第四章课后题.doc

3.解 （1）由于，故所给矩阵不是正交矩阵。（2）由于，故所给矩阵不是正交矩阵。（3）故所给矩阵为正交矩阵。4.（1）解： 故对于，解方程得基础解系所以对应于的全部特征向量为。对于时，解方程得基础解系所以对应于的全部特征向量为（不同时为0）.（2）解：故当时，解方程得基础解系所以对应于的全部特征向量为.（3）解：故当时，解方程得基础解系所以对应于的全部特征向量为当时，解方程得基础解系所以对应于的全部特征向量为当时，解方程得基础解系所以对应于的全部特征向量为。（4）解：故 当时，解方程组得基础解系，所以对应于的全部特征向量为。当时，解方程组得基础解系 所以对应于的全部特征向量为5.矩阵满足，求的特征值5.解：设是的特征值，对应的特征向量设为，则 由已知得由于，故0，解得或。6.已知3阶矩阵的特征值为1，2，2，求的特征值。6.解：令，则，又因为的特征值为1，2，2，故的特征值为 ；所以的特征值为4，7，5.7.设3阶矩阵的特征值为1，2，3，求。7.解：由于的特征值为1，2，3，故令，则，故的特征值为 ；所以。8.设为正交矩阵，若，求证一定有特征值-1. 8.证明：设矩阵的特征多项式为，则，又因为为正交阵，所以，于是由两个方程，即故-1为的一个特征根.9.设都是阶矩阵，证明与具有相同的特征值。9.证明：设是的任一特征值，是与对应的特征向量，即， (1)用左乘上式两端，有，(2)若记，则(2)式可写成，由(1)式知（否则就有）.因此是矩阵特征值.设是的特征值，是与对应的特征向量，即，亦即是齐次方程组，的非零解，于是齐次方程组的系数行列式.因而齐次方程组有非零解，所以满足.故是矩阵的特征值.综上所述，矩阵的特征值都是矩阵的特征值，同理可证的特征值都是的特征值，故结论成立.10.设3阶矩阵与相似，其中的特征值为2，求。10.解：由于与相似，故与具有相同的特征值，所以的特征值为2，。令，则，故的特征值为 ；所以。11.判断下列矩阵是否可对角化，说明理由。（1）； （2）； （3）11.解：（1）先求的特征值 所以的特征值为 ，故不能对角化。（2）所以的特征值为对于，故能对角化。 （3）所以的特征值为 ，故能对角化。12.设矩阵，其中，试求。12.解：由于，故，即 所以。13.是矩阵的特征向量，试求。13.解：设是矩阵的特征值，为矩阵的属于特征值的特征向量.有 ，即 即 解得。14.已知，求。14.解：先求的特征值 所以矩阵的特征值为 对于， 由于，故可对角化。解上述方程组得基础解系为 对于 得基础解系 取 则有，从而，即 15.已知3阶矩阵的特征值为1，1，0，对应的特征向量分别为 求矩阵。 15.解：因为有3个不同的特征值，所以可相似对角化，有 于是 16试求正交矩阵，使得为对角矩阵。（1）； （2）16.解：（1故得特征值为当时，由解得单位特征向量可取:当时,由解得单位特征向量可取: 当时,由解得单位特征向量可取: 得正交阵（2）先求的特征值 得到的特征值为 对于， 得基础解系 对于， 得基础解系 注意到与已经正交，故只需将各向量单位化即可令 以单位正交向量为列得正交矩阵 使得 17. (06)设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.(1)求的特征值和特征向量；(2)求正交矩阵和对角矩阵,使；17.解：（1） 由题设的行和均为3，有，所以，是的属于特征值3的特征向量又是的线性无关的两个解，即是的属于特征值0的两个线性无关的特征向量由此可知，特征值0的代数重数不小于2综合之，的特征值为0，0，3.属于的特征向量为，其中是不全为零的常数；属于的特征向量为，其中是非零常数（2）将正交化，令，单位化，.令，则有. 18. 已知是3阶实对称矩阵,特征值是, 的特征向量是的特征向量是,求矩阵。18.解：因为是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交，故所以设的特征向量，则解出由得19.已知矩阵，（1）求参数；（2）求正交矩阵，使得。解：（1）显然，的特征值为， 由于，所以具有相同的特征值，将代入上式得，由此可得的特征值为2，1，1，所以。（2）对于，解齐次线性方程组 得基础解系 对于，解齐次线性方程组 得基础解系 对于，解齐次线性方程组 得基础解系 两两正交，只需将其单位化即可得， 使得。三、计算（本大题共6小题，每小题10分，共60分）1.求矩阵的特征值与特征向量。1.解:得特征值 对于，解齐次线性方程组，得基础解系 的属于特征值1的全部特征向量为. 对于，解齐次线性方程组 得基础解系的属于特征值2的全部特征向量为. 2.设是阶实对称矩阵，满足，求的特征值。2.解：设是的特征值，是的属于特征值的特征向量，即有，则 由于，故，解得 因为实对称矩阵的特征值必为实数，所以的特征值为。3.设矩阵有特征值，试求参数的值。提示：本题只给出特征值而没有给出特征向量，一般用特征方程求解。3.解：由于是的特征值，有，即 解得。4. 判断矩阵是否可对角化，若可以对角化，求出可逆矩阵，使得为对角阵。4.解：先求特征值所以的特征值为。对于二重特征值，判断是否有 显然，所以矩阵可以对角化。解齐次线性方程组，得基础解系 对于，求解齐次线性方程组，即得基础解系取，则5.设矩阵，求正交矩阵，使得为对角矩阵。5.解：先求特征值 特征值为对于，求解齐次线性方程组 得基础解系 对于，求解齐次线性方程组 得基础解系将正交化：取； 再将单位化：以单位正交向量为列得正交矩阵 使得 6.已知是3阶实对称矩阵，特征值是1，1，2，其中属于的特征向量是，求矩阵。6.解：设属于特征值的特征向量为，由于是实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量正交，故与正交 解得属于的特征向量为 因为是实对称矩阵，必可以相似对角化，令 有，则四、证明（本大题共2小题，每小题10分，共20分）1.设是阶方阵的特征值，且，是的属于特征值的特征向量，证明不是的特征向量。1.证明：（反证法）若是的属于特征值的特征向量，即 根据已知条件，得 即有 由于是属于不同特征值的特征向量，故线性无关，于是上式中 ，即这与题设矛盾，故假设不成立，即不是的特征向量。2.设是阶矩阵且，若的特征值全是1，证明：。2.证明：由得，又的特征值全是1，则，否则有特征值是1。因此可逆，于是，即。17