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第5章 VAR模型分析

5．1 引论
考虑简单的二维系统，如果没有充分的理由确定变量是否为外生变量的情况下，可以认为两变量具有反馈关系。假设的时间路径受的现期值与过去值影响，的时间路径受的现期值与过去值影响：
（5.1.1）
（5.1.2）
这里假设：（1）是平稳的；（2）是白噪声扰动，标准差分别为；（3）是不相关的。
方程（5.1.1），（5.1.2）构成了一阶向量自回归(VAR)。方程（5.1.1），(5.1.2)称为结构VAR, 这个系统反映了之间的相互反馈。如，是变化一个单位对的当期影响，是变化一个单位对的影响。注意：分别是对和的更新（或冲击）。当然，若不为零，有间接的当期影响，如，不为零，对有间接当期影响。这样的系统可以捕捉反馈影响。
方程（5.1.1），（5.1.2）不是导出型 (约化型) 方程，因为，对有当期影响，且对有当期影响。但可以将这方程系统转化成一个更便于应用的形式。我们可将这系统写成下面形式

或 （5.1.3）
这是 ，，，
前乘可得到标准形式的VAR

这里
定义是向量的第i个元素，是矩阵中的i行j列元素，是向量中的第i个元素，则（5.1.3）可写为
（5.1.4） （5.1.5）
方程（5.1.4），(5.1.5)称为标准型的VAR。注意这时误差项和是两个冲击的组合。因为,,我们可计算如下:
(5.1.6)
(5.1.7)
由于是白噪声过程，所以，

因此，是序列无关的，也是序列无关的，且分别有零均值,常量方差。冲击的协方差矩阵为

又由于

（5.1.7）
一般来说（5.1.7）不为零，所以是序列相关的，即两个冲击是相关的。当时（即对没有当期影响，对也没有当期影响）。
由于中所有元素都与时间t无关，所以可写成如下

5．2 估计和识别
Box-Jenkins方法的一个明确目的是提供一种建立节俭模型方法，最终目标是做出较精确的短期预测。
Sims (1980) 对在结构模型中施加“识别限制”的评论中，提出一个估计策略。考虑下面多维自回归过程
（5.2.1）
这里向量，截距向量，系数矩阵，误差向量。
在Sims的方法中，需要确定VAR中的适当的变量和适当的滞后长度。根据有关的经济模型来选取VAR变量，通过滞后长度的检验来确定方程中的滞后长度。这样做，不是为了减少估计的参数个数。矩阵含有n个参数，每个都含有个参数，所以，有个参数需要估计。毫无疑问，因为这些估计的参数中的许多是不显著的，VAR将是过度参数化。然而，由于目标是找出这些变量之间的关系，并不是作短期预测。加入一些不适当的零限制也许会损失重要的信息。而且，解释变量之间可能是高度共线性，对单个系数的t-检验不是非常可靠的方法。
方程（5.2.1）的右手边只包含滞后变量，且误差项是序列无关的，常数方差。因此，这系统中每个方程都能用OLS估计，而且OLS估计是一致的且是渐近有效的。
在建立VAR模型中，人们一直在争论：VAR 中的变量是否要求是平稳的。Sims(1980)和 Sims,Stock,and Watson (1990)建议即使变量含有一个单位根，也不要使用差分。他们认为：VAR分析的目的是确定变量之间的关系，并不是参数的估计，不主张差分的主要理由是损失数据中关于公共趋势（如，协整关系的可能性）的信息。同样，人们也在争论：数据是否需要去掉趋势。在一个VAR中，一个带有趋势的变量可由一个单位根加漂移项来很好地近似。但是，大多数观点认为，VAR中变量的形式应能模拟真实的数据生成过程。在估计结构模型时，这是非常重要的。这些问题，留在后面几章讨论。现在假设所有的变量都是平稳的。
识别
为了说明识别程序，我们回到二变量一阶VAR的例子。由于VAR过程中的反馈，方程（5.1.1），（5.1.2）不能直接估计，原因在于相关，相关。标准估计方法要求解释变量与误差项无关。注意，在估计标准型VAR（5.1.4），（5.1.5）中，不存在这样问题。OLS能提供中两元素的估计，中4个元素的估计。而且，从两个回归中获得残差，可以得到的方差，协方差的估计。问题在于是否能重新得到由方程（5.1.1），（5.1.2）所提供的信息。换句话说，对于（5.1.4），（5.1.5）构成的VAR模型的OLS估计，原来的方程组（5.1.1），（5.1.2）是否是可识别的？
如果我们比较方程组（5.1.1），（5.1.2）中参数的个数与方程组(5.1.4), (5.1.5)中参数的个数，可以看出，除非对方程（5.1.1），（5.1.2）施加一些必要的限制，否则就是不可识别的。估计方程(5.1.4), (5.1.5) 有9个参数需要估计，6个系数的估计和3个参数的值。而结构方程(5.1.1), (5.1.2)中包含十个参数。除2个截距系数外,4个自回归系数和2个反馈系数，有2个标准差。总之，结构方程（5.1.1），（5.1.2）中包含10个参数，而VAR估计只得到9个参数。除非我们对其中的一个参数加上限制，否则不可能识别这个方程，方程（5.1.1），（5.1.2）是不足识别(underidentified)的。
识别模型的一种方法是Sims(1980)提出的逆归方程组型式。如果对结构方程组系数加入一个限制，如系数，这时结构方程变为

（5.2.2）
同样（5.1.6），（5.1.7）变为

限制意味着，对有当期影响，但的一步滞后影响。加入这个限制（也许是由于特殊的经济模型），得到了一个恰好识别系统。限制也意味着，可由下式给出

用前乘结构方程组，给出

或
（5.2.3）
利用OLS估计这个方程组，就会得到

这里

由于，则和，因此，

因此，我们有9个参数估计
，代入上方9个方程中，并解出
。
这时可以利用、的估计和关系式，求出的估计。
限制意味着，对没有当期影响，在（5.2.3）中，都影响的当期值，而只有影响的当期值。只是对的冲击。按照这种三角形式分解残差的方法称为Choleski分解。
在n个变量的VAR中，B是n×n矩阵（有n个回归残差，n个结构冲击），要有个限制加入到回归残差和结构冲击中。因为，Choleski分解是三角形的，使矩阵B中有个值等于零。
5.3 脉冲反应函数
自回归有运动平均表示，向量自回归也有向量运动平均表示（VMA）。向量运动平均表示是Sims(1980)方法的一个主要特征，我们可以捕捉各种对VAR中变量冲击的时间路径。为了说明，仍然采用二变量一阶VAR为例
(5.3.1)
通过迭代，可得下面表示
（5.3.2）
（5.3.3）
结合（5.3.2）和（5.3.3）可有

为了简化上式，我们可以定义矩阵，其中的元素为：

因此，运动平均表示可写成的形式

或

为了考察和之间的关系，运动平均表示是非常有用的。的系数可生成对的时间路径的冲击效果。四个元素是影响乘数。如，系数是的一个单位变化对的即时影响。同样，元素和是的一个单位变化对的一期反应。前移一期，则，也表示的单位变化对的影响效果。
的单位脉冲的累积效果可通过对脉冲反应函数系数的求和来获得。如，n期之后，对的效应是。因此，n期之后，对的效应的累积之和是

令，得到长期乘数。因为被假设是平稳的，所以，对所有j, k有
收敛（有限）
系数都被称为脉冲反应函数，画出脉冲反应函数的图形（横轴为i，纵轴为）直观上给出了对各种冲击的反应程度。原则上，如果知道结构方程（5.1.1）,(5.1.2)中所有系数，就能找出冲击的时间路径，做脉冲反应分析。 然而，由于被估计的VAR是不可识别的。系数和方差协方差矩阵不足以识别这个结构方程。因此，为了识别脉冲反应，对这个两个变量VAR系统必须加入一些限制。
一种可能的识别限制是利用Choleski分解，使对没有当期影响，即令。误差项可被分解成
（5.3.4）
（5.3.5）
对给定，和，可利用（5.3.4），（5.3.5）计算，。在Choleski分解限制这个系统中，对没有直接影响（但的滞后值对的当期值有间接影响），但冲击对、有当期影响，所以这种分解对这系统产生了非对称性。由于这个原因，（5.3.4），（5.3.5）被称为变量的一个次序（ordering）。冲击直接影响和，但冲击并不影响。因此，被说成是“在因果关系上先于”。
假设VAR的标准形式（5.1.4），（5.1.5）的估计结果是：，，，还假设矩阵的元素中，是和之间的相关系数（由表示）等于0.8。因此，有

图5.3.1（a）,(b)捕捉了，的一个单位冲击对，的影响的时间路径。如图5.3.1（a），的一个单位冲击引起跳跃一个单位，跳跃0.8个单位。在下一个周期，回到零，但系统的自回归性是使不能立刻回到它们的长期值。因为，所以，，同样，，，的值收敛的它们的长期水平，平稳性保证了这个收敛。两个特征根是0.5和0.9。
模型1：

对冲击的响应 对冲击的响应

模型2：

对冲击的响应 对冲击的响应

图5.3.1 两个脉冲响应函数
的一个单位冲击效果由图5.3.1(b)中通过比较图5.3.1（a）和图5.3.1(b)可看出这种分解的非对称性。的一个单位冲击引起增加一个单位；但是，对没有当期影响，使得，在下一个周期中，回到零。系统的自回归性质使得，，图形中其它点是周期t+2到t+20的脉冲反应。因为这系统是平稳的，脉冲反应最终是递减的。
在Choleski分解中，如果限制，而不是，结果会如何？因为矩阵是对称的，冲击的脉冲反应是类似图5.3.1（a）, 的脉冲反应类似于图5.3.1（b）。实线代表的时间路径，影线代表的时间路径。在实际中，研究者如何决定哪种分解时最适合的？一些情况下，也许有理论支持一个变量对其它变量没有当期影响。但通常没有这种先验知识。而由于识别的需要，对系统加上一些限制结构。
次序（Ordering）的重要性取决于和的相关系数，这里，现在假设由估计的模型得到的一个值，使。在这种情况下，Ordering是不重要的。这时（5.3.4），（5.3.5）变成。由于方程之间没有相关性，由方程得到的残余等价于和，如果，都能假设为零。如果=1有一个冲击对两变量有当期影响。在的假设下，（5.3.4）（5.3.5）变为。若假设有。通常研究者需要检验的显著性。如在单变量模型中，可以使用正态分布检验零假设=0。若有100个观测值且，则认为显著。如果显著，通常的程序是使用特殊的Ordering来获得脉冲反应函数。这个结果与通过选取相反的Oedering获得的脉冲反应函数相比较。如果得出的结果存在很大差异，则需要对变量之间关系做进一步检验。

5.4 置信区间和脉冲反应
涉及脉冲反应函数的关键话题是利用估计的系数来构建脉冲反应函数，因为每个系数的估计都不是很精确，所以脉冲反应函数也有误差。那么，如何围绕脉冲反应函数构造置信区间。为了说明这个方法，考虑一个AR(1)模型的估计

（4.00）
已知t-统计量是4.00，AR(1)的系数是显著的。下面构造脉冲反应函数，对给定的水平，的一个单位冲击将使增加一个单位，下一期，，可以验证：脉冲反应为
注意AR(1)系数的估计是均值为0.6，标准差为0.15（0.60/4.00）。如果我们假设系数是正态分布，有95%的机会使系数的真值落在两个标准差区间[0.6-0.3，0.6+0.3]。
对多维系统情况会更复杂，因为估计的系数之间可能是相关的。如果没有正态性（特别地，VAR模型中有非平稳变量时），对于AR(p)过程，要获得置信区间，一般要用Monte Carlo方法：
1．利用OLS估计系数，并得到残差，表示的估计值，表示残差的估计值。
2. 设样本个数为T, 选取T个随机数代表。大多数软件包都可以利用随机选择的值来提取随机数。按这种方式生成了bootstrap置信区间。因此，将有一个长度为T的模拟序列，，利用这些随机数构造模拟序列

适当的初始化这个序列，以消除初始条件的影响。
3．将作为AR(p)过程来估计，并获得脉冲反应函数，如果重复这样的过程几千次，就可以生成几千个脉冲反应函数。利用这些脉冲反应函数构造置信区间。可以通过排除低于2.5%或高于2.5%的反应值，来获得95%的置信区间。这个方法的好处在于，不需要对自回归系数的分布做任何假设，置信区间的计算只是有点复杂。考虑两个系统：

复杂之处在于回归残差是相关的。还需要保持适当的误差结构。因此，当生成随机函数时，要考虑相关系数。如果使用Choleski分解，使，则利用（5.3.4），（5.3.5）来构造。

5.5 方差分解
由于无限制的VAR是过度参数化，所以无限制的VAR不适合做短期预测。但是，了解预测误差的性质对于揭示变量之间的相互关系是非常有用的。假设我们已知道，在的条件下，预报。设

向前一步预测误差是。同样
，

于是，向前二步预测误差是，一般地，向前n步预测

预测误差是
(5.5.1)
我们也能用结构模型的VMA型式（向量运动平均）考虑预测误差。当然，VMA和VAR模型包含同样信息，但用序列来描述预测误差的性质是方便的。我们考虑，由

则 ，向前n步预测误差是

只考虑其中的一个序列，则有

的向前n步预测误差的方差：

随着n的增加，预测误差的方差也增加。把向前n步预测误差的方差分解成不同的部分（按照不同的冲击），由冲击占的不同比例是

和
如果冲击不能解释的预测误差方差，这时称是外生的，在这种情况下，将与无关。如果冲击能解释全部的预测误差的方差，这时完全是内生的。
为了识别，必须对矩阵进行限制。Choleski分解（5.3.4），（5.3.5）中，解释了的所有一步预测误差方差。如果采用另一种次序（Ordering），解释了的所有一步预测误差方差。这种由于次序不同带来完全不同的效果，但在长期预测水平上，这种不同效果逐渐减弱。在实际中，分析各种预测水平下的方差分解是重要的。当n增加时，方差分解应当收敛。如果相关系数显著不为零，通常的做法是在各种不同的次序（Ordering）下求出方差分解。
脉冲反应分析和方差分解都是分析经济变量之间相互关系的有用工具。如果各扰动项之间相关性很小，识别的问题就不是特别重要，在各种次序（Ordering）下会得到基本相同的脉冲反应和方差分解。当然，许多经济变量的当期运动是高度相关的，所以还需要作进一步的分析。

5.6 假设检验
我们可以构造n个方程的VAR，每个变量都含有p阶滞后。当然可以包括经济中有相互影响效应的经济变量。当变量个数增加时，自由度迅速减少。例如，使用12期滞后的月度数据，增加一个变量就会在每个方程就会损失掉12个自由度。通过理论模型的分析，有助于选择VAR模型中的变量。
一个n个方程的VAR可表示成
（5.6.1）
这里截距项的参数
= 滞后算子多项式
中的系数由表示，是白噪声扰动，也许是相关的，方差、协方差矩阵用矩阵表示。
确定滞后长度的一种可能方法是对每个方程中每个变量允许有不同的滞后长度。但为了保持系统的对称性（并且能使用OLS方法），通常对所有方程使用相同的滞后长度。只要在每个方程中有相同的回归变量，OLS估计是一致的且渐近有效。如果VAR中的一些回归变量没有包含在其它的方程中，似乎无关的回归(SUR)能对VAR系统提供有效的估计。因此，当你有很好的理由让不同的方程滞后长度不同时，要利用SUR估计方法来估计“拟- VAR”。
在一个VAR中，较长的滞后长度能迅速降低自由度，如果滞后长度为p, n个方程中每一个都含有np个系数加上截距项，选取适当的滞后长度是非常重要的。如果p太小，模型容易被错误设定。如果p太大，损失自由度。为了检验滞后长度，在考虑自由度的条件下，从最可行的滞后长度开始，估计VAR，并得到残差的方差、协方差矩阵。如果使用季度数据，可以从滞后长度12开始，12阶滞后的残差的协方差矩阵表示为，现在如果想确定滞后8阶是否适合。这时可采用似然比检验。利用同样样本，重新估计8阶滞后的VAR，得到残差的方差、协方差矩阵，注意对应着n个方程的4个限制。似然比统计量是

但是，考虑经济分析中所能获得的样本容量，Sims(1980)建议使用

这里T=观测的样本个数
c=无限制系统中，每个方程中要估计的参数的个数
的行列式的自然对数。
这时，c=1+12n（因为每个方程有12个滞后项，加一个截距）
这个统计量渐近分布，自由度等于系统中限制的总个数。每个方程有4n个限制条件，所以总计有4个限制。如果与非常接近，即统计量的值较小，则接受零假设。如果统计量值较大，则拒绝零假设。如果统计量的值小于的临界值（指定显著水平），我们不能拒绝8阶滞后的零假设。在这点上，我们也能通过构造

来确定4阶滞后是否适合，按这种方式降低滞后阶数应格外小心，虽然它能拒绝4阶对12阶的零假设，但通常不能拒绝8阶对12阶，4阶对8阶的零假设。削减模型的一个重要问题是在每个阶段可能会损失部分解释能力。最后，解释能力可能会全部损失。在这种情况下，最好使用更长的滞后长度。
这种类型的似然比检验可应用到任何方程组的限制中，令和分别是无限制和有限制系统中方差、协方差矩阵。如果无限制方程含有不同的解释变量，令c表示含在最长的方程中解释变量的最大个数。Sims建议比较检验统计量
　　　　　　（5.6.2）
与自由度为限制的总个数的－分布。
似然比检验是基于渐近理论，在小样本的情况也许不是很有用。
另一种检验是ＡＩＣ和ＳＢＣ的多维推广。

这里：＝残差的方差、协方差矩阵
　　　Ｎ＝所有被估计的参数个数
因此，如果ｎ个变量的ＶＡＲ有ｐ阶滞后和一个截距项，则
增加解释变量将减少，但Ｎ却增加了。如在单变量情况，在使用相同的样本的情况下，选择具有最低的ＡＩＣ和ＳＢＣ的模型。

5.7 Granger 因果关系
Granger因果关系检验是确定是否一个变量的滞后项包含在另一个变量的方程中。在具有个滞后项的两变量模型中，不是的Granger原因当且仅当的系数均为零。因此，如果没有改进的预测效果时，那么不是的Granger原因。如果VAR中所有变量是平稳的,检验Granger原因的直接方法是使用标准的F检验来检验限制条件

很容易将上述情况扩展到含有个变量的模型中，因为表示变量关于变量的滞后值的系数，所以如果多项式的所有系数等于零，则变量不是变量的Granger原因。
注意Granger原因与外生性是两个不同的概念。对于的外生性，需要的条件是不受同期值的影响，然而Granger原因仅仅涉及的过去值对的影响，因此，Granger原因实际上测量的是的过去值是否有助于预测的未来值。为了说明它们的区别，在一个VMA模型中考虑关于的方程:

给定的值, 关于的信息没有帮助降低预报误差。换句话说, 对所考虑的模型, 有。中唯一的额外信息是的现值和过去值。而这些值不影响,所以不能改进的预测性能。因此, 不是的Granger原因。另一方面,由于我们假设不为零, 所以{}不是外生的。显然,如果不为零, 即使{}不是{}的Granger原因，则对的冲击影响的值。
检验一个变量是否可以加到VAR模型中, 可以用“分块外生性检验”。 Granger原因检验的多维扩展称之为“分块原因检验”。如，在三个变量，，的VAR模型中，要确定一个变量(如)的滞后值是否是系统中其它变量的Granger原因，需要检验的滞后值是否是或的Granger原因。实质上,分块外生性限制了在和的方程中的所有滞后值为零。这种跨方程的限制，通常使用似然比检验。利用，，的滞后值来估计关于和的方程，并计算。去掉的滞后值后再估计关于和的方程，并计算。然后，求出似然比统计量：

这个统计量有（因为在两个方程中，分别去掉了的p个滞后值）。由于无限制的和的方程包含了{}，{}，{}的p阶滞后和一个常量，所以要估计的参数个数。

5．8 Granger原因和货币供给变化
70年代后期，人们通常认为货币的波动反映了与将来的实际收入和价格有关的信息。事实上，主张实施积极的货币政策的理由是“货币供给的现期值与未来的价格水平、实际收入之间有着系统关系。”但是，有大量文献说明：这个关系在70年代后期不成立。Friedman和 Kuttner(1992)分析了货币的波动能否有助于预测收入的波动。考虑VAR方程：

名义收入对数的变化依赖于本身的过去值、名义货币供给和政府支出的对数变化的过去值。
当存在的过去值时，货币供给能否提供名义收入将来值的任何信息？Friedman和 Kuttner(1992)使用了货币供给的几种度量（基础货币，和各种短期利率），对不同的样本，期估计了三个变量的VAR。对于1960：2—1979：2，检验零假设“基础货币不是的Granger原因”的F统计量值是3.68。在1%的显著水平上，货币是的Granger原因。但是在1970：3—1990：4期间F-统计量值仅为0.82。因此，在通常显著水平下，货币不是收入的Granger原因。直到1979：2，在1%的显著水平上，货币是名义收入的Granger原因。在以后，这种原因不存在了。
为了更好的理解这三个变量之间的相互关系，Friedman和 Kuttner也报告了方差分解的结果。在1960：2—1979：2期间，解释了27%的的预报误差方差。在1970：3—1990：4期间，解释了10%的的预报误差方差。无疑，货币供给变化在预测名义收入的将来值上，显得作用在减少。

5．9 具有非平稳变量时的检验
在一个VAR模型中，有些回归变量可能是平稳的，有些回归变量可能是非平稳的。Sims,Stock,和Watson(1990)指出：如果要检验的系数可写成一个平稳变量的系数，那么t-检验是适合的。如果样本很大，可使用正态逼近这个t-检验。考虑二个变量的VAR方程中的一个方程：
(5.9.1)
首先考虑是的、是的情形。因为是平稳变量的系数，可使用t-检验来检验假设，F-检验来检验。因此，可使用t-分布或F-分布来确定的滞后阶数、确定是否为的Granger原因。
注意：对于限制也可使用t-检验，即使不是平稳的，也可实行这些检验。但是对于限制不能使用F-检验。为了说明这点，在方程（5.9.1）右边加一项，减一项，得

令，则有

是平稳变量的系数，检验零假设“”可使用t-检验。同样，在方程（5.9.1）右边加一项，减一项，得

所以，零假设“”可用t-检验。这里单个系数也许有正态分布，但和没有正态分布，作为平稳变量的系数是不可能的。
现在假设的，容易证明系数可写成平稳变量的系数。在方程（5.9.1）右边加，减，有

（5.9.2）
这里
因此，可利用F-分布来检验滞后长度检验。方程（5.9.2）说明：可重新改写方程 (5.9.1), 使这两个系数是平稳变量系数的形式。这样, F-检验可用来检验联合限制。但是, “不是的Granger原因”的限制是, 由于是非平稳变量系数,检验是非标准的, 标准的F-统计量是不适合的。只有已知时,可以检验“是否为的Granger原因”。假设，则（5.9.2）变成

现在，只需要限制，所以，可以进行原因检验。同样，如果已知，我们可有

现在，VAR是一阶差分的形式。所有系数都是平稳变量系数。这些结果对含有任意滞后阶数的系统也成立，具有一般性。 对于含有平稳，非平稳变量VAR系统，可总结如下：
1）对平稳变量可以使用t-检验或F-检验。
2）可以对任何变量或一些变量的滞后长度进行检验，不管这变量是否为平稳。
3）如果原因变量可以一阶差分的形式出现，就可以用F-检验来确定一个非平稳变量是否为另一个非平稳变量的Granger原因。
如，假设都是I(1)的并且可写成

可以检验是否为的Granger原因，但不能检验是否为的Granger原因。同样，不能检验联合限制。
4、如果VAR可以写成一阶差分的形式，对任何方程（或一些方程）的假设检验都可利用t-检验，F-检验。这是因为所有变量都是平稳的。下一章我们会看到，如果变量是I(1)的，不是协整的，可以将VAR写成一阶差分的形式。如果所涉及的变量是协整的，VAR就不能写成一阶差分的形式，因此，原因检验就不能用t-检验或F-检验。

5．10 结构 VAR
Sims(1980)的VAR方法中，所有变量都被均等对待，不依赖于任何“识别限制”。在分析一系列经济变量之间的关系时，VAR是非常有用的，VAR的估计结果也可用来预测。考虑一个一阶VAR系统：

虽然VAR方法可以估计，为了说明，这里假设是已知的。n步向前预测误差是
(5.10.1)
一个适当的模型应有无偏的，最小方差预测。当然，如果我们有关于系数的先验信息，就可以改进估计的精度，减少预测误差方差。只关注预测的研究者总希望减少VAR中的过多参数。
VAR方法因为缺少经济含义而遭到批评，经济学家的作用是在VAR模型中提供适当的变量。因为VAR中含有较少的经济因素，所以，结果中含有较少的经济内容是不足奇怪的。当然，在考虑扰动项时，需要考虑次序，次序的选择是根据需要而定。
除非基本的结构模型可由导出型（约化型）方程中识别，否则Choleski分解中的误差项没有直接的经济解释。再考虑两变量VAR（5.1.1）和（5.1.2）

可以将这个模型写成（5.1.4），（5.1.5）的形式

两个误差项是冲击的组合：

虽然组合冲击是的向前一步预测误差，他们并没有结构上的解释。所以利用VAR进行预报与利用VAR进行经济分析有重要的区别。在（5.10.1）中，是预测误差。如果我们只关注预测，预测误差的构成就不是很重要。给定经济模型（5.1.1），（5.1.2），若我们想获得脉冲反应函数或方差分解，就必须使用结构冲击（），不能使用预测误差。结构VAR的目的是利用经济理论（而不是Choleski分解），从残差中识别出结构冲击。
Choleski分解对结构误差有较强的假设。如在（5.2.2）中，我们选择一种“次序”使得，这样，两个扰动可被识别为

令意味着假设中的扰动对没有当期影响。除非这个假设有理论依据，否则冲击就不能恰好识别，由这不恰当的识别中得到的脉冲反应和方差分解也是不正确的。
如果之间的相关系数很低。“次序”就不重要了，但在几个变量的VAR中，所有的相关系数都很小是不太可能的，有时往往需要选几个有较强的公共趋势的变量。当VAR的残差是相关的，试图选择所有“次序”是不可行的（在4个变量模型中，就有4！=24种次序）。Sims（1986）和Bernanke(1986)提出：利用经济分析来给扰动项建模。基本想法是利用经济模型来估计结构冲击之间的关系。为理解这个方法，有必要考察预测误差和结构冲击之间的关系。由于这个关系对于滞后长度是不变的，考虑n个变量的一阶模型。

或
前乘，得

表示为
利用的观测值和系统的限制，由识别出。但是的选取不是任意的。对系统进行限制主要是（1）识别出,(2)保持各是独立的误差结构。为了解决这个识别问题，比较一下方程个数和未知数个数。利用OLS估计，可以获得方差、协方差矩阵:

中的每个元素是

由于是对称的，只包含了不同元素。假定B的对角线元素都是1，且含有个未知值。此外，在结构模型中，有个未知数（即，个B的值加n个值）。现在回答识别的问题就简单了:为了从已知的中个元素中识别个未知数元素，必须加入额外的个限制。同样可扩展到p阶滞后模型。为了从估计的VAR模型中识别结构模型,必须加入个限制。
在 Choleski分解中要求主对角线上方元素全为零:

因此，有个限制，系统恰好可识别。看一个特别例子,在三个变量VAR中的Choleski分解:

由上方的讨论，可以看出可由和方差,协方差矩阵的估计中识别出来。定义的元素为，因此，。
另一种构造预测误差和结构扰动之间关系的方法是

注意，这里不是三角型结构：每个变量的预测误差受自己的结构误差和另外变量结构误差的影响。 给定C的(9-3)/2=3个限制，是B和恰好识别的必要条件。但加入个限制不是恰好识别的充分条件。由于非线性的存在，没有简单的规则保证恰好识别。
回归残差的方差、协方差矩阵可写成

给定 则
(5.10.1)
注意，是结构扰动方差、协方差矩阵。由于结构冲击之间的协方差是零，可把写为

为了求出结构扰动和回归残差之间的关系，把代入（5.10.1）中，得

或

因为的4个值是已知的，由4个方程可以确定4个未知值。但系统的对称性使，所以，只有3个独立方程4个未知值。把这些情况推广到n阶VAR，有

这里是矩阵。这时需要对加入个限制可以完全识别这个系统。
5.11 过度识别系统
经济理论可能会提出多于的约束条件，对这样的过度识别系统需要进行下面的识别：
第1步：估计无约束的VAR模型

利用滞后长度检验和块因果关系检验确定VAR的形式。
第2步：得到无约束方程的协方差矩阵。
第3步：选择适当的约束条件，使关于B和的自由参数的似然函数最大化。B和的估计结果记为。
第4步：R为过度识别的约束条件个数，即R为超过的约束条件数。统计量

可检验约束系统。如果的值超过的临界值，拒绝约束条件。
Sims的结构VAR
Sims(1986)利用六个变量1948：1—1979：3的季度数据：包括，实际GNP(y)，实际固定资产投资(i), GNP削减指数(p)，货币供给M1(m),失业(u)和国库券利率(r)，估计了一个每个变量都是4阶滞后并有常数的无限制VAR模型。在Choleski分解中，Sims使用的“次序”为，得到了36个脉冲反应函数。有些脉冲反应函数有较合理的解释，但实际变量对货币供给冲击的反应是不尽合理。脉冲反应说明：货币供给冲击对价格、产出、利率有较少影响。给定标准的货币需求函数，很难解释大众为什么愿意持有增加的货币供给。Sims提出另一个 Choleski分解，它与货币市场均衡是一致的。Sims对矩阵B的限制为

注意对有17个零限制，这个系统是过渡识别的（6个变量，恰好识别需要个限制。加入这些限制，Sims得到了下面六个关系式：

由此得到，货币供给与利率是正相关的。 货币需求与收入、物价水平正相关，与利率负相关。此外，Sims没有找到理由以任何特殊的形式来限制其它方程。为了简化，他对于GNP、价格、失业率选择了Choleski型的块结构，脉冲反应函数与货币供给冲击影响价格、收入、利率是一致的。
这种方法的一个局限性是对一个过渡识别系统，对的符号的限制对统计推断有重要影响。Waggoner和 Zha(1997)研究表明：问题的实质在于通过解下面方程

而得到的同期脉冲反应。
假设较小，并有较大的标准差。如果限制是正的（使得以概率1增加产出），可能会增加其余的标准差。
5．12 Blanchard-Quah
Blanchard 和Quah(1989)提出一个获得结构 VAR的方法。他们的目的是重新考虑 Beveridge 和Nelson(1987)关于把实际 GNP分解成暂时的和永久的部分的分解方法。他们给出了一个宏观经济模型，使实际GNP受需求—供给扰动影响。按照自然率假说，需求扰动对实际GNP没有长期影响。在供给方面，生产冲击假设对产出有长期影响。在单变量模型中，没有将一个变量分解为暂时的和持久的部分的唯一方法。但利用二维 VAR, Blanchard 和Quah说明了如何分解实际GNP并识别出两个纯冲击。
看一个一般的例子。假设我们想要分解一个I(1)序列，比如 分解成暂时和持久部分。假设有第二个变量也受同样两个冲击的影响，现在假设 是平稳的。如果省略截距项，和的二维运动平均表示 (BMA)有下面形式
(5.12.1)
(5.12.2)
或

这里和是独立的白噪声扰动，方差为常数。C(L)是滞后算子多项式，的系数是。为了方便，方差、协方差下面的角标被省略，并且冲击被标准化为。如果令为扰动的方差、协方差矩阵，有

为了利用Blanchard和Quah方法，至少有一个变量是非平稳的（因为I(0)变量没有持久部分）。但使用这种方法，两个变量必须用平稳形式。
与Sims-Bernanke方法不同，Blanchard 和Quah方法并没有把冲击，与，直接联系起来，而是把和看作是内生的，而，代表外生变量。在他们的例子中，是实际GNP的对数，是失业，是总需求冲击，是总供给冲击。的系数代表总需求冲击对实际GNP对数的变化的时间路径的脉冲反应。
把分解成持久部分与平稳部分的关键是假设这些其中一个冲击对序列有暂时影响。正是这种短期和长期效应，使我们可以由估计的VAR模型中识别出结构扰动项。例如：Blanchard和Quah假设了总需求冲击对GNP没有长期影响。如果GNP在长期不受需求冲