第四章课后题.doc

3.解 （1）
由于，故所给矩阵不是正交矩阵。
（2）
由于，故所给矩阵不是正交矩阵。
（3）
故所给矩阵为正交矩阵。
4.（1）解：
故
对于，解方程

得基础解系
所以对应于的全部特征向量为。
对于时，解方程

得基础解系
所以对应于的全部特征向量为（不同时为0）.
（2）解：
故
当时，解方程

得基础解系
所以对应于的全部特征向量为.
（3）解：
故
当时，解方程

得基础解系
所以对应于的全部特征向量为
当时，解方程

得基础解系
所以对应于的全部特征向量为
当时，解方程

得基础解系
所以对应于的全部特征向量为。
（4）解：
故
当时，解方程组
得基础解系，
所以对应于的全部特征向量为。
当时，解方程组
得基础解系
所以对应于的全部特征向量为
5.矩阵满足，求的特征值
5.解：设是的特征值，对应的特征向量设为，则

由已知得

由于，故＝0，解得或。
6.已知3阶矩阵的特征值为1，2，－2，求的特征值。
6.解：令，则，又因为的特征值为1，2，－2，故的特征值为
；；
所以的特征值为4，7，－5.
7.设3阶矩阵的特征值为1，2，3，求。
7.解：由于的特征值为1，2，3，故
令，则，故的特征值为
；；
所以。
8.设为正交矩阵，若，求证一定有特征值-1.
8.证明：设矩阵的特征多项式为
，则
，
又因为为正交阵，所以，于是

由两个方程，即
故-1为的一个特征根.
9.设都是阶矩阵，证明与具有相同的特征值。
9.证明：设是的任一特征值，是与对应的特征向量，即
，　　　　　　　 　(1)
用左乘上式两端，有
，　　　　　　　　　(2)
若记，则(2)式可写成
，
由(1)式知（否则就有）.因此是矩阵特征值.
设是的特征值，是与对应的特征向量，即
，
亦即是齐次方程组
，
的非零解，于是齐次方程组的系数行列式
.
因而齐次方程组有非零解，所以满足
.
故是矩阵的特征值.
综上所述，矩阵的特征值都是矩阵的特征值，同理可证的特征值都是的特征值，故结论成立.
10.设3阶矩阵与相似，其中的特征值为2，，，求。
10.解：由于与相似，故与具有相同的特征值，所以的特征值为2，，。
令，则，故的特征值为
；；
所以。
11.判断下列矩阵是否可对角化，说明理由。
（1）； （2）； （3）
11.解：（1）先求的特征值

所以的特征值为

，故不能对角化。
（2）

所以的特征值为
对于

，故能对角化。
（3）
所以的特征值为

，故能对角化。
12.设矩阵，其中，试求。
12.解：由于，故，即

所以。
13.是矩阵的特征向量，试求。
13.解：设是矩阵的特征值，为矩阵的属于特征值的特征向量.有
，即

即
解得。
14.已知，求。
14.解：先求的特征值

所以矩阵的特征值为
对于，

由于，故可对角化。解上述方程组得基础解系为

对于

得基础解系

取

则有，从而，，即

15.已知3阶矩阵的特征值为1，－1，0，对应的特征向量分别为

求矩阵。
15.解：因为有3个不同的特征值，所以可相似对角化，有

于是

16．试求正交矩阵，使得为对角矩阵。
（1）； （2）
16.解：（1　
故得特征值为．
当时，由
解得
单位特征向量可取:
当时,由
解得
单位特征向量可取:
当时,由
　　解得．
单位特征向量可取:
得正交阵

（2）先求的特征值

得到的特征值为
对于，

得基础解系

对于，

得基础解系

注意到与已经正交，故只需将各向量单位化即可
令

以单位正交向量为列得正交矩阵

使得

17. (06)设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.
(1)求的特征值和特征向量；
(2)求正交矩阵和对角矩阵,使；
17.解：（1） 由题设的行和均为3，有
，
所以，是的属于特征值3的特征向量．
又是的线性无关的两个解，即是的属于特征值0的两个线性无关的特征向量．由此可知，特征值0的代数重数不小于2．
综合之，的特征值为0，0，3.　属于０的特征向量为，其中是不全为零的常数；属于３的特征向量为，其中是非零常数．
（2）将正交化，
令，
，
单位化
，，.
令，，则有.
18. 已知是3阶实对称矩阵,特征值是, 的特征向量是的特征向量是,求矩阵。
18.解：因为是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交，故

所以　
设的特征向量，则

解出
由
得

19.已知矩阵，
（1）求参数；
（2）求正交矩阵，使得。
解：（1）显然，的特征值为，

由于，所以具有相同的特征值，将代入上式得，由此可得的特征值为2，1，－1，所以。
（2）对于，解齐次线性方程组

得基础解系
对于，解齐次线性方程组

得基础解系
对于，解齐次线性方程组

得基础解系
两两正交，只需将其单位化即可得，

使得。
三、计算（本大题共6小题，每小题10分，共60分）
1.求矩阵的特征值与特征向量。
1.解:
得特征值
对于，解齐次线性方程组，

得基础解系
的属于特征值1的全部特征向量为.
对于，解齐次线性方程组

得基础解系
的属于特征值2的全部特征向量为.
2.设是阶实对称矩阵，满足，求的特征值。
2.解：设是的特征值，是的属于特征值的特征向量，即有，则

由于，故，解得

因为实对称矩阵的特征值必为实数，所以的特征值为。
3.设矩阵有特征值，试求参数的值。
提示：本题只给出特征值而没有给出特征向量，一般用特征方程求解。
3.解：由于是的特征值，有，即

解得。
4. 判断矩阵是否可对角化，若可以对角化，求出可逆矩阵，使得为对角阵。
4.解：先求特征值

所以的特征值为。
对于二重特征值，判断是否有

显然，所以矩阵可以对角化。解齐次线性方程组，得基础解系

对于，求解齐次线性方程组，即

得基础解系
取，则

5.设矩阵，求正交矩阵，使得为对角矩阵。
5.解：先求特征值

特征值为
对于，求解齐次线性方程组

得基础解系
对于，求解齐次线性方程组

得基础解系
将正交化：
取；

再将单位化：

以单位正交向量为列得正交矩阵

使得

6.已知是3阶实对称矩阵，特征值是11，－2，其中属于的特征向量是，求矩阵。
6.解：设属于特征值的特征向量为，由于是实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量正交，故与正交

解得属于的特征向量为

因为是实对称矩阵，必可以相似对角化，令

有，则

四、证明（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
1.设是阶方阵的特征值，且，是的属于特征值的特征向量，证明不是的特征向量。
1.证明：（反证法）若是的属于特征值的特征向量，即

根据已知条件，得

即有

由于是属于不同特征值的特征向量，故线性无关，于是上式中
，即
这与题设矛盾，故假设不成立，即不是的特征向量。
2.设是阶矩阵且，若的特征值全是1，证明：。
2.证明：由得，又的特征值全是1，则，否则有特征值是－1。因此可逆，于是，即。
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