的，后4个是设置停止条件的，用于临时停止M文件的执行，并给用户一个检查局部变量的机会，相当于在M文件指定的行号前加入了一个keyboard命令.
调试命令:
除了采用调试器调试程序外，MATLAB还提供了一些命令用于程序调试.命令的功能和调试器菜单命令类似，具体使用方法请读者查询MATLAB帮助文档.
1 绪论
1.1 例题解答
例1.1 计算,.
解:
创建符号函数:
>> syms x;
>>f=sym('sin(x)')
f =
sin(x)
展开至7阶泰勒级数：
>> h=taylor(f,8,0)
h =
x-1/6*x^3+1/120*x^5-1/5040*x^7
求泰勒级数在处的函数值：
>> subs(h,x,0.5)
ans =
0.479425533234127
也可以通过内联函数来求解:
>>H=inline(h)
H =
Inline function:
H(x) = x-1./6.*x.^3+1./120.*x.^5-1./5040.*x.^7
>>feval(H,0.5)
ans =
0.479425533234127

例 1.2 计算积分值.
解:
解法一:( 符号法)：
>> I=int('1/(1+x)','x',0,1)
I =
log(2)

解法二 :(数值法)：
>>x=0:0.2:1; %将[0,1]等分为4等份
>>f=1./(1+x); %分别计算每一个等分点的函数值
>>I=0;
>>for i=1:5
I=I+(f(i)+f(i+1))/2*0.2; %将每一小曲边的梯形累加起来作为积分值
End
>> vpa(I,9) %取结果的小数精度为9位小数
ans =
.695634921
例 1.3略
例 1.4 不用开平方根计算的值.
解:
解法一(符号法):
>> A=sym('a');
>> sqrt(A)
ans =
a^(1/2)
解法二(数值法):
按以下迭代公式迭代计算近似值:

建立函数文件msqrt.m
function x=msqrt(x0,a)
%用迭代法近似计算平方根
%x0为初始迭代值,a为开平方数

format long;
x=zeros(20,1);
x(1)=x0;
for i=2:20
x(i)=1/2*(x(i-1)+a/x(i-1));
end
disp(x);
用编写的函数计算,:
>> msqrt(2,3);
2.000000000000000
1.750000000000000
1.732142857142857
1.732050810014727
1.732050807568877
1.732050807568877
1.732050807568877
1.732050807568877
1.732050807568877
1.732050807568877
1.732050807568877
1.732050807568877
1.732050807568877
1.732050807568877
1.732050807568877
1.732050807568877
1.732050807568877
1.732050807568877
1.732050807568877
1.732050807568877
上述结果为迭代过程计算的中间结果,分析数据可知迭代收敛速度快,只需四次计算即可计算出较为准确的数值.

例 1.5 略.
例 1.6 计算,视已知数为精确数,用4位浮点数计算.
解:
直接在Matlab中输入式子:
>> 1/759-1/760
ans =
1.7336e-006
若先转化为浮点数再运算可得:
>> a=1/759,b=1/760,a-b
a =
0.0013
b =
0.0013
ans =
1.7336e-006
可见Matlba在计算时,数据结构都取为双精度而提高了运算准确度.若以符号运算计算之,有:
>> a=sym('1/759'),b=sym('1/760'),c=a-b
a =
1/759
b =
1/760
c =
1/576840
可见符号运算准确但耗费运算时间.

例 1.7 略.
例 1.8 解方程.
解:
符号法解方程:
>> x=solve('x^2-18*x+1','x')
x =
9+4*5^(1/2)
9-4*5^(1/2)
将结果保留小数点6位:
>> vpa(x,6)
ans =

17.9443
.5572e-1

1.2 Matlab中数值计算精度
1. Matlab中有三种运算精度,它们分别为数值算法、符号算法和可控精度算法,将它们分别介绍如下:
(1) 数值算法把每个数取为16位,计算按浮点运算进行,它是运算速度最快的一种算法.
(2) 符号算法把每个数都变为符号量,运算按有理量计算进行,它的优点是能够得到精确结果,缺点是占用空间大,并且运算速度最慢.
(3) 可控精度算法介于上述两种算法之间,它能够使运算在可控的精度下进行计算.
2. Matlab的数据显示格式,列表如下:

表 Matlab数据显示格式命令
命令
意义
举例()
format short
短格式方式，显示5位定点十进制数
3.1416
format long
长格式方式，显示15位定点十进制数
3.141592653589793
format short e
最优化短格式显示,5位加指数
3.1416e+000
format long e
最优格式,15位加指数
3.141592653589793e+000
format short g
5位定点或浮点格式
3.1416
format long g
对双精度，显示15位定点或浮点格式，对单精度，显示7位定点或浮点格式
3.14159265358979
format short eng
至少5位加3位指数
3.1416e+000
format long eng
16位加至少3位指数
3.14159265358979e+000
format hex
十六进制格式方式
400921fb54442d18
format bank
银行格式.按元、角、分（小数点后具有两位）的固定格式
3.14
format +
+格式，以＋，—和空格分别表示中的正数，负数和零元素
+
format
缺省时为默认短格式方式与format short相同
3.1416
format rat
分数格式形式.用有理数逼近显示数据
355/113
format loose
松散格式.数据之间有空行

format compact
紧凑格式.数据之间无空行

vpa(date,n)
将数据date以n位有效数字显示
vpa(pi,5)= 3.1416

format并不影响matlab如何计算和存储变量的值.对浮点型变量的计算，即单精度或双精度，按合适的浮点精度进行，而不论变量是如何显示的.对整型变量采用整型数据.整型变量总是根据不同的类（class）以合适的数据位显示.
3. Matlab的特殊变量
ans :对最近输入的反应
computer :当前计算机类型
eps :浮点精度
flops :计算浮点操作次数，现已不再常用
i :虚部单位
inf :无穷大
inputname :输入参数名
j :虚部单位
nan :非数值
nargin :输入参数的数目
nargout :输出参数的数目(用户定义函数)
pi :圆周率
realmax :最大正浮点数
realmin :最小正浮点数
varargin
varargout :返回参数数目(matlab函数)
cputime:CPU工作时间

2 线性方程组的直接解法
2.1 例题解答
例 2.1 用Gauss消元法解方程组:

解:
直接建立求解该方程组的M文件Gauss.m如下:

%求解例题2.1
%高斯法求解线性方程组Ax=b
%A为输入矩阵系数,b为方程组右端系数
%方程组的解保存在x变量中
%先输入方程系数
A=[1 2 3;2 7 5;1 4 9];
b=[1 6 -3]';
[m,n]=size(A);
%检查系数正确性
if m~=n
error('矩阵A的行数和列数必须相同');
return;
end
if m~=size(b)
error('b的大小必须和A的行数或A的列数相同');
return;
end
%