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数学建模课程设计报告书
生产方案安排

摘要

随着企业的不断发展，企业内部的生产计划有各种不同的情况，企业根据本企业内部的资源与市场情况的调察，根据市场需要，资源的条件限制，不断调整生产需要，使得生产获得最大总售价与利润，使得企业得以生存发展。工厂生产的根本目的就是获取最大的利益，合理的安排生产方案才可以获取最大利润的前提。本文通过各个问题给出的决策变量，逐一对各个问题进行目标函数的求解，并且对问题进行了合理性的假设，根据已知约束条件，目标函数，建立模型。模型的建立与求解基本用到了数学规划模型的方法。问题一到问题五的模型建立都用到了同一种方法，只是改变了它们的约束条件，而问题六用到了两种模型进行求解，分别是LP子模型与0-1变量的整数规划模型。建立各个问题的模型，再运用LINGO软件进行求解，所解出来的结果是全局最优解。运用线性规划模型求解，再用LINGO软件进行求解，显得方便快捷，从而很快的算出获得利润的最大值。为安排生产方案提供了很好的基础条件。节省资金与人力，不耽误生产所预定的时间。

关键词：数学规划，整数规划，最优解，决策变量，目标函数，利润最大，LINGO软件

一、问题重述
随着经济的不断发展，现代各种各样的企业都自己建立工厂生产本企业的特色产品。
某工厂生产A,B,C,D,E五种产品，每种产品需要单位消耗甲，乙，丙三种原料和各产品的单价如下表所示，其中甲原料限额600公斤，乙原料限额500公斤，丙原料限额300公斤，已知某厂生产有关参数如下表格：

单位消耗
产品
原料
A B C D E
限额
（公斤）
甲
乙
丙
0.1 0 0.2 0.3 0.1
0.2 0.2 0.1 0 0.3
0 0.3 0 0.2 0.1
600
500
300
单价（元）
4 3 6 5 8

（1）求最优生产方案；
（2）根据市场情况，计划A至少生产500件，求相应生产方案；
（3）因E滞销，计划停产，求相应生产方案；
（4）根据市场情况，限定C不超过1640件，求相应生产方案；
（5）若限定原料甲需剩余至少50公斤，求相应生产方案；
（6）若生产A则至少生产800件，若生产B则至少生产200件，求相应生产方案。（注意：第（6）至少两种模型与解法）
由生产方案生产有关参数及表格中数据和问题可以知，。本题要解决的问题在各个问题的原料的约束条件下，如何安排产品A、B、C、D、E的生产，即要求安排最优的生产方案，使该厂的总售价最大。

二、 问题分析
生产方案安排，这个优化问题的目标是使总售价最大，要做的决策是生产计划安排，即A、B、C、D、E产品如何安排生产使得总售价最大，产品生产受到原料的限制，原料的加工能力。按题目所给，将决策变量，目标函数和约束条件用数学符号来表示。生产一件产品A，单位消耗甲、乙、丙原料分别为0.1、0.2、0公斤；生产一件产品B，单位消耗甲、乙、丙原料分别为0、0.2、0.3公斤; 生产一件产品C，单位消耗甲、乙、丙原料分别为0.2、0.1、0公斤;生产一件产品D，单位消耗甲、乙、丙原料分别为0.3、0、0.2公斤; 生产一件产品E，单位消耗甲、乙、丙原料分别为0.10.3、0.1公斤.而原料甲的可以用来生产的量最多有600公斤，乙原料最多有500公斤可以用来生产，丙原料最多有300公斤用来生产。并且一件产品A、B、C、D、E的卖出的单价分别4元、3元、6元、5元、8元
这个优化问题的目标是使工厂销售收入达到最大，我们做的决策是生产方案安排，即生产产品A、B、C、D、E分别用多少原料甲, 生产产品A、B、C、D、E分别用多少原料乙，生产产品A、B、C、D、E分别用多原料丙，决策受到的限制有，各种原料的供应额，产品的价格，这是一个线性规划问题。
三、模型假设
1、 假设将该模型理想化，忽略生产过程中有可能出现的问题，不考虑原料剩余问题，只考虑最大总售价问题。假设在生产设备正常工作，工厂正常生产条件下所建立的数学模型。根据问题的的条件限制
2、符号设定：
设W为最大总售价，生产五种产品A、B、C、D、E的数量分别件，且所取的件数都是整数，因此 均为整数。

四、模型建立
根据题目所给的六个问题，及所给的条件，分别建立如下6个模型
模型1
由问题假设知道，生产产品A、B、C、D、E数量分别为件。
约束条件：生产件产品A，产品A所消耗甲原料是公斤，消耗乙原料是公斤；生产件产品B，产品B所消耗乙原料是公斤，消耗丙原料是公斤；生产件产品C，产品C所消耗甲原料是公斤，消耗乙原料是公斤；生产件产品D，产品D所消耗甲原料是公斤消耗丙原料是公斤；生产件产品E，产品E所消耗甲原料是公斤，消耗乙原料是公斤，消耗丙原料是公斤。用甲、乙、丙原料来生产产品A、B、C、D、E的原料最多分别600公斤，500公斤，300公斤。
生产件A产品，卖出的单价4元每件，则A产品总价为，生产件B产品，单价3元每件，则产品B的总价为；生产件C产品，单价6元每件，则C产品总价为；生产件D产品，单价5元每件，则D产品总价为；生产件E产品，单价8元，则E产品总价为。则最大的总售价就是把五个产品的总价相加起来。
目标函数：A产品总售价为，产品B的总售价为，C产品总售价为，D产品总售价为，E产品总售价为则容易得出五个产品的总售价是元。由此得出基本模型：

s.t

模型2
约束条件：根据市场情况，产品A至少要生产500件，件。就是在模型1的基础上，增加条件，其他条件不变。
目标函数：A产品总售价为，产品B的总售价为，C产品总售价为，D产品总售价为，E产品总售价为则容易得出五个产品的总售价是元。由此得出基本模型：

s.t

模型3
约束条件：因为E产品滞销，计划停产了，因此不生产E产品，E产品也不消耗原料，于是E产品的总销售额为0。目标函数：

s.t
模型4
由于产品C的生产数量不得超过1640件，因此在模型1的基础上增加约束条件.目标函数仍为。

模型5
我们从题目上知道第5问的约束条件是限定原料甲需要用来生产五种产品后需剩余至少50公斤，则生产五种产品总共需要的甲原料最多为550公斤。即。则模型如下：
目标函数
约束条件
模型6
若生产A产品,则A产品至少生产800件，即件；若生产B产品,则B产品最少生产200件，即件。假设当时工厂同时生产这两种产品或者生产这两种产品中的一种，或者都不生产产品A、B的情况，即。但产品C,D,E同时生产。即。

（6-0）

解法一 用线性规划模型中的LP模型来求解，分解成多个LP子模型
即在（6-0）的基础上把式（*）中的约束条件改为，并分解为如下三种情况：
（1-1）
（1-2）
（1-3）
（1-4）
并且
建立的模型，式子（6-0）与（1-1）构成第一种情况，即若A产品至少生产800件，B产品不生产的情况；‚式子（6-0）与（1-2）构成第二种情况,即若A产品不生产的，B产品至少生产200件的情况；ƒ式子（6-0）与（1-3）构成第三种情况，即A,B产品都不生产的情况；④产品A,B同时生产的情况。上述四种情况中，C,D,E产品可能生产也可能不生产的。

解法二 引入0～1变量，化为整数规划
设只取0,1。式子（6-0）的基础上把（*）式中的约束条件表示 （2-1）
其中M为相当大的整数。式子（6-0）与（2-1）构成该解法的模型。

五、模型求解
模型1求解 用软件LINGO求解，把目标函数与及约束条件输入LINGO，如下所示：
model:
max=4*x1+3*x2+6*x3+5*x4+8*x5;
[J] 0.1*x10.2*x3+0.3*x4+0.1*x5<=600;
[Y] 0.2*x1+0.2*x2+0.1*x3+0.3*x5<=500;
[B] 0.3*x2+0.2*x4+0.1*x5<=300;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);
end
用LINGO运行出结果：
Global optimal solution found.
Objective value: 22000.00
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 4

Variable Value Reduced Cost
X1 0.000000 -4.000000
X2 0.000000 -3.000000
X3 2600.000 -6.000000
X4 0.000000 -5.000000
X5 800.0000 -8.000000

Row Slack or Surplus Dual Price
1 22000.00 1.000000
J 0.000000 0.000000
Y 0.000000 0.000000
B 220.0000 0.000000
由上述程序的运行出的结果是模型的全局最优解（Global optimal solution），最优值为22000，最大总售价为22000元，迭代次数为4次。这个线性规划的最优解为时，即生产C产品2600件，E产品生产800件。而变量对应的“Reduced Cost”的含意是当从0开始每增加一个单位，最优的目标的函数增加4，其他依次类推。而 “Slack or Surplus”列对应的意思是这三种原料J（甲）,Y（乙）,B（丙）在最优解下是否有剩余，从中知道丙原料有220公斤剩余。“Dual Price”是影子价格。

模型2的求解
当把模型2的式子输入LINGO时可以运行出如下结果：
Global optimal solution found.
Objective value: 21000.00
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 3

Variable Value Reduced Cost
X1 500.0000 -4.000000
X2 0.000000 -3.000000
X3 2500.000 -6.000000
X4 0.000000 -5.000000
X5 500.0000 -8.000000

Row Slack or Surplus Dual Price
1 21000.00 1.000000
J 0.000000 0.000000
Y 0.000000 0.000000
B 250.0000 0.000000
5 0.000000 0.000000
由得出的结果是模型的全局最优解，最优值为21000，最大总售价为21000元，迭代次数为3次。这个线性规划的最优解为时，即生产A产品生产500件，C产品需要生产2500件，E产品需要生产500件。而 “Slack or Surplus”列对应的意思是这三种原料J（甲）,Y（乙）,B（丙）在最优解下是否有剩余，数据中知道原料丙有250公斤剩余.

模型3的求解
同样把模型3的目标函数以及约束条件输入软件中得到：
Global optimal solution found.
Objective value: 21000.00
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 2

Variable Value Reduced Cost
X1 0.000000 -4.000000
X2 1000.000 -3.000000
X3 3000.000 6.000000
X4 0.000000 -5.000000
X5 0.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price
1 21000.00 1.000000
J 0.000000 0.000000
Y 0.000000 0.000000
B 0.000000 0.000000

由上数据得出的结果在限定E产品滞销，E产品计划停产时，模型的全局最优解，最优值为21000，最大总售价为21000元，迭代次数为2次。这个线性规划的最优解为时，即当安排生产B产品生产1000件，C产品需要生产3000件时，总售价最大。而 “Slack or Surplus”列对应的的这三种原料J（甲）,Y（乙）,B（丙）在最优解下是没有剩余。

模型4的求解
第四问的模型同样把模型4的式子输入求出如下结果：
Global optimal solution found.
Objective value: 21465.00
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 6

Variable Value Reduced Cost
X1 0.000000 -4.000000
X2 0.000000 -3.000000
X3 1640.000 -6.000000
X4 533.0000 -5.000000
X5 1120.000 -8.000000

Row Slack or Surplus Dual Price
1 21465.00 1.000000
J 0.1000000 0.000000
Y 0.000000 0.000000
B 81.40000 0.000000
5 0.000000 0.000000
当安排生产产品时，即生产产品C是1640件时，D为533件，E产品1120件，是全局变量的最优解，总售价为21465元，甲原料剩余0.1公斤，丙剩余81.4公斤。

模型5的求解
将第五问的程序输入LINGO求出结果
Global optimal solution found.
Objective value: 21000.00
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 4

Variable Value Reduced Cost
X1 0.000000 -4.000000
X2 0.000000 -3.000000
X3 2300.000 -6.000000
X4 0.000000 -5.000000
X5 900.0000 -8.000000

Row Slack or Surplus Dual Price
1 21000.00 1.000000
J 0.000000 0.000000
Y 0.000000 0.000000
B 210.0000 0.000000
当安排生产产品时，即安排生产产品C是2300件时，E产品900件，是全局变量的最优解，总售价为21000元，丙原料剩余210公斤。

模型6的求解
解法一：
针对情况：运行程序得出结果：
Global optimal solution found.
Objective value: 20400.00
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 2

Variable Value Reduced Cost
X1 800.0000 -4.000000
X2 0.000000 0.000000
X3 2440.000 -6.000000
X4 0.000000 -5.000000
X5 320.0000 -8.000000

Row Slack or Surplus Dual Price
1 20400.00 1.000000
J 0.000000 0.000000
Y 0.000000 0.000000
B 268.0000 0.000000
5 0.000000 0.000000
6 0.000000 3.000000
当即安排生产A产品800件,C产品2440件,E产品320件时，求得最大售价为20400元，

针对情况‚：运行程序得出结果：
Global optimal solution found.
Objective value: 21800.00
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 4

Variable Value Reduced Cost
X1 0.000000 0.000000
X2 200.0000 -3.000000
X3 2680.000 -6.000000
X4 0.000000 -5.000000
X5 6400000 -8.000000

Row Slack or Surplus Dual Price
1 21800.00 1.000000
J 0.000000 0.000000
Y 0.000000 0.000000
B 176.0000 0.000000
5 0.000000 4.000000
6 0.000000 0.000000
当即安排生产A产品200件,B产品不生产，C产品2680件,E产品640件时，求得最大售价为21800元，

针对情况ƒ：运行程序得出结果：
Global optimal solution found.
Objective value: 22000.00
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 2

Variable Value Reduced Cost
X1 0.000000 0.000000
X2 0.000000 0.000000
X3 2600.000 -6.000000
X4 0.000000 -5.000000
X5 800.0000 -8.000000

Row Slack or Surplus Dual Price
1 22000.00 1.000000
J 0.000000 0.000000
Y 0.000000 0.000000
B 220.0000 0.000000
5 0.000000 4.000000
6 0.000000 3.000000
当，即安排生产C产品2600件,E产品800件时，产品A,B都不生产求得最大售价为22000元，

针对情况④：运行程序得出结果：
Global optimal solution found.
Objective value: 20200.00
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 3

Variable Value Reduced Cost
X1 800.0000 -4.000000
X2 200.0000 -3.000000
X3 2520.000 -6.000000
X4 0.000000 -5.000000
X5 160.0000 -8.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 20200.00 1.000000
J 0.000000 0.000000
Y 0.000000 0.000000
B 224.0000 0.000000
5 0.000000 0.000000
6 0.000000 0.000000
当，即安排生产C产品2520件,E产品160件时，产品A,B都生产求得最大售价为20200元。
相比上述4种情况可以得出要使得总售价最大，则应该取第三种来安排生产，即安排生产C产品2600件,E产品800件时，产品A,B都不生产可求得最大售价为22000元，这就是第六问的最优解。

解法二
把解法二的公式输如，且在输入的最后要上0-1变量的限定语句：@bin(y1);@bin(y2);得出如下结果。
Linearization components added:
Constraints: 8
Variables: 2
Global optimal solution found.
Objective value: 22000.00
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 4

Variable Value Reduced Cost
X1 0.000000 0.000000
X2 0.000000 0.000000
X3 2600.000 -2.500000
X4 0.000000 -2.000000
X5 800.0000 -2.500000
Y1 0.000000 0.000000
M 0.000000 0.000000
Y2 0.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 22000.00 1.000000
J 0.000000 10.00000
Y 0.000000 15.00000
B 220.0000 0.000000
5 0.000000 0.000000
6 0.000000 0.000000
7 0.000000 0.000000
8 0.000000 0.000000
所求出的最优结果与第一种解法的最优结果一样。因此第六问的答案是均不生产产品A,B是，所卖出的总售价最大为22000元，丙原料剩余220公斤。引用上0-1变量可以更快的算出每种产品应该要生产的数目，就知道了如何安排生产。
六、结果分析和检验
上述各个问题的程序输出中，可以横容易的看出各个产品应该生产多少件，总售价最大以及原料的剩余量。当约束条件发生变化时，目标函数也会跟着改变，生产后原料为零的数值表示着在生产设备，能力，其他条件的情况下，原料都被完全的利用了，没有剩余。这种约束为紧约束。目标函数可以看做效益，成为紧约束的资源，，一旦增加，效益必然跟着增长。“ Dual Price”为影子价格，效益的增长可以看做资源的潜在价值，例如举模型6的解法二的结果为例，甲原料一公斤的影子价格为10元，乙原料的影子价格一公斤为15元，丙为0元。我们都知道产品都是一件一件的，没有小数，本文中的说又解法都注意到了这个问题。对目标函数系数变化的影响问题，我们针对模型1的程序进行了敏感性分析，所得出的结果与上述模型2的结果是一样的，说明在约束条件不变情况下，最优解的值也不变的。

七、 模型的优缺点讨论
我们都对上述问题的求解，觉得做得好的地方有几下方面：第一，考虑到了件数是整件数的，没有小数，因此用到了整数规划的解法来求解。第二，明确目标函数，知道要求省么。第三，对在整个生产过程中，假设到了其他因素不变，生产设备正常生产，除了题目所给的约束条件的变化外的定义。第四，在第六问的模型建立中考虑问题全面，都列出的所有可能出现的情况，并对列出的情况进行求解与相互比较，从而取总利益最大的方案，工产进行生产安排。模型缺点：没有考虑原料剩余后如何运用这些原料使得工产获得更多的利益这个问题。
八、 推广和改进
任何生产，企业都需要提前对产品进行预算与评估，而预算中就包含有本模型的求法，算出企业获得最大收益的决策。因此本模型在企业的预算与评估过程中，占据着很重要的作用。这是一类利用线性规划求解最优解的问题，关键在于变量的合理假设，列出目标函数和约束条件，利用LINGO软件求解，并进行敏感性分析，如价值系数的改变对最优值的影响等。例如生产中确定下原料方案，使用原料最少，获得最高利润，最节省资源以及连续投资获得本利总和等等问题，都能够通过数学规划模型与运筹学的完美相结合来解决。与依赖于过去经验（经验论）解决面临的优化问题和依赖于做大量试验反复比较（试验论），数学优化模型具有明显的科学性与可行性。例如与试验论相比，优化模型不需要消耗很多的资金和人力。而数学规划模型可以节省资金人力。

九、参考文献
1.姜启源 谢金星 叶俊，数学模型，北京，高等教育出版社，2011年

13

附件
所用软件:LINDGO 数学编辑器
模型1输入LINGO的程序如下所示：
model:
max=4*x1+3*x2+6*x3+5*x4+8*x5;
[J] 0.1*x1+0.2*x3+0.3*x4+0.1*x5<=600;
[Y] 0.2*x1+0.2*x2+0.1*x3+0.3*x5<=500;
[B] 0.3*x2+02*x4+0.1*x5<=300;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);
end

模型2输入LINGO的程序如下所示：
model:
max=4*x1+3*x2+6*x3+5*x4+8*x5;
[J] 0.1*x1+0.2*x3+0.3*x4+0.1*x5<=600;
[Y] 0.2*x1+0.2*x2+0.1*x3+0.3*x5<=500;
[B] 0.3*x2+0.2*x4+0.1*x5<=300;
x1>=500;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);
end

模型3输入LINGO的程序如下所示：
model:
max=4*x1+3*x2+6*x3+5*x4;
[J] 0.1*x1+0.2*x3+0.3*x4<=600;
[Y] 0.2*x1+0.2*x2+0.1*x3<=500;
[B] 0.3*x2+0.2*x4<=300;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);
end

模型4输入LINGO的程序如下所示：
model:
max=4*x1+3*x2+6*x3+5*x4+8*x5;
[J] 0.1*x1+0.2*x3+0.3*x4+0.1*x5<=600;
[Y] 0.2*x1+0.2*x2+0.1*x3+0.3*x5<=500;
[B] 0.3*x2+0.2*x4+0.1*x5<=300;
x3<=1640;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);
end

模型5输入LINGO的程序如下所示：
model:
max=4*x1+3*x2+6*x3+5*x4+8*x5;
[J] 0.1*x1+0.2*x3+0.3*x4+0.1*x5<=550;
[Y] 0.2*x10.2*x2+0.1*x3+0.3*x5<=500;
[B] 0.3*x2+0.2*x4+0.1*x5<=300;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);
end

模型6输入LINGO的程序如下所示：
解法一
情况的程序：
model:
max=4*x1+3*x2+6*x3+5*x4+8*x5;
[J] 0.1*x1+0.2*x3+0.3*x4+0.1*x5<=600;
[Y] 0.2*x1+0.2*x2+0.1*x3+0.3*x5<=500;
[B] 0.3*x2+0.2*x4+0.1*x5<=