第九单元---重积分.doc

第九单元 重积分一、填空题1、设为常数，则=_2、区域D由闭区域构成，则=_3、设函数在闭区域D上连续，是D的面积，则在D上至少存在一点使得=_4、计算=_，其中 D是由直线所围成的闭区域。5、设D是顶点分别为的直边梯形，计算=_6、改变下列二次积分的积分次序=_；=_；=_；=_；7、把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分=_；=_；=_()；8、二重积分=_，其中 D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域。9、将下列三重积分化为三次积分=_，为曲面及平面所围成的闭区域；=_，为曲面及面所围成的闭区域；10、区域为三坐标面及平面所围成的闭区域，则三重积分=_.二、选择题1、分别为单位圆盘在一、二、三、四象限的部分，则=（ ）(A) ；(B) ；(C) ；(D)0. 2、，则=（ ）(A) ；(B) ；(C) ；(D) .3、由不等式确定：，则=（ ）(A) ；(B) ；(C) ；(D) .4、为单位球：，则=（）(A) ；(B) ；(C) ；(D) .5、由不等式确定：，则（ ）(A) ；(B) ；(C) ；(D) .6、设有空间闭区域，则有（ ）(A) ；(B) ；(C) ；(D) .7、设有平面闭区域，。则=（ ）(A) ；(B) ；(C) ；(D) 0.三、计算解答1、设区域，计算.2、计算，其中D是由抛物线及直线所围成的闭区域.3、计算，其中D是由抛物线，及直线所围成的闭区域.4、计算，其中D是由所围成的闭区域.5、计算，其中D是由，直线，所围成的闭区域.6、求锥面被柱面所割下部分面积.7、求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围立体的表面积.8、计算三重积分，其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域.9、，其中是由与所围成的闭区域.10、计算三重积分，其中是与平面所围成的闭区域.11、计算三重积分，其中是与平面，所围成的闭区域.12、计算三重积分，其中是球面所围成的闭区域.13、计算三重积分，其中是球面所围成的闭区域.第九单元 重积分测试题详细解答一、填空题1、设为常数，则=2、区域D由闭区域构成，则=3、设函数在闭区域D上连续，是D的面积，则在D上至少存在一点使得=4、=，其中 D是由直线所围成的闭区域。分析：5、设D是顶点分别为的直边梯形，计算=分析：6、改变下列二次积分的积分次序；7、把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分；8、二重积分=，其中 D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域。分析：原式=9、将下列三重积分化为三次积分，；，；10、区域为三坐标面及平面所围成的闭区域，则三重积分=_分析：二、选择题1、选(A)；解答：在第一象限和第二象限是对称的。所以在第一二象限的值相等。2、选(A)；3、选(D)；解答：与相交的部分可分为两部分时，为锥体时，为半球体4、选(B)解答：注意，计算时5、选(C)6、选(C)7、选(A) 三、计算解答1、设区域，计算.解：2、计算，其中D是由抛物线及直线所围成的闭区域。解：3、计算，其中D是由抛物线，及直线所围成的闭区域。解：4、计算，其中D是由所围成的闭区域。解：5、计算，其中D是由，直线，所围成的闭区域。解：6、求锥面被柱面所割下部分面积解：,投影区域D：; 所以面积7、求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围立体的表面积。解： ,所以8、计算三重积分，其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域。解：9、，其中是由与所围成的闭区域。解：10、计算三重积分，其中是与平面所围成的闭区域。解：用柱面坐标变换,令11、计算三重积分，其中是与平面，所围成的闭区域。解：用柱面坐标变换,令12、计算三重积分，其中是球面所围成的闭区域。解：用球面坐标变换积分，令：13、计算三重积分，其中是球面所围成的闭区域。解：用球面坐标变换积分，令：第十章 曲线积分与曲面积分一、填空题1、设L是平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且，则L所围成的平面闭区域D的面积等于_.2、设曲线L是分段光滑的，且L=L1+L2，=2，=3，则=_.3、 设函数在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为，其中在上具有一阶连续偏导数，且，则曲线积分=_.4、设L是抛物线上点与点之间的一段弧=_.5、则=_。6、设L是从沿到的圆弧，则=_。7、设L是平面有向曲线，由两类曲线积分之间的联系，则_.8、区域D由和所围成的闭区域，则区域D的面积为_.9、设L是任意一条分段光滑的闭曲线，则=_.10、在面上，是某个函数的全微分，则这个函数是 _.11、设是由平面，及所围成的四面体的整个边界曲面，则= _.12、设是的外侧，则=_.13第二类曲面积分化成第一类曲面积分为_.二、选择题1、设曲面是上半球面：，曲面是曲面在第一卦限中的部分，则有（ ）.(A) ；(B) ；(C) ；(D) .2、设曲线L:,其线密度，则曲线的质量为（ ）.(A) ；(B) ；(C) ；(D) .3、=（ ），其中L为圆周.(A) ；(B) ；(C) ；(D) .4、设是从到点的直线段，则与曲线积分不相等的积分是（ ）(A) ；(B) ；(C) ；(D) .5、设L为，方向按增大的方向，则=（ ）(A) ；(B) ；(C) ； (D) .6、用格林公式计算，其中L为沿逆时针绕一周，则得（ ）(A) ；(B) ；(C) ； (D) .7、L是圆域D: 的正向周界，则=（ ）(A) ；(B) 0；(C) ； (D) .8、设为在面上方部分的曲面，则=（ ）(A) ；(B) ；(C) ； (D) .9、设为球面，则=（ ）(A) ；(B) ；(C) ； (D) .10、设曲面：，方向向下，D为平面区域，则=（ ）(A) 1；(B) ；(C) ； (D) 0.11、设曲面：的上侧，则=（）(A) ；(B) ；(C) ；（D) 0.12、设曲面：的外侧，则=（ ）(A) ；(B) ；(C) ；（D) .三、计算解答1、，其中C为以为顶点的三角形的边界。2、，其中为曲线上相应于从0到2的这段弧。3、计算，其中是抛物线从到的一段弧.4、，其中为有向闭折线，这里的依次为.5、，其中C为正向圆周。6、计算，其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向。7、利用曲线积分求星形线所围图形的面积。8、，为球面上的部分。9、，为球面的外侧。10、计算，为椭球面的外侧。第十单元 曲线积分与曲面积分测试题详细解答一、填空题1、设L是平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且，则L所围成的平面闭区域D的面积等于分析：2、设曲线L是分段光滑的，且L=L1+L2，=2，=3，则=_5_.分析：3、 设函数在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为，其中在上具有一阶连续偏导数，且，则曲线积分=4、设L是抛物线上点与点之间的一段弧=分析：5、则=_3_。分析：6、设L是从沿到的圆弧，则=。分析：令：7、设L是平面有向曲线，由两类曲线积分之间的联系，则8、区域D由和所围成的闭区域，则区域D的面积为分析：令:面积9、设L是任意一条分段光滑的闭曲线，则=_0_分析：10、在面上，是某个函数的全微分，则这个函数是 分析：设原函数为，则，则所以11、设是由平面，及所围成的四面体的整个边界曲面，则= 分析：在，三个坐标面上，积分值为0。则只求在面上的积分即可。，.所以12、设是的外侧，则=分析：把积分曲面分成和两部分，则它们在面上的投影区域都是的圆域。13第二类曲面积分化成第一类曲面积分为二、选择题1、选(C)解答：在第一卦限，对三个坐标的曲面积分相等，即，而在一、二、三、四卦限中的积分值相等。所以2、选(A)解答：3、选(B)解答：4、选(D)解答：5、选(C)解答：6、选(B)解答：7、选(D)解答：8、选(D)解答：,9、选(D)解答：10、选(C)11、选(C)解答：12、选(B)三、计算解答1、，其中C为以为顶点的三角形的边界。解：2、，其中为曲线上相应于从0到2的这段弧。解：3、计算，其中是抛物线从到的一段弧。解：4、，其中为有向闭折线，这里的依次为.解：5、，其中C为正向圆周。解：6、计算，其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向。解：令，当时，有,记所围成闭区域为，当时，有当时，选取适当小的作为内的圆周。，记和所围成的闭区域为，其中方向为逆时针方向。7、利用曲线积分求星形线所围图形的面积。解：令，则8、，为球面上的部分。解：9、，为球面的外侧。解：10、计算，为椭球面的外侧。解：第十二单元 微分方程一、填空题1、方程是 阶微分方程。2、以函数为通解的微分方程是 。3、设曲线上任意一点的切线垂直于此点与原点的连线，则该曲线所满足的微分方程为 。4、连续函数满足关系式，则= 。5、微分方程的通解 。6、以为特征根的二阶常系数线性齐次微分方程是 。7、判断对错：（填“正确”或“错误”）（1）所有微分方程都存在通解。 （2）微分方程的通解包含了所有的解。 （3）设为某二阶微分方程的解，其中为任意常数，则此解是该方程的通解。 （4）若函数是一阶线性微分方程两个不相同的特解，则就是该方程的通解。 8、若是全微分方程，则函数应满足 。9、已知是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为 。10、微分方程满足初始条件的特解 。11、求方程的通解时可令，则 。12、微分方程的通解为 。二、选择题1、下列方程中（ ）是常微分方程(A)；(B)；(C)；(D)。2、下列方程中（ ）二阶微分方程(A)； (B)；(C)； (D)。3、微分方程的通解是（ ），其中均为常数(A)； (B)；(C)； (D)。4、一曲线在其上任意一点处的切线斜率等于，这曲线是（ ）(A)直线； (B)抛物线； (C)圆； (D)椭圆。5、下列微分方程：（1），（2），（3）中，线性微分方程是（ ）(A)（1）； (B)（2）； (C)（3）； (D)（1）、（2）、（3）均不是。6、曲线经过点，且满足微分方程，则当时，（ ）(A)0； (B)1； (C)2； (D)4。7、已知微分方程有一特解，则此方程通解为（ ）(A)； (B)； (C)； (D)。8、设是方程的解，若，且，则在点（ ）(A)取得极大值； (B)取得极小值； (C)某邻域内单调增； (D)某邻域内单调减。9、若和是二阶齐次线性方程的两个特解，、为任意常数，则（ ）(A)是该方程的通解；(B)是该方程的特解；(C)是该方程的解；(D)不一定是该方程的解。10、曲线经过原点，且在原点处切线与直线平行，而满足方程，则曲线方程是（ ）(A)；(B)；(C) ；(D) 。11、微分方程的特解的形式为（ ）(A)； (B)； (C)； (D)。12、微分方程的特解的形式为（ ）(A)； (B)； (C)； (D) 。三、计算解答1、验证由方程所确定的函数是微分方程的通解。2、求解下列微分方程：（1）；（2）；（3）；（4），；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）。3、设，为可微函数，求。4、已知，曲线积分与路径无关，求函数。5、设都是方程的特解，且不恒等于常数，证明为方程的通解（其中为任意常数）。6、一质量为的质点作直线运动，从速度等于零时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为）的力作用在它上面，此外质点又受到阻力，阻力和速度成正比（比例系数为），试求此质点的速度和时间的关系。第十二单元 微分方程单元测试题详细解答一、填空题1、微分方程的阶是指微分方程中含有未知函数最高阶导数的阶数，因此该方程是三阶微分方程。2、该通解中含有两个任意常数，可见其所对应的方程应是二阶的，对分别求一阶和二阶导数得：，三个式子连立消去得，即为所求。另解，直观看出是某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，而该二阶常系数线性齐次微分方程的特征根为，其对应的特征方程为，从而对应的微分方程是。3、设曲线为，则由题意有：即为所求。4、对两边求导得，解此微分方程得，即，又由可知，代入求得，从而。5、该方程为二阶常系数线性齐次微分方程，其特征方程为，解得特征根，从而通解为。6、以为根的一元二次方程是，从而对应的二阶常系数线性齐次微分方程是。7、（1）错误，例如微分方程，该方程只有解，显然这不是通解。（2）错误，例如微分方程，易求得该方程的通解为，又知也是方程的解，显然不包含在中。（3）错误，因为中的不是相互独立的，事实上，可见该解中只含有一个任意常数。（4）正确，根据线性微分方程解的结构理论，由于不相等，所以线性无关且是对应齐次方程的解，从而是对应齐次方程的通解，因此就是该方程的通解。8、。9、根据线性微分方程解的结构理论，和是对应齐次线性微分方程的解，又这两个解是线性无关的，所以是对应齐次线性微分方程的通解，从而是该非齐次线性微分方程的通解10、方程中不显含未知函数，因此作变量代换令，则，代入方程得，变量分离法解此方程得，即，代入初始条件得，于是，两边积分得，代入初始条件得，所以所求特解为。11、方程不显含自变量，因此作变量代换时应令，则。12、方程是三阶常系数线性齐次微分方程，其特征方程为，解得特征根，从而通解为。二、选择题1、选(D)；由定义，含有未知函数导数或微分的方程称为微分方程，而未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，可见，(A)中的方程不是微分方程，(B)中的方程不含有未知函数的导数，（C）中的未知数是多元函数。2、选(A)；所谓微分方程的阶是指微分方程中含有未知函数最高阶导数的阶数，由此，(B)、(D)中方程是一阶微分方程，而(C)中的方程是三阶微分方程。3、选(C)；由通解的定义，含有任意常数，且任意常数（相独立）的个数与方程的阶数相同的解称为通解，由此可见，（A）、（B）、（D）均不符合。4、选(D)；按题意有，即，积分得，可见，该曲线是椭圆。5、选(C)；方程（1）、（2）可直观看出不是线性微分方程，对于（3），整理得，视为未知函数，为自变量，则该方程是线性微分方程。6、选(B)；方程为一阶线性微分方程，其通解由时知，所以曲线为，由此，当时。7、选(C)；将代入方程，求出，于是方程通解为。8、选(A)；由为的解，得，即，由极值判定定理知，在点处取得极大值。9、选(C)；由线性方程解的结构定理，一定是方程的解，当与线性无关时才是方程的通解。10、选(B)；解方程得其通解为，由得，由得，所以所求曲线为。11、选(D)；由特征方程解得特征根，而，可见是特征根单根，所以特解应设为。12、选(C)；由特征方程解得特征根，而，可见是特征根，所以特解应设为。三、计算解答1、解：将两边对求导得，整理得， ，可见，由方程所确定的函数满足微分方程，又 中含有一个任意常数，所以由方程所确定的函数是所给微分方程的通解。2、（1）解：变量分离得，两边积分得，从而方程通解为 。（2）解：整理得，可见该方程是齐次方程，令，即，则，代入方程得，变量分离得，积分得，所以原方程的通解为，或写为。（3）解：整理得，可见该方程是一阶线性方程，利用公式得通解为。（4）解：整理得，这是一阶线性方程，利用公式得通解为，代入初始条件得，从而所求特解为。（5）解：整理得，这是伯努利方程， 令，则，代入方程得，这是线性方程，其通解为，所以原方程的通解为 。（6）解：令，则，可见该方程是全微分方程，于是有所以原方程通解为 。（7）解：将方程两边逐次积分得，即原方程通解为。（8）解：方程中不显含未知函数，所以可令，则，代入方程得，这是一阶线性方程，其通解为，从而，两边积分得原方程通解为 。（9）解：方程中不显含自变量，所以可令，则，代入方程得，整理得，积分得，即，变量分离并积分得，此即为原方程的通解。（10）解：由特征方程解得特征根，所以对应齐次方程的通解为。又因为中不是特征根，所以可设原方程的特解为，代入原方程并整理得，从而，即。所以原方程的通解为。3、解：将两边对求导并整理得，这是一阶线性微分方程，所以，又由可知，从而，所以所求。4、解：因曲线积分与路径无关，所以有，整理得为一阶线性方程，所以，又因，得，所以所求。5、证明：因为都是方程的特解，所以和都是方程对应齐次方程的解，又因不恒等于常数，所以和线性无关，从而对应齐次方程的通解为，所以原方程的通解为，即。6、解：设质点速度和时间的关系为，则由题意有，整理得，这是一阶线性方程，从而，由得，所有所求。u第31页