湖南省五市十校2013届高三第一次联合检测数学(理)试题.doc

湖南省五市十校2013届高三第一次联合检测试卷
理科数学
时量：120分钟 满分：150分
答题要求：
1、考生领到试卷和答题卡后，请认真检查有无缺印、漏印、重印等问题，如有问题，请提出更换要求；
2、请在试卷规定的位置填写规定的考生信息；
3、所有答案必须全部填涂和填写在答题卡上，凡是答在试卷上的答案一律无效；
4、严禁考生将试题卷、答题卡和草稿纸带出考室，违者试卷作无效处理。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
1．已知全集，集合，，则集合 （ ）
A． B． C． D．
2．已知为等差数列，，则等于 （ ）
A. 10 B. 20 C. 40 D.80
3．平面向量与的夹角为，= 2, ||=1，则 |+2|= （ ）
A. B.2 C.4 D.10
4.下列命题中是假命题的是 （ ）
A．,使;
B． 函数都不是偶函数
C． ,使是幂函数,且在上递减
D．函数有零点.
5．已知函数，满足，则的值为 （ ）
A． B． C． D．1
6．在斜三角形ABC中， ，且，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
7.已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的正数都有若数列的前项和为，且满足则为 （ ）
A． B． C． D．
8．对于函数和，其定义域为 .若对于任意的，总有
则称可被置换，那么下列给出的函数中能置换的是 （ ）
A. B.
C. D.

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共有7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡对应题号后的横线上。

9. 设复数满足，为虚数单位，则
10.函数的定义域为 ．
11. 等于 ．
12.执行下图所示的程序框图，输出结果是_______
开始
结束

是
否
输出

第12题题）

13．已知且，则

14．设向量，，定义一种向量积，已知，，点在的图像上运动。是函数图像上的点，且满足（其中O为坐标原点），则函数的值域是
15.已知函数时， 只有一个实根；当∈（0，4）时，有3个相异实根，
现给出下列四个命题：
①和有一个相同的实根；
②和有一个相同的实根；
③的任一实根大于的任一实根；
④的任一实根小于的任一实根.
其中正确命题的序号是
三、解答题：本大题共有6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．(本小题满分12分)
已知向量，，函数
（Ⅰ）求的单调递增区间；
（Ⅱ）在中，分别是角的对边，且，，，且，求的值．
17．（本小题满分12分）
已知函数（），
（Ⅰ）求函数的最小值；
（Ⅱ）已知，
：关于的不等式对任意恒成立；
：函数是增函数．若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围．

18、(本小题满分12分)
已知二次函数, 满足且的最小值是．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）设函数，若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围。

19、(本小题满分13分)
某商场根据调查，估计家电商品从年初（1月）开始的个月内累计的需求量（百件）为
（1）求第个月的需求量的表达式.
（2）若第个月的销售量满足（单位：百件），每件利润元，求该商场销售该商品，求第几个月的月利润达到最大值？最大是多少？
20、(本小题满分13分)
已知数列的相邻两项是关于的方程的两根，且
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）设函数若对任意的都成立，求的取值范围。

21．(本小题满分13分)
已知函数
（1）判断的单调性；
（2）记若函数有两个零点，求证

湖南省五市十校2013届高三第一次联合检测试卷
理科数学参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，，则集合（ D ）
A． B． C． D．
2．已知为等差数列，，则等于（ C ）
A.10 B. 20 C. 40 D.80
3．平面向量与的夹角为， = 2, || = 1，则 |+2|=（B ）
A. B.2 C.4 D.10
4.下列命题中是假命题的是（ B ）
A．,使;
B． 函数都不是偶函数
C． ,使是幂函数,且在上递减
D．函数有零点.
5．已知函数，满足，则的值为 （ C ）
A． B． C． D．1
6．在斜三角形ABC中， ，且，则的值为 （ A ）
A． B． C． D．
7.已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的正数都有若数列的前项和为，且满足则为 （ D ）
A． B． C． D．
8．对于函数 和 ，其定义域为 。若对于任意的，总有则称可被置换，那么下列给出的函数中能置换的是 （ B ）
A. B.
C. D.

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分。
9、设复数满足，为虚数单位，则
10.函数的定义域为 ．
11. 等于 ．
12.执行下图所示的程序框图，输出结果是_______
开始
结束

是
否
输出

第12题题）

13．已知且，则 0
14．设向量，，定义一种向量积，已知，，点在的图像上运动。是函数图像上的点，且满足（其中O为坐标原点），函数的值域是
15.已知函数时， 只有一个实根；当k∈（0，4）时，有3个相异实根，
现给出下列四个命题：
①和有一个相同的实根；
②有一个相同的实根；
③的任一实根大于的任一实根；
④的任一实根小于的任一实根.
其中正确命题的序号是 (1),(2),(4)
三、解答题：本大题共6小题，满分75分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．(本小题满分12分)
已知向量，，函数
（Ⅰ）求的单调递增区间；
（Ⅱ）在中，分别是角的对边，且，，，且，求的值．
16．解：（Ⅰ）
（3分）
由 ，
得 （5分）
所以的单调增区间是 （6分）
（2）
是三角形内角，∴ 即： （7分）
∴ 即：． （9分）
将代入可得：，解之得：
∴, （11分）
,∴，． （12分）

17．（本题满分12分）已知函数（），
（Ⅰ）求函数的最小值；
（Ⅱ）已知，：关于的不等式对任意恒成立；
：函数是增函数．若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ） （4分）
（Ⅱ） （8分）
由于 （10分）

故实数的取值范围是 （12分）
18．已知二次函数, 满足且的最小值是．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）设函数，若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围。
（Ⅰ）设,又,故 （5分）

（Ⅱ） （8分）
（12分）

19、某商场根据调查，估计家电商品从年初（1月）开始的个月内累计的需求量（百件）为
（1）求第个月的需求量的表达式.
（2）若第个月的消售量满足（单位：百件），每件利润元，求该商场销售该商品，求第几个月的月利润达到最大值？最大是多少？
解：（1）
（4分）
（2）设该商场第个月的月利润为元，则
（5分）

（8分）

（12分）
当第6个月利润最大，是30000元 （13分）
20．已知数列的相邻两项是关于的方程的两根，且
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）设函数若对任意的都成立，求的取值范围。
20．解：
（1）∵an+an+1 =2n
（3分）
（2）Sn=a1+a2+……+an
（6分）
（3）bn=an·an+1

∴当n为奇数时
（9分）
当n为偶数时
（12分）
综上所述，t的取值范围为t<1 （13分）
21.已知函数
（1）判断的单调性；
（2）记若函数有两个零点，求证

解：（1）原函数定义域为，， （2分）
记
， （3分）
当时，，在递减，
当时，，在递增，
，即当,在递增 （6分）
（2）由（1）可知，由题意：，
，两式相减得：，即有，
又因为，所以 （9分）
现考察，令，设，则，所以在递增，所以， （11分）
即，又因为，
所以 （13分）

·13·