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(完整word版)二次根式常考题型
二次根式
§1。1二次根式的概念
（1）二次根式的定义：像这样表示的算术平方根,且根号内含字母的代数式叫做二次根式。为了方便，我们把一个数的算术平方根（如）也叫做二次根式。……即一个非负数的算术平方根。（注意:二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方式(数）大于或等于零（非负).
题型：
类型之一：二次根式的定义
1.判断,下列各式中哪些是二次根式？
;；；；；；（a＜0＝；
2。下列各式是二次根式吗？
、、、 、、。
3.在式子，中，是二次根式的有 （ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
总结:判断一个式子是二次根式要满足:① 二次根式都含有二次根号；
② 在二次根式中，被开方数必须满足，当时，根式无意义;
③ 在二次根式中，可以是数也可以是一个代数式；
④ 二次根式是的算术平方根，所以。
类型之二：确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
1。求下列二次根式中字母a的取值范围：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦。
2。当下列各题的字母取何值时，下列各式为二次根式：
(1） (2） (3） (4)
3。当取什么实数时,下列各式有意义?
⑴； 　　　⑵；
⑶； ⑷；
⑸;　　　　　⑹．

§1。2二次根式的性质
1。()=a（a≥0） 解二次根式问题的基本途径--通过平方,去掉根号有理化
a (a≥0)
2。=｜a｜= 揭示了与绝对值的内在一致性
－a （a＜0）
3.=·(a≥0,b≥0）
4。（a≥0，b≥0）,给出了二次根式乘除法运算的法则
5。若a＞b＞0,则＞＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础
运用二次根式性质解题应注意：
(1)每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；
（2)要学会性质的“正用"和“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边.
题型
类型之一
1.求下列二次根式的值：
(1)； （2），其中.
2.计算：
（1）； （2);
（3）（a<３）； （4)(x<）

类型之二

1。化简：
2.先化简，再求出下面算式的近似值（精确到0。01）

3。 （1）已知，求的值．
（2)若，则
4、、、在数轴上的位置如下图所示,则
a
b
c
0

5、若，则
6、若，则 ，
7、化简：（1） （ 0 〈 x 〈 1 ） (2) (1 〈 a 〈 8）
总结:
化简的步骤：①先进行观察，寻找平方因数、带分数、处理符号等；②确定运算的顺序，并应用性质进行变形；③作出化简后的结果;④再回顾题目中的要求（精确度等)或适当调整解答的顺序,寻找更为合理的解答方法。
对二次根式化简结果的要求：①根号中不能含有除1以外的平方因数（能开得尽方的因式要尽量开出来);②根号内的结果应该是自然数，即不能含有分母或小数；③分母中不能含有根号。

§1. 3二次根式的运算
·= （a≥0,b≥0)
(a≥0,b≥0)

类型之一
1．计算：（1) ；(2）；（3）
2、计算：(1） （2） （3） （4)
（5） (6） （7)2 （8）a
类型之二
1、化简，当a＞0，b＞0时，结果为________,当a＜0，b＜0时，结果为________．
2、的倒数是________,相反数是________。
3、的有理化因式是________。
4、如果，则x＝________.
5、化简:＝____ ____。
6、若a＞0，则a的算术平方根的倒数是________。
7、若是无理数，则其倒数是________
8、的值为________或________.
9、的平方根的倒数为________．
10、选择题:
（1）．当a＞0,b＜0时,下列各式中,正确的是（　）．
① ②　③　④　　⑤
　　A．①和④　　　 B．③　　　　 　　C．④　　　　　D．⑤
（2）．将分母有理化正确的是（　）．
A．　 　 B．　
C．　 D．
（3)．化简（x＞0）的结果是（　）．
A． 　B．　 　
C．　 D．
（4）．等式成立的条件为(　）．
　　A．a≥0，b≥0　B．a≥0，b＞0　　　C．a≤0，b≤0　　D．a≤0，b＜0
(5）．若成立,则有(　）．
　　A．y≤0，x≠0　　　　　　　　　　　 B．y≤0，x为任意实数
　　C．y＜0,x≠０　　　　　　　　　　　D．y≥0,x≠0
11、化去根号内的分母(字母表示正数)．
　1．　　 2．　 3．　
4．（x＞y＞0）　 5． 　6．（x＞3）
总结：
乘除法运算一般步骤（1）运用法则，化归为根号内的运算；（2）完成根号内的相乘、除（约分）运算；（3）化简二次根式.
总结解决此类问题的一般步骤：①应用性质，化归为根号内的实数运算；②完成根号内的乘除运算（一般要化得简单）；③化简二次根式。
类型之三
1。计算：
2。计算；
3。下列计算哪些正确，哪些不正确？并适当地说明理由:
①；②；③；
④;⑤
二次根式的四则混合运算中：
①能化简的先化简；
②当化简后被开方数相同时可象合并同类项那样合并；
③在二次根式的运算中要注意运用乘法公式和乘法法则,使运算简便。
类型之四
.

（3)已知，，求的值．
(4）设a、b、c是实数，若a+b+c=2＋4＋6－14,求a（b+c)+b(c+a)+c(a+b）的值。

本题型主要是先化简后求值的方式进行。
§1。 4综合应用
类型之一

1。 已知实数满足，求的值．
2。若是实数,且，化简.
3.在△ABC中，a、b、c是三角形的三边,化简－2｜c－a－b|
4。已知：,化简:
5.若，求的值.
6. 若，求的值．
类型之二
1.如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的一点,现测得CB＝60m，AC＝20m。请你求出A、B两点间的距离。

2.如图所示,有一边长为8米的正方形大厅，它的地面是由黑白完全相同的方砖密铺而成。求一块方砖的边长．

3。如图，在平面直角坐标系中，A(3，—1），B(—2，—1）C（3，1）是三角形的
三个顶点，求BC的长。
C（3，1）
A（3，-1）
B（-2，-1）
x
y
O

4。 根据据图所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件,求直角三角形的斜边长，正方形的边长,等边三角形的边长。
（b－3）cm2
2cm
a cm

5。 一艘轮船先向正东方向航行2小时，再向西北方向航行 t小 时.船的航速是每小时25千米。试用关于 t 的代数式表示船离出发地的距离；

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