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章复习 第9章 不等式与不等式组
一、不等式
1、不等式的概念及分类
⑴一般地，用________不等号连接的式子叫做不等式．
⑵不等式常分两类：①表示大小关系的不等式；②表示不等关系的不等式．
注：①不等号包括“≠”（不等于），“>”（大于），“≥”（大于或等于），“<”（小于），“≤”（小于或等于）．在“≥”和“≤”中，只要有一个符号成立，则该不等式成立；②含“≠”的是表示不等关系的不等式，其余的均是表示大小关系的不等式．
2、不等式的解、解集
与方程相似，我们把使不等式成立的________未知数的值叫做不等式的解．
能使不等式成立的未知数的________取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
注：不等式的解是一个固定的值，而不等式的解集是不等式的解的集合，不等式所有的解构成不等式的解集．
3、不等式的性质
性质1：不等式两边加（或减）同一个____数（或____式子），不等号的方向____不变，即
如果，那么____________．
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个____正数，不等号的方向不变．即
如果，那么________或________．
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个____负数，不等号的方向改变，即
如果，那么________或________．
注：不等式的性质是不等式变形及解不等式的理论依据，其中性质3是重点，也是难点，应特别注意不等号方向的改变．
总结：等式的性质与不等式的性质的比较：
等式的性质
不等式的性质
对称性：若a=b，则b=a
反对称性：若a>b，则b<a
传递性：若a=b，b=c，则a=c
传递性：若a>b，b>c，则a>c
性质1：若a=b，则a±c=b±c
性质1：若a>b，则a±c>b±c
性质2：若a=b，c≠0，
则ac=bc，
性质2：若a>b，c>0，则ac>bc，
性质3：若a>b，c<0，则ac<bc，
4、不等式的解集的表示
不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，具体表示方法是先确定________边界点：解集包含边界点，则边界点是实心圆点；不包含边界点，则边界点是空心圆圈；再确定________方向：大向右，小向左．
如和在数轴上的表示如下图：

二、一元一次不等式
1、一元一次不等式的概念
类似于一元一次方程，含有____一个未知数，未知数的次数是____l的不等式叫做一元一次不等式，它的一般式是________或________，其中为常数．
2、一元一次不等式的解法及步骤
解一元一次不等式的一般步骤及常用技巧与解一元一次方程类似．其一般步骤同样是：去____分母、去____括号、____移项、____________合并同类项和____________系数化为1．
解一元一次不等式各个步骤的根据、做法、注意事项如下：
①去分母，根据不等式基本性质2、3．做法：不等式两边乘各分母的________最小公倍数．
注意：不等号两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，千万不要漏乘。
②去括号，根据去括号法则和分配律，一般按照小括号、中括号、大括号的顺序依次去括号，特别是括号前面是负号时，一定要注意括号内各项要____变号．
③移项，根据移项法则，做法：把含有未知数的项移到不等式的一边，其他项都移到不等式的另一边．
注：移项一定要____变号．
④合并同类项，根据合并同类项法则，做法：____系数相加，字母和字母的指数不变，把不等式化成ax>b或ax <b(a≠0)的形式．
⑤系数化为1，根据不等式的基本性质2、3．做法：a．不等式两边都乘以____________未知系数的倒数（如果它是分数）；b．不等式两边都除以____________未知数系数（如果它是整数）．
注：当不等式的未知数系数小于0时，变系数为1后不等号方向要____改变．
3、不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，是数形结合的具体表现．
注：在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向．有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈，方向：大向右，小向左．不等式的解是指使不等式成立的每一个数，一般都有无穷多个．求不等式解集的过程叫做________解不等式．
在解一元一次不等式中，应特别注意运用不等式性质3时，不等号要改变方向．
总结：方程与不等式及解法的比较：
ax=b
ax>b
ax<b
解：
①当a≠O时，；
②当a=O，b≠0时，
方程无解；
③当a=O，b=O时，
x为任意实数
解：
①当a>O时；
②当a<O时，；
③当a=O，b<O时，
x为任意实数；
④当a=O，b≥0时，
不等式无解
解：
①当a>O时，
②当a<O时，；
③当a=O，b≤O时，
不等式无解；
④当a=O，b>O时，
x为任意实数
4、列一元一次不等式解应用题
列一元一次不等式解应用题与列方程解应用题类似，不同之处在于一个是找________不等关系，另一个是找________等量关系．解题时，应准确地把握题中的关键语句，如“不得超过”、“至少”等。
三、一元一次不等式组
1、一元一次不等式组的相关概念
⑴一元一次不等式组
含有相同未知数的若干个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．
注：组成不等式组的几个不等式，必须含有相同的________未知数。
⑵一元一次不等式组的解集
一般地，几个一元一次不等式的解集的________公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集．
2、解一元一次不等式组的步骤
⑴求出这个不等式组中各个不等式的解集；
⑵利用数轴求出这些不等式解集的________公共部分，即求出这个不等式组的解集．如果各个不等式的解集没有公共部分，那么这个不等式组________无解，即解集为空集．
总结：由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，可划分为以下四种情形：（以下总设a<b）．
一元一次
不等式组
解集
图示
语言叙述
（便于记忆）

两大取较大

两小取较小

大小交叉中间找

无解

大小分离解为空
3、利用不等式组解应用题
大致和列方程（组）解应用题类同．先清楚涉及的已知量和未知量，再充分挖掘题中蕴涵的相等及不等关系．通常用相等关系列代数式表示未知量，用不等关系列不等式（组）．
四、典型例题
列不等式组解应用题与列方程组解应用题的步骤大致相同，不同之处在于前者找的是不等关系，后者找的是等量关系．利用不等式组解应用题，通常需根据解集确定最优解。
例l 已知关于x，y的方程组的解满足，化简．

解：由
解得，，解得
(1)当
时，
(2)当时，
例2 学校有若干房间分配给九年级(1)班的男生住宿，已知该班男生不足50人，若每间住4人，则余15人无住处；若每间住6人，则恰有一间不空不满（其余房间均住满），那么该班男生人数是多少？

解：设房间数为x，则
得
由房间数为整数，得∴男生共有4·8+15 =47（人）．
例3 a克水中有b克糖（a＞b＞0），若再添加c克糖（c＞0），当添加的糖完全溶解后，糖水会变得更甜．试用一个不等式表达糖水变甜这一现象，并证明该不等式．

不等式与不等式组练习
1．的3倍与2的差不小于5，用不等式表示为 .
2．不等式的解集是 ．
3．不等式组的整数解的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．关于y的不等于组有实数解，则m的取值范围是_________________．
5．不等式3(x－1)+4≥2x的解集在数轴上表示为（ ）
6．不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示，则这个不等式组为（ ）
　　 A． B. C． D.
7．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）

x
y

0
2

1
0
2
A．
1
0
2
B．
1
0
2
C．
1
0
2
D．

8．一次函数（是常数，）的图象如图所示，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
9．解不等式组

10．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．

11．解不等式组

第9章 不等式与不等式组 4