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数学建模课程设计报告书
生产方案安排

摘要

随着企业的不断发展，企业内部的生产计划有各种不同的情况，企业根据本企业内部的资源与市场情况的调察，根据市场需要，资源的条件限制，不断调整生产需要，使得生产获得最大总售价与利润，使得企业得以生存发展。工厂生产的根本目的就是获取最大的利益，合理的安排生产方案才可以获取最大利润的前提。本文通过各个问题给出的决策变量，逐一对各个问题进行目标函数的求解，并且对问题进行了合理性的假设，根据已知约束条件，目标函数，建立模型。模型的建立与求解基本用到了数学规划模型的方法。问题一到问题五的模型建立都用到了同一种方法，只是改变了它们的约束条件，而问题六用到了两种模型进行求解，分别是LP子模型与0-1变量的整数规划模型。建立各个问题的模型，再运用LINGO软件进行求解，所解出来的结果是全局最优解。运用线性规划模型求解，再用LINGO软件进行求解，显得方便快捷，从而很快的算出获得利润的最大值。为安排生产方案提供了很好的基础条件。节省资金与人力，不耽误生产所预定的时间。

关键词：数学规划，整数规划，最优解，决策变量，目标函数，利润最大，LINGO软件

一、问题重述
随着经济的不断发展，现代各种各样的企业都自己建立工厂生产本企业的特色产品。
某工厂生产A,B,C,D,E五种产品，每种产品需要单位消耗甲，乙，丙三种原料和各产品的单价如下表所示，其中甲原料限额600公斤，乙原料限额500公斤，丙原料限额300公斤，已知某厂生产有关参数如下表格：

单位消耗
产品
原料
A B C D E
限额
（公斤）
甲
乙
丙
0.1 0 0.2 0.3 0.1
0.2 0.2 0.1 0 0.3
0 0.3 0 0.2 0.1
600
500
300
单价（元）
4 3 6 5 8

（1）求最优生产方案；
（2）根据市场情况，计划A至少生产500件，求相应生产方案；
（3）因E滞销，计划停产，求相应生产方案；
（4）根据市场情况，限定C不超过1640件，求相应生产方案；
（5）若限定原料甲需剩余至少50公斤，求相应生产方案；
（6）若生产A则至少生产800件，若生产B则至少生产200件，求相应生产方案。（注意：第（6）至少两种模型与解法）
由生产方案生产有关参数及表格中数据和问题可以知，。本题要解决的问题在各个问题的原料的约束条件下，如何安排产品A、B、C、D、E的生产，即要求安排最优的生产方案，使该厂的总售价最大。

二、 问题分析
生产方案安排，这个优化问题的目标是使总售价最大，要做的决策是生产计划安排，即A、B、C、D、E产品如何安排生产使得总售价最大，产品生产受到原料的限制，原料的加工能力。按题目所给，将决策变量，目标函数和约束条件用数学符号来表示。生产一件产品A，单位消耗甲、乙、丙原料分别为0.1、0.2、0公斤；生产一件产品B，单位消耗甲、乙、丙原料分别为0、0.2、0.3公斤; 生产一件产品C，单位消耗甲、乙、丙原料分别为0.2、0.1、0公斤;生产一件产品D，单位消耗甲、乙、丙原料分别为0.3、0、0.2公斤; 生产一件产品E，单位消耗甲、乙、丙原料分别为0.1、0.3、0.1公斤.而原料甲的可以用来生产的量最多有600公斤，乙原料最多有500公斤可以用来生产，丙原料最多有300公斤用来生产。并且一件产品A、B、C、D、E的卖出的单价分别4元、3元、6元、5元、8元
这个优化问题的目标是使工厂销售收入达到最大，我们做的决策是生产方案安排，即生产产品A、B、C、D、E分别用多少原料甲, 生产产品A、B、C、D、E分别用多少原料乙，生产产品A、B、C、D、E分别用多原料丙，决策受到的限制有，各种原料的供应额，产品的价格，这是一个线性规划问题。
三、模型假设
1、 假设将该模型理想化，忽略生产过程中有可能出现的问题，不考虑原料剩余问题，只考虑最大总售价问题。假设在生产设备正常工作，工厂正常生产条件下所建立的数学模型。根据问题的的条件限制
2、符号设定：
设W为最大总售价，生产五种产品A、B、C、D、E的数量分别件，且所取的件数都是整数，因此 均为整数。

四、模型建立
根据题目所给的六个问题，及所给的条件，分别建立如下6个模型
模型1
由问题假设知道，生产产品A、B、C、D、E数量分别为件。
约束条件：生产件产品A，产品A所消耗甲原料是公斤，消耗乙原料是公斤；生产件产品B，产品B所消耗乙原料是公斤，消耗丙原料是公斤；生产件产品C，产品C所消耗甲原料是公斤，消耗乙原料是公斤；生产件产品D，产品D所消耗甲原料是公斤，消耗丙原料是公斤；生产件产品E，产品E所消耗甲原料是公斤，消耗乙原料是公斤，消耗丙原料是公斤。用甲、乙、丙原料来生产产品A、B、C、D、E的原料最多分别600公斤，500公斤，300公斤。
生产件A产品，卖出的单价4元每件，则A产品总价为，生产件B产品，单价3元每件，则产品B的总价为；生产件C产品，单价6元每件，则C产品总价为；生产件D产品，单价5元每件，则D产品总价为；生产件E产品，单价8元，则E产品总价为。则最大的总售价就是把五个产品的总价相加起来。
目标函数：A产品总售价为，产品B的总售价为，C产品总售价为，D产品总售价为，E产品总售价为则容易得出五个产品的总售价是元。由此得出基本模型：

s.t

模型2
约束条件：根据市场情况，产品A至少要生产500件，件。就是在模型1的基础上，增加条件，其他条件不变。
目标函数：A产品总售价为，产品B的总售价为，C产品总售价为，D产品总售价为，E产品总售价为则容易得出五个产品的总售价是元。由此得出基本模型：

s.t

模型3
约束条件：因为E产品滞销，计划停产了，因此不生产E产品，E产品也不消耗原料，于是E产品的总销售额为0。目标函数：

s.t
模型4
由于产品C的生产数量不得超过1640件，因此在模型1的基础上增加约束条件.目标函数仍为。

模型5
我们从题目上知道第5问的约束条件是限定原料甲需要用来生产五种产品后需剩余至少50公斤，则生产五种产品总共需要的甲原料最多为550公斤。即。则模型如下：
目标函数
约束条件
模型6
若生产A产品,则A产品至少生产800件，即件；若生产B产品,则B产品最少生产200件，即件。假设当时工厂同时生产这两种产品或者生产这两种产品中的一种，或者都不生产产品A、B的情况，即。但产品C,D,E同时生产。即。

（6-0）

解法一 用线性规划模型中的LP模型来求解，分解成多个LP子模型
即在（6-0）的基础上把式（*）中的约束条件改为，并分解为如下三种情况：
（1-1）
（1-2）
（1-3）
（1-4）
并且
建立的模型，式子（6-0）与（1-1）构成第一种情况，即若A产品至少生产800件，B产品不生产的情况；‚式子（6-0）与（1-2）构成第二种情况,即若A产品不生产的，B产品至少生产200件的情况；ƒ式子（6-0）与（1-3）构成第三种情况，即A,B产品都不生产的情况；④产品A,B同时生产的情况。上述四种情况中，C,D,E产品可能生产也可能不生产的。

解法二 引入0～1变量，化为整数规划
设只取0,1。式子（6-0）的基础上把（*）式中的约束条件表示 （2-1）
其中M为相当大的整数。式子（6-0）与（2-1）构成该解法的模型。

五、模型求解
模型1求解 用软件LINGO求解，把目标函数与及约束条件输入LINGO，如下所示：
model:
max=4*x1+3*x2+6*x3+5*x4+8*x5;
[J] 0.1*x1+0.2*x3+0.3*x4+0.1*x5<=600;
[Y] 0.2*x1+0.2*x2+0.1*x3+0.3*x5<=500;
[B] 0.3*x2+0.2*x4+0.1*x5<=300;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);
end
用LINGO运行出结果：
Global optimal solution found.
Objective value: 22000.00
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 4

Variable Value Reduced Cost
X1 0.000000 -4.000000
X2 0.000000 -3.000000
X3 2600.000 -6.000000
X4 0.000000 -5.000000
X5 800.0000 -8.000000

Row Slack or Surplus Dual Price
1 22000.00 1.000000
J 0.000000 0.000000
Y 0.000000 0.000000
B 220.0000 0.000000
由上述程序的运行出的结果是模型的全局最优解（Global optimal solution），最优值为22000，最大总售价为22000元，迭代次数为4次。这个线性规划的最优解为时，即生产C产品2600件，E产品生产800件。而变量对应的“Reduced Cost”的含意是当从0开始每增加一个单位，最优的目标的函数增加4，其他依次类推。而 “Slack or Surplus”列对应的意思是这三种原料J（甲）,Y（乙）,B（丙）在最优解下是否有剩余，从中知道丙原料有220公斤剩余。“Dual Price”是影子价格。

模型2的求解
当把模型2的式子输入LINGO时可以运行出如下结果：
Global optimal solution found.
Objective value: 21000.00
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 3

Variable Value Reduced Cost
X1 500.0000 -4.000000
X2 0.000000 -3.000000
X3 2500.000 -6.000000
X4 0.000000 -5.000000
X5 500.0000 -8.000000

Row Slack or Surplus Dual Price
1 21000.00 1.000000
J 0.000000 0.000000
Y 0.000000 0.000000
B 250.0000 0.000000
5 0.000000 0.000000
由得出的结果是模型的全局最优解，最优值为21000，最大总售价为21000元，迭代次数为3次。这个线性规划的最优解为时，即生产A产品生产500件，C产品需要生产2500件，E产品需要生产500件。而 “Slack or Surplus”列对应的意思是这三种原料J（甲）,Y（乙）,B（丙）在最优解下是否有剩余，数据中知道原料丙有250公斤剩余.

模型3的求解
同样把模型3的目标函数以及约束条件输入软件中得到：
Global optimal solution found.
Objective value: 21000.00
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 2

Variable Value Reduced Cost
X1 0.000000 -4.000000
X2 1000.000 -3.000000
X3 3000.000 -6.000000
X4 0.000000 -5.000000
X5 0.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price
1 21000.00 1.000000
J 0.000000 0.000000
Y 0.000000 0.000000
B 0.000000 0.000000

由上数据得出的结果在限定E产品滞销，E产品计划停产时，模型的全局最优解，最优值为21000，最大总售价为21000元，迭代次数为2次。这个线性规划的最优解为时，即当安排生产B产品生产1000件，C产品需要生产3000件时，总售价最大。而 “Slack or Surplus”列对应的的这三种原料J（甲）,Y（乙）,B（丙）在最优解下是没有剩余。

模型4的求解
第四问的模型同样把模型4的式子输入求出如下结果：
Global optimal solution found.
Objective value: 21465.00
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 6

Variable Value Reduced Cost
X1 0.000000 -4.000000
X2 0.000000 -3.000000
X3 1640.000 -6.000000
X4 533.0000 -5.000000
X5 1120.000 -8.000000

Row Slack or Surplus Dual Price
1 21465.00 1.000000
J 0.1000000 0.000000
Y 0.000000 0.000000
B 81.40000 0.000000
5 0.000000 0.000000
当安排生产产品时，即生产产品C是1640件时，D为533件，E产品1120件，是全局变量的最优解，总售价为21465元，甲原料剩余0.1公斤，丙剩余81.4公斤。

模型5的求解
将第五问的程序输入LINGO求出结果
Global optimal solution found.
Objective value: 21000.00
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 4

Variable Value Reduced Cost
X1 0.000000 -4.000000
X2 0.000000 -3.000000
X3 2300.000 -6.000000
X4 0.000000 -5.000000
X5 900.0000 -8.000000

Row Slack or Surplus Dual Price
1 21000.00 1.000000
J 0.000000 0.000000
Y 0.000000 0.000000
B 210.0000 0.000000
当安排生产产品时，即安排生产产品C是2300件时，E产品900件，是全局变量的最优解，总售价为21000元，丙原料剩余210公斤。

模型6的求解
解法一：
针对情况：运行程序得出结果：
Global optimal solution found.
Objective value: 20400.00
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 2

Variable Value Reduced Cost
X1 800.0000 -4.000000
X2 0.000000 0.000000
X3 2440.000 -6.000000
X4 0.000000 -5.000000
X5 320.0000 -8.000000

Row Slack or Surplus Dual Price
1 20400.00 1.000000
J 0.000000 0.000000
Y 0.000000 0.000000
B 268.0000 0.000000
5 0.000000 0.000000
6 0.000000 3.000000
当即安排生产A产品800件,C产品2440件,E产品320件时，求得最大售价为20400元，

针对情况‚：运行程序得出结果：
Global optimal solution found.
Objective value: 21800.00
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 4

Variable Value Reduced Cost
X1 0.000000 0.000000
X2 200.0000 -3.000000
X3 2680.000 -6.000000
X4 0.000000 -5.000000
X5 640.0000 -8.000000

Row Slack or Surplus Dual Price
1 21800.00 1.000000
J 0.000000 0.000000
Y 0.000000 0.000000
B 176.0000 0.000000
5 0.000000 4.000000
6 0.000000 0.000000
当即安排生产A产品200件,B产品不生产，C产品2680件,E产品640件时，求得最大售价为21800元，

针对情况ƒ：运行程序得出结果：
Global optimal solution found.
Objective value: 22000.00
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 2

Variable Value Reduced Cost
X1 0.000000 0.000000
X2 0.000000 0.000000
X3 2600.000 -6.000000
X4 0.000000 -5.000000
X5 800.0000 -8.000000

Row Slack or Surplus Dual Price
1 22000.00 1.000000
J 0.000000 0.000000
Y 0.000000 0.000000
B 220.0000 0.000000
5 0.000000 4.000000
6 0.000000 3.000000
当，即安排生产C产品2600件,E产品800件时，产品A,B都不生产求得最大售价为22000元，

针对情况④：运行程序得出结果：
Global optimal solution found.
Objective value: 20200.00
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 3

Variable Value Reduced Cost
X1 800.0000 -4.000000
X2 200.0000 -3.000000
X3 2520.000 -6.000000
X4 0.000000 -5.000000
X5 160.0000 -8.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 20200.00 1.000000
J 0.000000 0.000000
Y 0.000000 0.000000
B 224.0000 0.000000
5 0.000000 0.000000
6 0.000000 0.000000
当，即安排生产C产品2520件,E产品160件时，产品A,B都生产求得最大售价为20200元。
相比上述4种情况可以得出要使得总售价最大，则应该取第三种来安排生产，即安排生产C产品2600件,E产品800件时，产品A,B都不生产可求得最大售价为22000元，这就是第六问的最优解。

解法二
把解法二的公式输如，且在输入的最后要上0-1变量的限定语句：@bin(y1);@bin(y2);得出如下结果。
Linearization components added:
Constraints: 8
Variables: 2
Global optimal solution found.
Objective value: 22000.00
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 4

Variable Value Reduced Cost
X1 0.000000 0.000000
X2 0.000000 0.000000
X3 2600.000 -2.500000
X4 0.000000 -2.000000
X5 800.0000 -2.500000
Y1 0.000000 0.000000
M 0.000000 0.000000
Y2 0.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 22000.00 1.000000
J 0.000000 10.00000
Y 0.000000 15.00000
B 220.0000 0.000000
5 0.000000 0.000000
6 0.000000 0.000000
7 0.000000 0.000000
8 0.000000 0.000000
所求出的最优结果与第一种解法的最优结果一样。因此第六问的答案是均不生产产品A,B是，所卖出的总售价最大为22000元，丙原料剩余220公斤。引用上0-1变量可以更快的算出每种产品应该要生产的数目，就知道了如何安排生产。
六、结果分析和检验
上述各个问题的程序输出中，可以横容易的看出各个产品应该生产多少件，总售价最大以及原料的剩余量。当约束条件发生变化时，目标函数也会跟着改变，生产后原料为零的数值表示着在生产设备，能力，其他条件的情况下，原料都被完全的利用了，没有剩余。这种约束为紧约束。目标函数可以看做效益，成为紧约束的资源，，一旦增加，效益必然跟着增长。“ Dual Price”为影子价格，效益的增长可以看做资源的潜在价值，例如举模型6的解法二的结果为例，甲原料一公斤的影子价格为10元，乙原料的影子价格一公斤为15元，丙为0元。我们都知道产品都是一件一件的，没有小数，本文中的说又解法都注意到了这个问题。对目标函数系数变化的影响问题，我们针对模型1的程序进行了敏感性分析，所得出的结果与上述模型2的结果是一样的，说明在约束条件不变情况下，最优解的值也不变的。

七、 模型的优缺点讨论
我们都对上述问题的求解，觉得做得好的地方有几下方面：第一，考虑到了件数是整件数的，没有小数，因此用到了整数规划的解法来求解。第二，明确目标函数，知道要求省么。第三，对在整个生产过程中，假设到了其他因素不变，生产设备正常生产，除了题目所给的约束条件的变化外的定义。第四，在第六问的模型建立中考虑问题全面，都列出的所有可能出现的情况，并对列出的情况进行求解与相互比较，从而取总利益最大的方案，工产进行生产安排。模型缺点：没有考虑原料剩余后如何运用这些原料，使得工产获得更多的利益这个问题。
八、 推广和改进
任何生产，企业都需要提前对产品进行预算与评估，而预算中就包含有本模型的求法，算出企业获得最大收益的决策。因此本模型在企业的预算与评估过程中，占据着很重要的作用。这是一类利用线性规划求解最优解的问题，关键在于变量的合理假设，列出目标函数和约束条件，利用LINGO软件求解，并进行敏感性分析，如价值系数的改变对最优值的影响等。例如生产中确定下原料方案，使用原料最少，获得最高利润，最节省资源以及连续投资获得本利总和等等问题，都能够通过数学规划模型与运筹学的完美相结合来解决。与依赖于过去经验（经验论）解决面临的优化问题和依赖于做大量试验反复比较（试验论），数学优化模型具有明显的科学性与可行性。例如与试验论相比，优化模型不需要消耗很多的资金和人力。而数学规划模型可以节省资金人力。

九、参考文献
1.姜启源 谢金星 叶俊，数学模型，北京，高等教育出版社，2011年

13

附件
所用软件:LINDGO 数学编辑器
模型1输入LINGO的程序如下所示：
model:
max=4*x1+3*x2+6*x3+5*x4+8*x5;
[J] 0.1*x1+0.2*x3+0.3*x4+0.1*x5<=600;
[Y] 0.2*x1+0.2*x2+0.1*x3+0.3*x5<=500;
[B] 0.3*x2+0.2*x4+0.1*x5<=300;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);
end

模型2输入LINGO的程序如下所示：
model:
max=4*x1+3*x2+6*x3+5*x4+8*x5;
[J] 0.1*x1+0.2*x3+0.3*x4+0.1*x5<=600;
[Y] 0.2*x1+0.2*x2+0.1*x3+0.3*x5<=500;
[B] 0.3*x2+0.2*x4+0.1*x5<=300;
x1>=500;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);
end

模型3输入LINGO的程序如下所示：
model:
max=4*x1+3*x2+6*x3+5*x4;
[J] 0.1*x1+0.2*x3+0.3*x4<=600;
[Y] 0.2*x1+0.2*x2+0.1*x3<=500;
[B] 0.3*x2+0.2*x4<=300;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);
end

模型4输入LINGO的程序如下所示：
model:
max=4*x1+3*x2+6*x3+5*x4+8*x5;
[J] 0.1*x1+0.2*x3+0.3*x4+0.1*x5<=600;
[Y] 0.2*x1+0.2*x2+0.1*x3+0.3*x5<=500;
[B] 0.3*x2+0.2*x4+0.1*x5<=300;
x3<=1640;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);
end

模型5输入LINGO的程序如下所示：
model:
max=4*x1+3*x2+6*x3+5*x4+8*x5;
[J] 0.1*x1+0.2*x3+0.3*x4+0.1*x5<=550;
[Y] 0.2*x1+0.2*x2+0.1*x3+0.3*x5<=500;
[B] 0.3*x2+0.2*x4+0.1*x5<=300;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);
end

模型6输入LINGO的程序如下所示：
解法一
情况的程序：
model:
max=4*x1+3*x2+6*x3+5*x4+8*x5;
[J] 0.1*x1+0.2*x3+0.3*x4+0.1*x5<=600;
[Y] 0.2*x1+0.2*x2+0.1*x3+0.3*x5<=500;
[B] 0.3*x2+0.2*x4+0.1*x5<=