线性代数模拟题（开卷）.doc

中国地质大学（北京）继续教育学院 2012年09课程考试
《线性代数》模拟题（开卷）

一．单项选择题
1．设为阶矩阵，且，则（ C ）。
A． B． C． D．4
2．维向量组 （3 £ s £ n）线性无关的充要条件是（ C ）。
A．中任意两个向量都线性无关
B．中存在一个向量不能用其余向量线性表示
C．中任一个向量都不能用其余向量线性表示
D．中不含零向量
3．下列命题中正确的是（ D ）。
A．任意个维向量线性相关 B．任意个维向量线性无关
C．个维向量线性无关 D．任意个维向量线性相关任意
4．n元非齐次线性方程组AX=B有唯一解的充要条件是（ B ）。
A．r(A)=n B．r(A)=r(A,B)=n C．r(A)=r(A,B)<n D．r(A)=r(A,B)
5．矩阵A的特征值为1,2,3，则其行列式|A|为（ A ）。
A．6 B．18 C．36 D．72
6．方阵A与B相似，则下列说法错误的是（ A ）
A．方阵A与B有相同的特征向量 B．方阵A与B有相同的特征值
C．方阵A与B有相同的行列式 D．方阵A与B有相同的迹
7．三元非齐次线性方程组AX=B的解向量满足，则其导出组AX=0的一个解为（ C ）
A． B． C． D．

二．填空题
1． 18 。
2．若齐次线性方程组只有零解，则应满足。
3．当k= k=4 时，向量组线性相关。
4．，则A-1= 。
5．矩阵A的特征值分别为1, -1, 2, 则|A2+2I|= 24 。
6．写出二次型对应的对称矩阵
。

三．计算题
1．问取何值时，下列向量组线性无关？。
解：

即时向量组线性无关.
2．求的全部特征值和特征向量。
解：

特征值。
对于 ，特征向量为；
对于,特征向量为。

3．求行列式的值。
解：

4．已知矩阵，求。
解：
因为，,

，所以
5．求向量组的极大无关组，并用极大无关组表示其余向量。
解：
，
因此，极大无关组为 且 。
6．已知矩阵，求正交矩阵T使得为对角矩阵。
解：
1) 首先求其特征值：，
其特征根为：
2) 求各特征值的特征向量，当时求得特征向量为，将其正交化得， 再将其单位化得

当时特征向量为，将其单位化得.
3）所得正交矩阵，
为对角矩阵.
四．证明题
1．设n阶方阵A满足，求证A和(A-I)都可逆并求其逆。
证明：因为，所以有
，
即，由定义可知A和(A-I)都可逆，且

2．设n阶方阵A满足，求证A-2I和A+I都可逆。
证明：因为，故，即
，由定义可知A-2I和A+I都可逆。

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