第九单元---重积分.doc

第九单元 重积分
一、填空题
1、设为常数，则=______________________
2、区域D由闭区域构成，则=______________________
3、设函数在闭区域D上连续，是D的面积，则在D上至少存在一点使得=______________________
4、计算=______________________，其中 D是由直线所围成的闭区域。
5、设D是顶点分别为的直边梯形，计算=______________________
6、改变下列二次积分的积分次序
=______________________；
=______________________；
=______________________；
=______________________；
7、把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分
=__________________________；
=__________________________；
=______________________()；
8、二重积分=__________________________，其中 D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域。
9、将下列三重积分化为三次积分
=__________________________，为曲面及平面所围成的闭区域；
=__________________________，为曲面及面所围成的闭区域；
10、区域为三坐标面及平面所围成的闭区域，则三重积分=__________________________.
二、选择题
1、分别为单位圆盘在一、二、三、四象限的部分，则=（ ）
(A) ；(B) ；(C) ；(D)0.
2、，则=（ ）
(A) ；(B) ；
(C) ；(D) .
3、由不等式确定：，，则=（ ）
(A) ；(B) ；
(C) ；(D) .
4、为单位球：，则=（）
(A) ；(B) ；
(C) ；(D) .
5、由不等式确定：，，则（ ）
(A) ；(B) ；
(C) ；(D) .
6、设有空间闭区域，，则有（ ）
(A) ；(B) ；
(C) ；(D) .
7、设有平面闭区域，。则=（ ）
(A) ；(B) ；
(C) ；(D) 0.
三、计算解答
1、设区域，计算.
2、计算，其中D是由抛物线及直线所围成的闭区域.
3、计算，其中D是由抛物线，及直线所围成的闭区域.
4、计算，其中D是由所围成的闭区域.
5、计算，其中D是由，直线，所围成的闭区域.
6、求锥面被柱面所割下部分面积.
7、求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围立体的表面积.
8、计算三重积分，其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域.
9、，其中是由与所围成的闭区域.
10、计算三重积分，其中是与平面所围成的闭区域.
11、计算三重积分，其中是与平面，，所围成的闭区域.
12、计算三重积分，其中是球面所围成的闭区域.
13、计算三重积分，其中是球面所围成的闭区域.

第九单元 重积分测试题详细解答
一、填空题
1、设为常数，则=
2、区域D由闭区域构成，则=
3、设函数在闭区域D上连续，是D的面积，则在D上至少存在一点使得=
4、=，其中 D是由直线所围成的闭区域。
分析：
5、设D是顶点分别为的直边梯形，计算=
分析：

6、改变下列二次积分的积分次序
；
；
；
；
7、把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分
；
；
；
8、二重积分=，其中 D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域。
分析：
原式=
9、将下列三重积分化为三次积分
，；
，；
10、区域为三坐标面及平面所围成的闭区域，则三重积分=__________________________
分析：
二、选择题
1、选(A)；
解答：在第一象限和第二象限是对称的。所以在第一二象限的值相等。
2、选(A)；
3、选(D)；
解答：与相交的部分可分为两部分
时，为锥体
时，为半球体
4、选(B)
解答：注意，计算时
5、选(C)
6、选(C)
7、选(A)
三、计算解答
1、设区域，计算.
解：
2、计算，其中D是由抛物线及直线所围成的闭区域。
解：
3、计算，其中D是由抛物线，及直线所围成的闭区域。
解：
4、计算，其中D是由所围成的闭区域。
解：
5、计算，其中D是由，直线，所围成的闭区域。
解：
6、求锥面被柱面所割下部分面积
解：
,投影区域D：;

所以面积
7、求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围立体的表面积。
解： ,所以8、计算三重积分，其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域。
解：

9、，其中是由与所围成的闭区域。
解：

10、计算三重积分，其中是与平面所围成的闭区域。
解：
用柱面坐标变换,令

11、计算三重积分，其中是与平面，，所围成的闭区域。
解：
用柱面坐标变换,令
12、计算三重积分，其中是球面所围成的闭区域。
解：
用球面坐标变换积分，令：

13、计算三重积分，其中是球面所围成的闭区域。
解：
用球面坐标变换积分，令：

第十章 曲线积分与曲面积分
一、填空题
1、设L是平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且，则L所围成的平面闭区域D的面积等于____________.
2、设曲线L是分段光滑的，且L=L1+L2，=2，=3，则=_________________.
3、 设函数在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为，其中在上具有一阶连续偏导数，且，则曲线积分=____________________.
4、设L是抛物线上点与点之间的一段弧=____________________.
5、则=___________________。
6、设L是从沿到的圆弧，则=___________________。
7、设L是平面有向曲线，由两类曲线积分之间的联系，则___________________.
8、区域D由和所围成的闭区域，则区域D的面积为___________________.
9、设L是任意一条分段光滑的闭曲线，则=___________________.
10、在面上，是某个函数的全微分，则这个函数是 ___________________.
11、设是由平面，，，及所围成的四面体的整个边界曲面，则= ___________________.
12、设是的外侧，则=___________________.
13第二类曲面积分化成第一类曲面积分为___________________.
二、选择题
1、设曲面是上半球面：，曲面是曲面在第一卦限中的部分，则有（ ）.
(A) ；(B) ；
(C) ；(D) .
2、设曲线L:,其线密度，则曲线的质量为（ ）.
(A) ；(B) ；
(C) ；(D) .
3、=（ ），其中L为圆周.
(A) ；(B) ；(C) ；(D) .
4、设是从到点的直线段，则与曲线积分不相等的积分是（ ）
(A) ；(B) ；(C) ；(D) .
5、设L为，方向按增大的方向，则=（ ）
(A) ；(B) ；
(C) ； (D) .
6、用格林公式计算，其中L为沿逆时针绕一周，则得（ ）
(A) ；(B) ；
(C) ； (D) .
7、L是圆域D: 的正向周界，则=（ ）
(A) ；(B) 0；(C) ； (D) .
8、设为在面上方部分的曲面，则=（ ）
(A) ；(B) ；
(C) ； (D) .
9、设为球面，则=（ ）
(A) ；(B) ；
(C) ； (D) .
10、设曲面：，方向向下，D为平面区域，则=（ ）
(A) 1；(B) ；(C) ； (D) 0.
11、设曲面：的上侧，则=（）
(A) ；(B) ；(C) ；（D) 0.
12、设曲面：的外侧，则=（ ）
(A) ；
(B) ；
(C) ；（D) .
三、计算解答
1、，其中C为以为顶点的三角形的边界。
2、，其中为曲线上相应于从0到2的这段弧。
3、计算，其中是抛物线从到的一段弧.
4、，其中为有向闭折线，这里的依次为.
5、，其中C为正向圆周。
6、计算，其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向。
7、利用曲线积分求星形线所围图形的面积。
8、，为球面上的部分。
9、，为球面的外侧。
10、计算，为椭球面的外侧。
第十单元 曲线积分与曲面积分测试题详细解答
一、填空题
1、设L是平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且，则L所围成的平面闭区域D的面积等于
分析：
2、设曲线L是分段光滑的，且L=L1+L2，=2，=3，则=_5_.
分析：
3、 设函数在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为，其中在上具有一阶连续偏导数，且，则曲线积分=
4、设L是抛物线上点与点之间的一段弧=
分析：
5、则=_3_______。
分析：
6、设L是从沿到的圆弧，则=。
分析：令：

7、设L是平面有向曲线，由两类曲线积分之间的联系，则
8、区域D由和所围成的闭区域，则区域D的面积为
分析：令:面积

9、设L是任意一条分段光滑的闭曲线，则=_0________
分析：

10、在面上，是某个函数的全微分，则这个函数是
分析：设原函数为，则，
，则所以
11、设是由平面，，，及所围成的四面体的整个边界曲面，则=
分析：在，，三个坐标面上，积分值为0。
则只求在面上的积分即可。
，.所以
12、设是的外侧，则=
分析：把积分曲面分成和两部分，则它们在面上的投影区域都是的圆域。

13第二类曲面积分化成第一类曲面积分为
二、选择题
1、选(C)
解答：在第一卦限，对三个坐标的曲面积分相等，即，
而在一、二、三、四卦限中的积分值相等。所以
2、选(A)
解答：
3、选(B)
解答：
4、选(D)
解答：

5、选(C)
解答：

6、选(B)
解答：
7、选(D)
解答：
8、选(D)
解答：
,
9、选(D)
解答：
10、选(C)
11、选(C)
解答：

12、选(B)
三、计算解答
1、，其中C为以为顶点的三角形的边界。
解：

2、，其中为曲线上相应于从0到2的这段弧。
解：

3、计算，其中是抛物线从到的一段弧。
解：
4、，其中为有向闭折线，这里的依次为.
解：

5、，其中C为正向圆周。
解：

6、计算，其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向。
解：令，
当时，有,记所围成闭区域为，当时，有
当时，选取适当小的作为内的圆周。，记和所围成的闭区域为，
，其中方向为逆时针方向。

7、利用曲线积分求星形线所围图形的面积。
解：
令，则

8、，为球面上的部分。
解：

9、，为球面的外侧。
解：10、计算，为椭球面的外侧。
解：

第十二单元 微分方程
一、填空题
1、方程是 阶微分方程。
2、以函数为通解的微分方程是 。
3、设曲线上任意一点的切线垂直于此点与原点的连线，则该曲线所满足的微分方程为 。
4、连续函数满足关系式，则= 。
5、微分方程的通解 。
6、以为特征根的二阶常系数线性齐次微分方程是 。
7、判断对错：（填“正确”或“错误”）
（1）所有微分方程都存在通解。
（2）微分方程的通解包含了所有的解。
（3）设为某二阶微分方程的解，其中为任意常数，则此解是该方程的通解。
（4）若函数是一阶线性微分方程两个不相同的特解，则就是该方程的通解。
8、若是全微分方程，则函数应满足 。
9、已知是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为 。
10、微分方程满足初始条件的特解 。
11、求方程的通解时可令，则 。
12、微分方程的通解为 。
二、选择题
1、下列方程中（ ）是常微分方程
(A)；(B)；(C)；(D)。
2、下列方程中（ ）二阶微分方程
(A)； (B)；
(C)； (D)。
3、微分方程的通解是（ ），其中均为常数
(A)； (B)；
(C)； (D)。
4、一曲线在其上任意一点处的切线斜率等于，这曲线是（ ）
(A)直线； (B)抛物线； (C)圆； (D)椭圆。
5、下列微分方程：
（1），（2），（3）中，线性微分方程是（ ）
(A)（1）； (B)（2）； (C)（3）； (D)（1）、（2）、（3）均不是。
6、曲线经过点，且满足微分方程，则当时，（ ）
(A)0； (B)1； (C)2； (D)4。
7、已知微分方程有一特解，则此方程通解为（ ）
(A)； (B)； (C)； (D)。
8、设是方程的解，若，且，则在点（ ）
(A)取得极大值； (B)取得极小值； (C)某邻域内单调增； (D)某邻域内单调减。
9、若和是二阶齐次线性方程的两个特解，、为任意常数，则（ ）
(A)是该方程的通解；(B)是该方程的特解；(C)是该方程的解；(D)不一定是该方程的解。
10、曲线经过原点，且在原点处切线与直线平行，而满足方程，则曲线方程是（ ）
(A)；(B)；(C) ；(D) 。
11、微分方程的特解的形式为（ ）
(A)； (B)； (C)； (D)。
12、微分方程的特解的形式为（ ）
(A)； (B)； (C)； (D) 。
三、计算解答
1、验证由方程所确定的函数是微分方程的通解。
2、求解下列微分方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4），；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）。
3、设，为可微函数，求。
4、已知，曲线积分与路径无关，求函数。
5、设都是方程的特解，且不恒等于常数，证明为方程的通解（其中为任意常数）。
6、一质量为的质点作直线运动，从速度等于零时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为）的力作用在它上面，此外质点又受到阻力，阻力和速度成正比（比例系数为），试求此质点的速度和时间的关系。

第十二单元 微分方程单元测试题详细解答
一、填空题
1、微分方程的阶是指微分方程中含有未知函数最高阶导数的阶数，因此该方程是三阶微分方程。
2、该通解中含有两个任意常数，可见其所对应的方程应是二阶的，对分别求一阶和二阶导数得：，，三个式子连立消去得，即为所求。
另解，直观看出是某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，而该二阶常系数线性齐次微分方程的特征根为，其对应的特征方程为，从而对应的微分方程是。
3、设曲线为，则由题意有：即为所求。
4、对两边求导得，解此微分方程得，即，又由可知，，代入求得，从而。
5、该方程为二阶常系数线性齐次微分方程，其特征方程为，解得特征根，从而通解为。
6、以为根的一元二次方程是，从而对应的二阶常系数线性齐次微分方程是。
7、（1）错误，例如微分方程，该方程只有解，显然这不是通解。
（2）错误，例如微分方程，易求得该方程的通解为，又知也是方程的解，显然不包含在中。
（3）错误，因为中的不是相互独立的，事实上，，可见该解中只含有一个任意常数。
（4）正确，根据线性微分方程解的结构理论，由于不相等，所以线性无关且是对应齐次方程的解，从而是对应齐次方程的通解，因此就是该方程的通解。
8、。
9、根据线性微分方程解的结构理论，和是对应齐次线性微分方程的解，又这两个解是线性无关的，所以是对应齐次线性微分方程的通解，从而是该非齐次线性微分方程的通解
10、方程中不显含未知函数，因此作变量代换令，则，代入方程得，变量分离法解此方程得，即，代入初始条件得，于是，两边积分得，代入初始条件得，所以所求特解为。
11、方程不显含自变量，因此作变量代换时应令，则。
12、方程是三阶常系数线性齐次微分方程，其特征方程为，解得特征根，从而通解为。
二、选择题
1、选(D)；由定义，含有未知函数导数或微分的方程称为微分方程，而未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，可见，(A)中的方程不是微分方程，(B)中的方程不含有未知函数的导数，（C）中的未知数是多元函数。
2、选(A)；所谓微分方程的阶是指微分方程中含有未知函数最高阶导数的阶数，由此，(B)、(D)中方程是一阶微分方程，而(C)中的方程是三阶微分方程。
3、选(C)；由通解的定义，含有任意常数，且任意常数（相独立）的个数与方程的阶数相同的解称为通解，由此可见，（A）、（B）、（D）均不符合。
4、选(D)；按题意有，即，积分得，可见，该曲线是椭圆。
5、选(C)；方程（1）、（2）可直观看出不是线性微分方程，对于（3），整理得，视为未知函数，为自变量，则该方程是线性微分方程。
6、选(B)；方程为一阶线性微分方程，其通解

由时知，所以曲线为，由此，当时。
7、选(C)；将代入方程，求出，于是方程通解为。
8、选(A)；由为的解，得，即，由极值判定定理知，在点处取得极大值。
9、选(C)；由线性方程解的结构定理，一定是方程的解，当与线性无关时才是方程的通解。
10、选(B)；解方程得其通解为，由得，由得，所以所求曲线为。
11、选(D)；由特征方程解得特征根，而，可见是特征根单根，所以特解应设为。
12、选(C)；由特征方程解得特征根，
而，可见是特征根，所以特解应设为。
三、计算解答
1、解：将两边对求导得，，
整理得， ，
可见，由方程所确定的函数满足微分方程，
又 中含有一个任意常数，
所以由方程所确定的函数是所给微分方程的通解。
2、（1）解：变量分离得，，
两边积分得，，
从而方程通解为 。
（2）解：整理得，，可见该方程是齐次方程，
令，即，则，代入方程得，，
变量分离得，，积分得，，
所以原方程的通解为，或写为。
（3）解：整理得，，可见该方程是一阶线性方程，利用公式得通解为
。
（4）解：整理得，，这是一阶线性方程，利用公式得通解为
，
代入初始条件得，从而所求特解为。
（5）解：整理得，，这是伯努利方程，
令，则，代入方程得，，这是线性方程，其通解为，，
所以原方程的通解为 。
（6）解：令，则，可见该方程是全微分方程，于是有

所以原方程通解为 。
（7）解：将方程两边逐次积分得，，
，
即原方程通解为。
（8）解：方程中不显含未知函数，所以可令，则，代入方程得，
，这是一阶线性方程，其通解为
，
从而，两边积分得原方程通解为 。
（9）解：方程中不显含自变量，所以可令，则，代入方程得，
，整理得，积分得，即，变量分离并积分得，此即为原方程的通解。
（10）解：由特征方程解得特征根，所以对应齐次方程的通解为。
又因为中不是特征根，所以可设原方程的特解为，代入原方程并整理得，，从而，即。
所以原方程的通解为。
3、解：将两边对求导并整理得，，这是一阶线性微分方程，所以
，
又由可知，从而，
所以所求。
4、解：因曲线积分与路径无关，所以有
，整理得为一阶线性方程，所以
，
又因，得，
所以所求。
5、证明：因为都是方程的特解，
所以和都是方程对应齐次方程的解，
又因不恒等于常数，所以和线性无关，
从而对应齐次方程的通解为，
所以原方程的通解为，
即。
6、解：设质点速度和时间的关系为，则由题意有，
整理得，这是一阶线性方程，从而
，
由得，
所有所求。

u
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