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必修 3 概率部分知识点总结
新课标必修 3 概率部分知识点总结及典型例题解析
事件：随机事件（ 事件：随机事件（ random event ） 确定性事件 必然事件( certain ，确定性事件: 可能事件( impossible event ) 随机事件的概率(统计定义 ： 随机事件的概率 统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在 n 次实验中发生了 m 次， 统计定义 当实验的次数 n 很大时，我们称事件 A 发生的概率为 P ( A) ≈ event )和不
m n
说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重 说明 复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然 性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事 件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常 数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个 常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是 一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率 概率是频率的稳定值， 的近似值 概率必须满足三个基本要求： 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件 A ，有 0 ≤ P ( A) ≤ 1 ② 用Ω和Φ分别表示必然事件和不可能事件, 则有P (Ω ) = 1, P (Φ ) = 0 ③如果事件
A和B互斥,则有 : P( A + B ) = P( A) + P(B )
（ 古典概率 Classical probability model） ① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件 ） ： 发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个 n ， 则每一个基本事件发生的概率都是
1 ，如果某个事件 A 包含了其中的 m 个等可能的基本事件，则事件 A 发生的概率为 n m P ( A) = n
几何概型（ （ 一个几何区域 D 中随机地取一点， 几何概型 geomegtric probability model） 一般地， ） ： 记事件“改点落在其内部的一个区域 d 内”为事件 A ，则事件 A 发生的概率为
P ( A) =
d的侧度 D的侧度
（ 这里要求 D 的侧度不为 0， 其中侧度的意义由 D 确定， 一般地，
线段的侧度为该线段的长度； 平面多变形的侧度为该图形的面积； 立体图像的侧度为其 体积 ） 几何概型的基本特点： 几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多 颜老师说明 说明： 颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界， 在区域 D 内随机地取点，指的是该点落在区域 D 内任何一处都是等可能的，落在任何 部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。 互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件 互斥事件
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对立事件（ ：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事 对立事件（complementary events） ） 件 ，事件 A 的对立事件 记为： A
独立事件的概率： 独立事件的概率： 若A , B 为相互独立的事件事件, 则 P(AB) = P ( A)P (B ) ， 若 A1 , A2 , ... , An 为两两独立的事件, 则 P(A 1 A 2 ...A n ) = P (A 1 )P (A 2 )...P (A n ) 颜老师说明： 颜老师说明： 说明 ① 若 A , B 为互斥事件, 则 A , B 中最多有一个发生, 可能都不发生， 但不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空 集 ② 对立事件是指的两个事件， 而且必须有一个发生， 而互斥事件可能指的很多事 件， 但最多只有一个发生， 可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来 看： 表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集， 但两个对立事件的并集是全集 ， 而两个互斥事件的并集不一定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是 1 ，而两个 互斥事件的概率之和小于或者等于 1 ⑥ 若 事 件 A, B 是 互 斥 事 件 ， 则 有
P ( A + B ) = P( A) + P (B ) ⑦
一般地，如果
A1 , A 2 ,..., An 两 两 互 斥 ， 则 有
⑧
P( A1 + A2 + ... + An ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( An )
P ( A) = 1 − P A ⑨ 在
()
本教材中 A1 + A2 + ... + An 指的是 A1 , A 2 ,..., An 中至少发生一个 ⑩ ★ 在具体做题 中，希望大家一定要注意书写过程，设处事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型 的书写格式，最重要的是要设出所求的事件来 ，具体的格式请参照我们课本上（新课 标试验教科书-苏教版）的例题
例题选讲： 例题选讲：
例 1. 在大小相同的 6 个球中，4 个是红球，若从中任意选 2 个，求所选的 2 个球至少有 一个是红球的概率？ 分析】 【分析】题目所给的 6 个球中有 4 个红球，2 个其它颜色的球，我们可以根据不同的思路 有不同的解法 （互斥事件）设事件 A 为“选取 2 个球至少有 1 个是红球” ，则其互斥事件为 A 解法 1： ： 意义为“选取 2 个球都是其它颜色球”
QPA =
( )
1 (6 × 5) 2
=
1 1 14 ∴ P(A ) = 1 - P A = 1 - = 15 15 15
( )
14 . 15 6×5 （古典概型）由题意知，所有的基本事件有 = 15 种情况，设事件 A 为“选 解法 2： ： 2 4×3 取 2 个球至少有 1 个是红球”， 而事件 A 所含有的基本事件数有 4 × 2 + = 14 2
答：所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为
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所以 P ( A) =
14 15 14 . 15
答：所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为
（独立事件概率）不妨把其它颜色的球设为白色求，设事件 A 为“选取 2 个球至 解法 3： ： 少有 1 个是红球” ，事件 A 有三种可能的情况：1 红 1 白；1 白 1 红；2 红，对应的概率分 别为：
4 2 2 4 4 3 14 × + × + × = 6 5 6 5 6 5 15 14 . 答：所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为 15
4 2 2 4 4 3 × , × , × ， 则有 6 5 6 5 6 5
P ( A) =
评价：本题重点考察我们对于概率基本知识的理解，综合所学的方法，根据自己的理解用 不同的方法，但是基本的解题步骤不能少! 变式训练 1： 在大小相同的 6 个球中，2 个是红球，4 个是白球，若从中任意选取 3 个，求 ： 至少有 1 个是红球的概率？ 解法 1： （互斥事件）设事件 A 为“选取 3 个球至少有 1 个是红球” ，则其互斥事件为 A ， 意义为“选取 3 个球都是白球”
4 × 3× 2 3 C4 3 × 2 × 1 = 4 × 3 × 2 = 1 ∴ P(A ) = 1 - P A = 1 - 1 = 4 QPA = 3 = 6 5 4 5 5 5 C 6 ( 6 × 5 × 4) 3 × 2 ×1
( )
( )
答：所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为
6×5× 4 = 20 种情况，设事件 A 3 × 2 ×1 为“选取 3 个球至少有 1 个是红球” ，而事件 A 所含有的基本事件数有 4×3 16 4 2 2 × C4 + 1× 4 = 2 × = 16 ， 所以 P( A) = = 2 20 5 4 答：所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为 . 5 解法 3： ： （独立事件概率）设事件 A 为“选取 3 个球至少有 1 个是红球” ，则事件 A 的情
（古典概型）由题意知，所有的基本事件有 C 6 = 解法 2： ：
3
4 . 5
况如下： 红 白 白 1红2白 白 白 红 白 红 白 红 红 白 2红1白 红 白 红 白 红 红
2 4 3 1 × × = 6 5 4 5 4 3 2 1 × × = 6 5 4 5 4 2 3 1 × × = 6 5 4 5 2 1 4 1 × × = 6 5 4 15 2 4 1 1 × × = 6 5 4 15 4 2 1 1 × × = 6 5 4 15
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所以
1 1 4 P ( A) = 3 × + 3 × = 5 15 5 4 . 5
答：所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为
变式训练 2：盒中有 6 只灯泡，其中 2 只次品，4 只正品，有放回的从中任抽 2 次，每次 ： 抽取 1 只，试求下列事件的概率： （1）第 1 次抽到的是次品 （2）抽到的 2 次中，正品、次品各一次 ， 解：设事件 A 为“第 1 次抽到的是次品” 事件 B 为“抽到的 2 次中，正品、次品各一次”
4× 2 + 2× 4 4 2 4 4 2 4 = （或者 P (B ) = × + × = ） 6× 6 9 6 6 6 6 9 1 4 ，抽到的 2 次中，正品、次品各一次的概率为 答：第 1 次抽到的是次品的概率为 3 9
则 P ( A) =
2 1 = 6 3
， P (B ) =
变式训练 3：甲乙两人参加一次考试共有 3 道选择题，3 道填空题，每人抽一道题，抽到后 ： 不放回， （1） 求 甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？ （2） 求至少 1 人抽到选择题的概率？ 【分析 （1）由于是不放回的抽，且只抽两道题，甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的， 分析】 分析 所以可以用独立事件的概率（2）事件“至少 1 人抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题” 时互斥事件，所以可以用互斥事件的概率来 ，事件 B 为“至少 1 人抽到选择题” ，则 B 解：设事件 A 为“甲抽到选择题而乙抽到填空题” 为“两人都抽到填空题” （1） P ( A) =
3 3 3 × = 6 5 10
 P1 P1 3 × 3 3   或者P( A) = 3 2 3 = =   6 × 5 10  P6    P32 1   或者P B = 2 =   5 P6  
3 2 1 （2） P B = × = 6 5 5
()
()
则 P (B ) = 1 − P B = 1 −
()
1 4 = 5 5
答：甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为
3 4 ，少 1 人抽到选择题的概率为 . 10 5
变式训练 4：一只口袋里装有 5 个大小形状相同的球，其中 3 个红球，2 个黄球，从中不放 ： 回摸出 2 个球，球两个球颜色不同的概率？ 【分析 分析】先后抽出两个球颜色相同要么是 1 红 1 球，要么是 1 黄 1 球 分析 略解: 略解 P ( A) =
3 2 2 3 3  6 3  或者 P( A) = 2 =  × + × =  5 4 5 4 5  C5 5  
变式训练 5：设盒子中有 6 个球，其中 4 个红球，2 个白球，每次人抽一个，然后放回， ： 若连续抽两次，则抽到 1 个红球 1 个白球的概率是多少？ 略解: 略解 P ( A) =
4 2 2 4 4× 2 2× 4 4 × + × = + = 6 6 6 6 6×6 6×6 9
例 2. 急救飞机向一个边长为 1 千米的正方形急救区域空头急救物品，在该区域内有一个长 宽分别为 80 米和 50 米的水池，当急救物品落在水池及距离水池 10 米的范围内时，物品会 失效， 假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的 （不考虑落在正方形区域范围之 外的） ，求发放急救物品无效的概率？ 【分析 分析】为题属于几何概型，切是平面图形，其测度用面积来衡量 分析 解：如图，设急救物品投放的所有可能的区域，即边长为 1 千米的正方形为区域 D ，事件
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“发放急救物品无效”为 A ，距离水池 10 米范围为区域 d ，即为图中的阴影部分， 则 有 P ( A) =
d 测度 D测度
=
80 × 50 + 2 × 80 × 10 + 2 × 50 × 10 + 4 × 1000 × 1000
π (10)2
4
答：略 颜老师说明： 颜老师说明：这种题目要看清题目意思，为了利用 几何概率，题目中一般都会有落在所给的大的区域 之外的不计的条件，但如果涉及到网格的现象是一 般则不需要这个条件，因为超出一个网格，就会进入另外一个网格，分析是同样的 变式训练 1：在地上画一正方形线框，其边长等于一枚 ： 硬币的直径的 2 倍， 向方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不计， 求硬币完全落在正 方形内的概率？ 略解： 略解： P ( A) =
d 测度 D测度
=
22 4 = 2 2 32 + π 4 + 4 ×1× 4 + π1
变式训练 2：如图，设有一个正方形网格，其中每个小正三角形的边长都是 a , 现有一直径 ： 等于 a 的硬币落在此网格上，求硬币落下后与网格有公共点的概率？
2
【分析 分析】因为圆的位置由圆心确定，所以要与网格线有公共点 分析 只要圆心到网格线的距离小于等于半径 解：如图，正三角形 ABC 内有一正三角形 A1 B1C1 ，其中
AB = a , A 1 D = B1 E = A 1F =
A1D 1 a , AD = BE = 6 tan30°
C
=
 3 3 3 a a ，∴ A1 B1 = AB − 2 AD = a − a = 1 −  6 3 3   
当圆心落在三角形 A1 B1C1 之外时，硬币与网格有公共点
C1
∴ 有公共点的概率 P =
S ∆ABC - S∆A1 B1C1 S ∆A1B1C1
2
A
F
A1
3 2 3 3 2 1 −  a a − 4 4  3    = = 0.82 3 2 a 4
答：硬币落下后与网格有公共点的概率为 0.82 .
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a/6 a
B1 E B
D
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AB = 5 , AC = 7 , 在正方形内 变 式 训 练 3 ： 如 图 ， 已 知 矩 形 ABCD中 ， 任取一点P , 求 ∠APB > 90 ° 的概率？
1 5 π  5π 2 2 略解： = 略解： P ( A) = 5× 7 56
变式训练 4：平面上画了彼此相距 2a 的平行线把一枚半径 r < a 的 ： 硬币，任意的抛在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相 碰的概率？ 解：设事件 A 为“硬币不与任何一条平行线相碰”为了确定硬币 的位置，有硬币的中心向距离最近的平行线作垂线 OM ，垂足 为 M ， 线段 OM 的长度的取值范围为 [ 0 , a
2
A B
P
D
C
M
]
，其长度就是 2a
r
几何概型所有的可能性构成的区域 D 的几何测度，只有当 0 < OM ≤ a 时，硬币不与平行线相碰，其长度就是满足 事件 A 的区域 d 的几何测度，所以
P ( A) =
(r , a ]的长度 = a − r [0, a]的长度 a
a−r a
答：硬币不与任何一条平行线相碰的概率为
【评价与链接】该题是几何概型的典型题目，要求我们正确确认区域 D 和区域 d ，理解它 评价与链接 评价与链接 们的关系以及它们的测度如何来刻画。 蒲丰投针问题 问题： 蒲丰投针问题：平面上画有等距离的一系列的平行线，平行线间距离为 2a （ a > 0 ） ， 向平面内任意的投掷一枚长为 l
(l
< 2a
) 的针，求针与平行线相交的概率？
解：以 x 表示针的中点与最近的一条平行线的距离，又以 ϕ 表示针与此直线的交角，如图 易知 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ ϕ ≤ π ，有这两式可以确定 x - π 平面上的一个矩形 Ω ，这是 为了针与平行线相交，其充要条件为 x ≤
l Sinϕ ，有这个不等式表示的区域 A 为图中的 2
阴影部分，由等可能性知
S P ( A) = A = SΩ
∫
π
0
l Sinϕ dϕ l 2 = π ⋅a πa
2a
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如果 l , a 已知, 则以π值代入上式即可计算P ( A)的值 , 反过来, 如果已知P ( A)的值,
则也可以利用上式来求π ，而关于 P( A) 的值，则可以用实验的方法，用频率去近似它，
既: 如果 投针 N 次，其中平行线相交的次数为 n 次，则频率为
n N
，于是，
P ( A) =
l
πa
≈
n lN 于是 , π ≈ N a n
注释： 这也是历史上有名的问题之一， 用试验的方法先用数学积分的手段结合几何概型求出 注释： 概率，再用频率近似概率来建立等式，进而求出 π . 在历史上有好多的数学家用不同的方法 来计算 π ，如中国的祖冲之父子俩，还有撒豆试验，也是可以用来求 π 的. 会面问题： 会面问题：甲乙两人约定在 6 时到 7 时在某地会面，并约定先到者等候另一人一刻钟，过时 即可离去，求两人能会面的概率？ 解：设“两人能会面”为事件 A ，以 x 和 y 分别表示 甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充 要条件为： x − y ≤ 15 在平面上建立如图所示的 坐标系，则 ( x, y ) 的所有可能的结果是边长为 60 的 正方形,而可能会面的时间由图中阴影部分所表示， 由几何概型知， P ( A) = 答：两人能会面的概率
S A 60 2 − 45 2 7 = = 2 SΩ 16 60
7 . 16
课本上一道例题的变式训练： ◆ 课本上一道例题的变式训练：如图，在等腰直角三角形 ABC 中，在斜边 AB 上任取一 点 M ，求 AM < AC 的概率？ 【分析 分析】点 M 随机的落在线段 AB 上，故线段 AB 为区域 分析
D ，当点 M 位于如图的 AC ' 内时 AM < AC ，故线段
AC ' 即为区域 d
解: 在 AB 上截取 AC = AC ，于是
'
P ( AM < AC ) = P AM < AC ' = 2 2
(
)
AC ' AC 2 = = AB AB 2
答： AM < AC 的概率为
【变式训练】如图，在等腰直角三角形 ABC 中，在 ∠ACB 内部任意作一条射线 CM ，与 变式训练】 线段 AB 交于点 M ，求 AM < AC 的概率？ 在 满足条件的 M 看 错解： 在 错解： AB 上截取 AC = AC ， ∠ACB 内部任意作一条射线 CM ，
'
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作是在线段 AC 上任取一点 M ，则有
'
P ( AM < AC ) = P AM < AC ' =
(
)
AC ' AC 2 = = AB AB 2
【分析】这种解法看似很有道理，但仔细一看值得深思，我们再看看题目的条件已经发生了 分析】 改变，虽然在线段上取点是等可能的，但过和任取得一点所作的射线是均匀的，所以不能把 等可能的取点看作是等可能的取射线，在确定基本事件时一定要注意观察角度， 注意基本 事件的等可能性. 正解： 在 所以射线 CM 作在任何位置都是等可能的， AB 在 正解： ∠ACB 内的射线是均匀分布的， 上截取 AC = AC ，则 ∠ACC = 67.5° ，故满足条件的概率为
' '
67.5 = 0.75 90 评价： 评价：这就要求同学们根据不同的问题选取不同的角度，确定区域 D 和 d ，求出其测度，
再利用几何概型来求概率. 利用随机模拟法计算曲线 y = x 2 , y = 0, 和x = 2 所围成的图形的面积.
例3.
2 【分析 分析】在直角坐标系中作出长方形（ y = x , y = 0, y = 4, x = 2 所围成的部分，用随机 分析
模拟法结合几何概型可以得到它的面积的近似值） 解： 1）利用计算机或者计算器生成两组 0 到 1 区间上 （ ） 的随机数， a 0 = rand , b0 = rand （2）进行平移变换： a = 2a 0 , b = 4b0 ，其中 a, b 分 ） 别随机点的横坐标和纵坐标 （3）假如作 N 次试验，数处落在阴影部分的点数 N 1 ， ） 用几何概型公式计算阴影部分的面积 由
S N1 ≈ 8 N
得出
S ≈8
N1 ≈ 2 .7 N
评价： 评价：这是一种用计算机模拟试验的方法，结合几何概型 公式来计算若干函数围成的图形面积，其基本原理还是 利用我们教材上介绍的撒豆试验，只是用随机数来代替豆子而已，另外要求我们理解用试 验的频率来近似概率的思想. 另外这种题目到我们学习了积分，还可以有下面的解法：
S = ∫ x 2 dx =
0
2
x3 3
2 0
≈ 2 .7