坐标系和参数方程(1).doc

高中新课程 数学总复习
第一轮
坐标系和参数方程（1）
——方程的互化
知识梳理
一、平面直角坐标系下的伸缩变换
设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
的作用下，点对应到点，
称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．
二、极坐标与直角坐标的互化
设为平面上的一点，它的直角坐标为，极坐标为．由图可知下面的关系式成立：或．

三、参数方程和普通方程的互化
1参数方程的概念：
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数，即（*），且对于的每一个允许值，由方程组（*）所确定的点都在这条曲线上，那么方程组（*）称为这条曲线的参数方程，联系，之间关系的变数称为参变数，简称参数。
2．几种常见的参数方程
(1)已知圆的普通方程为，则圆的参数方程为(为参数)．
(2)已知椭圆的普通方程为，则椭圆的参数方程为(为参数)．
(3)双曲线的普通方程为，则双曲线的参数方程为(为参数)．
其中：
(4)抛物线的普通方程为。则抛物线的参数方程为(为参数)．

■■■ 第 3 页 共 3 页 ■■■

典型例题
例1（1）.在极坐标系中,圆的圆心的极坐标是　　　　. 
（2）.在极坐标系下,点,,是极点,则△的面积等于　　　　.
（3）.在极坐标系下，求点到直线的距离.

例2.（1）在极坐标系中,曲线与的公共点到极点的距离为_____
（2）在极坐标系下，已知曲线和的方程为和，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线和的交点坐标.

例3.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）曲线的极坐标方程为，求与的公共点的极坐标.

例4.在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的参数方程为（为参数），曲线的普通方程为，点的极坐标为．
（1）求直线的普通方程和曲线的极坐标方程；
（2）若将直线向右平移2个单位得到直线，设与相交于两点，求的面积．

例5. 在直角坐标系中，直线的方程是，圆的参数方程是（φ为参数）。以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。
（1）求直线和圆的极坐标方程；
（2）射线（其中）与圆交于、两点，与直线交于点，射线与圆交于、两点，与直线交于点，求的最大值.
:

例6.已知直线：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且与相交于两点.
（1）当时，判断直线与曲线的位置关系，并说明理由；
（2）当变化时，求弦的中点的普通方程，并说明它是什么曲线.

．