2014高考数学一轮热点对位训练：3《导数的概念与计算》.doc

第节　导数的概念与计算

【选题明细表】[来源:学#科#网]
知识点、方法
题号
导数的概念及运算
1、2、4、10
导数的几何意义
3、5、7、12
导数的综合应用
6、8、9、11

一、选择题
1.(2012湖北荆州模拟)在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则为(　C　)
(A)Δx++2 (B)Δx--2
(C)Δx+2 (D)Δx-+2
解析:Δy=f(1+Δx)-f(1)=[(1+Δx)2+1]-2=
(Δx)2+2·(Δx),
∴=Δx+2,选C.
2.(2012宿州模拟)若f(x)=2xf'(1)+x2,则f'(0)等于(　D　)
(A)2 (B)0 (C)-2 (D)-4
解析:∵f'(x)=2f'(1)+2x,
∴f'(1)=2f'(1)+2,
∴f'(1)=-2,
∴f'(x)=2x-4,
∴f'(0)=-4.
故选D.
3.(2012济南模拟)曲线f(x)=x2(x-2)+1在点(1,f(1))处的切线方程为(　D　)
(A)x+2y-1=0 (B)2x+y-1=0[来源:学科网ZXXK]
(C)x-y+1=0 (D)x+y-1=0
解析:∵f(1)=12×(1-2)+1=0,
∴切点坐标为(1,0).
又f'(x)=3x2-4x,
∴f'(1)=-1,
∴切线方程为y=-(x-1),
即x+y-1=0.
故选D.
4.函数f(x)=sin2的导数是(　D　)
(A)f'(x)=2sin (B)f'(x)=4sin
(C)f'(x)=sin (D)f'(x)=2sin
解析:由于f(x)=sin2=
=
-cos,
∴f'(x)=4×sin=
2sin,[来源:学科网]
故选D.
5.(2012合肥一模)曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(　D　)
(A)e2 (B)4e2
(C)2e2 (D)e2
解析:因为f'(x)=,所以曲线在点(4,e2)处的切线的斜率为k=f'(4)=e2,切线方程为y-e2=e2(x-4),即e2x-y-e2=0,切线与x轴和y轴的交点坐标分别为A(2,0)、B(0,-e2),则切线与坐标轴围成的△OAB的面积为×2×e2=e2,故选D.
6.定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1,f'(x)为f(x)的导函数,已知y=f'(x)的图象如图所示,若两个正数a、b满足f(2a+b)<1,则的取值范围是(　C　)
(A) (B)∪(5,+∞)[来源:学科网ZXXK]
(C) (D)(-∞,3)

解析:观察图象,可知f(x)在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数,

由f(2a+b)<1=f(4),可得画出以(a,b)为坐标的可行域(如图阴影部分所示),
而可看成(a,b)与点P(-1,-1)连线的斜率,可求得选项C为所求.故选C.
二、填空题[来源:Zxxk.Com]
7.(2012哈尔滨模拟)等比数列{an}中,a1=1,a2012=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a2012),则函数f(x)在点(0,0)处的切线方程为　　　　. 
解析:∵f(x)=x[(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)],[来源:学,科,网]
∴f'(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)+x·[(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)]'[来源:学科网ZXXK]
∴f'(0)=a1·a2·a3·…·a2012
=(a1·a2012)1006
=41006=22012.
∴f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=22012x.
答案:y=22012x
8.若θ为曲线y=x3+3x2+ax+2的切线的倾斜角,且所有θ组成的集合为,则实数a的值为　　　　. 
解析:设切线的斜率为k,
则k=y'=3x2+6x+a=3(x+1)2+a-3.
又∵k=tan θ,θ∈,∴k∈[1,+∞).
∴当x=-1时,k取最小值为a-3=1.∴a=4.
答案:4
9.(2012湖南十二校联考)若函数y1=2sin x(x∈[0,2π))在点P处的切线平行于函数y2=2(+1)在点Q处的切线,则直线PQ的斜率为　　　　. 
解析:函数y1=2sin x的导数为y'1=2cos x≤2,故在点P处的切线的斜率kP≤2;函数y2=2的导数为y'2=+≥2=2(当且仅当x=1时,等号成立),所以在点Q处的切线的斜率kQ≥2.又两切线平行,故切线的斜率只能为2,当kP=2时,点P的坐标为(0,0),当kQ=2时,点Q的坐标为,故直线PQ的斜率k=.
答案:
三、解答题[来源:学科网ZXXK]
10.求下列函数的导数.
(1)y=(2x2+3)(3x-1);
(2)y=(-2)2;
(3)y=x-sincos;
(4)设f(x)=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x,试确定常数a,b,c,d,使得f'(x)=xcos x.
解:(1)法一　y'=(2x2+3)'(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)'
=4x(3x-1)+3(2x2+3)=18x2-4x+9.
法二　∵y=(2x2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3,[来源:学*科*网]
∴y'=(6x3-2x2+9x-3)'=18x2-4x+9.
(2)∵y=(-2)2=x-4+4,
∴y'=x'-(4)'+4'=1-4×=1-2.
(3)∵y=x-sincos=x-sin x,
∴y'=x'-(sin x)'=1-cos x.
(4)由已知f'(x)=[(ax+b)sin x+(cx+d)cos x]'=
[(ax+b)sin x]'+[(cx+d)cos x]'=[来源:学*科*网Z*X*X*K]
(ax+b)'sin x+(ax+b)(sin x)'+(cx+d)'cos x+(cx+d)(cos x)'=
asin x+(ax+b)cos x+ccos x-(cx+d)sin x=
(a-cx-d)sin x+(ax+b+c)cos x.[来源:Zxxk.Com]
∵f'(x)=xcos x,
∴必须有[来源:学*科*网Z*X*X*K]
即⇒a=d=1,b=c=0.
11.(2013海口质检)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;[来源:学科网]
(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.
(1)解:方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.
当x=2时,y=.
又f'(x)=a+,于是解得
故f(x)=x-.
(2)证明:设P(x0,y0)为曲线y=f(x)上任一点,
由y'=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为
y-y0=(x-x0),
即y-=(x-x0).
令x=0得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.
令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).
所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为|-|·|2x0|=6.
故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.
12.求曲线f(x)=x3-3x2+2x的过原点的切线方程.
解:f'(x)=3x2-6x+2,设切线的斜率为k.
(1)当切点是原点时k=f'(0)=2,f(0)=0,
所以所求曲线的切线方程为y=2x.
(2)当切点不是原点时,设切点是(x0,y0),
则有y0=-3+2x0,
k=f'(x0)=3-6x0+2,①
又k==-3x0+2,②
由①②得x0=,k==-.
所以所求曲线的切线方程为y=-x.