专题：与旋转有关的探索型题目.doc

学员编号： 年 级：初三 课 时 数： 3
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
授课类型
C专题： 几何综合
C专题：实际应用
T能力：解题工具
星级
二星级
三星级
三星级
授课日期及时段
2013/4/30

与旋转有关的探索型题目
1、条件探索型
条件探索型的特征是给出了结论，要求探索使该结论成立所具备的条件.解题时，一般需要从结论出发，逆向思维解(即执果索因).
例1:如图1,把正方形ACFG与Rt△ACB按如图(甲)所示重叠在一起,其中AC=2, ∠BAC=600,若把Rt△ACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转,使斜边AB恰好经过正方形ACFG的顶点F,得△A′B′C′，A B分别与A′C,A′B′相交于D、E,如图(乙)所示.
⑴. △ACB至少旋转多少度才能得到△A′B′C′?说明理由.
_
G
_
B
_
F
_
C
_
A
(甲)
_
E
_
D
_
G
_
B
_
F
_
C
_
A
(乙)
图1

⑵.求△ACB与△A′B′C′的重叠部分(即四边形CDEF)的面积(若取近似值,则精确到0.1)

2、探索结论型
结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目；解结论探索型题的方法是由因导果.
例2:已知，如图2，平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=1，BC=，对角线AC、BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F.
⑴证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；
⑵试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
O
F
E
D
C
B
A
图2
⑶在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由：如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.

3、存在性探索型
例1.如图1－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图1－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋转到如图1－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
图1－2
E
A
B
D
G
F
O
M
N
C
图1－1
A( G )
B( E )
C
O
D( F )

图1－3
A
B
D
G
E
F
O
M
N
C

例2.已知∠AOB=900，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E．
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，易证：OD+OE=OC．
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明．

图2-1 图2-2 图2-3

练习部分
一、选择题
1、如图1，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P’BA，则∠PBP’的度数是 （　　　　）
A．45° B．60° C．90° D．120°

1
2
4
3
0
-1
-2
-3
1
2
3
A
B

2、如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A’OB’可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，若点A’在AB上，则旋转角α的大小可以是 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°

3、如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得 ，则点的坐标为（ ）．
A．（3，1） B．（3，2） C．（2，3） D．（1，3）

4、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．等腰梯形 B．平行四边形 C．正三角形 D．矩形

5、单词NAME的四个字母中，是中心对称图形的是（　 　）
A．N 　B．A Ｃ．M D．E

6、某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案，你认为符合条件的是（ ）
A．等腰三角形 B．正三角形 C．等腰梯形 D．菱形

7、如图，在Rt△ABC 中，，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△绕点顺时针旋转90后，得到△，连接，下列结论：
①△≌△；②△≌△；③；④
其中正确的是（ ）
A．②④；　　 B．①④；　　 C．②③；　　　　D．①③
B
C
D
E
F
A

8、已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180O后得到图2，则旋转的牌是（ ）
图1
图2
A．
B．
C．
D．

9、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到0A′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在 （ ）
(A)第一象限 (B)第二象限 (c)第三象限 (D)第四象限

10、已知点的坐标为，为坐标原点，连结，将线段绕点按逆时针方向旋转90°得，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
1、在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是 ．

2、点A的坐标为（，0），把点A绕着坐标原点顺时针旋转135º到点B，那么点B的坐标是 _________ ．

A
B
O

3、如图，直线与轴、轴分别交于、两点，把绕点A顺时针旋转90°后得到，则点的坐标是 ．

4、如图所示，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标是．将绕原点按逆时针方向旋转后得到，则点的坐标是 ．

Ob
Bb
Ab
yb
A1
B1

x

三、解答题
1．如图，P是正方形内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若BP=3，求PP′．

2．正方形ABCD内一点P，使得PA：PB：PC=1：2：3，证明∠APB=135°．

A
B
C
P
3、如图P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB=

4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.
(1) ①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；
②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；
(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．

5、如图，△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α。
(0º＜α＜90º)得到△A1B1C1，连结BB1.设CB1交AB于D，AlB1分别交AB、AC于E、F.
(1)在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明
(△ABC与△A1B1C1全等除外)；
(2)当△BB1D是等腰三角形时，求α；
(3)当α＝60º时，求BD的长．

6、已知中，为边的中点，
绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、
当绕点旋转到于时（如图1），易证
当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
A
E
C
F
B
D
图1
图3
A
D
F
E
C
B
A
D
B
C
E
图2
F

7、已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,点G、E分别在线段AD、AB上.
(1) 如图1, 连接DF、BF,若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,判断命题:“在旋转的过程中线段DF与BF的长始终相等.”是否正确,若正确请说明理由,若不正确请举反例说明;

(2) 若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转, 连接DG,在旋转的过程中,你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并以图2为例说明理由.

9、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.
C
B
A
E
D
图1
N
M
（1）、当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；

A
B
C
D
E
M
N
图2
（2）、当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，
求证：DE=AD-BE；

A
C
B
E
D
N
M
图3

（3）、当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，
试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出
这个等量关系，并加以证明.

10、 已知：将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H。
（1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG=DH；
（2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；
A
G
D
H
M
E
F
C
B
N

图③

45°
60°
A
E
D
B
C
F
A
G
D
H
M
E
F
C
B
(N)

图①
图②

11、已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．
当绕点旋转到时（如图1），易证．
（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
B
B
M
B
C
N
C
N
M
C
N
M
图1
图2
图3
A
A
A
D
D
D
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

12、ABC是等腰三角形，，MN为AB上两点，如果，试说明AM、MN、NB可构成一个直角三角形的三条边.
A
C
B
M
N

13、已知如图P为正方形ABCD内一点，ABP经过旋转后到达CBQ的位置，（1）请说出旋转中心及旋转角度；（2）若连结PQ，试判断PBQ的形状；（3）若∠BPA=135°，试说明点A、P、Q三点在同一直线上；（4）若∠BPA=135°，AP=3，，求正方形的对角线长；（5）在（4）的条件下，求线段AP在旋转过程中所扫过的面积.
A
D
B
C
P
Q

14、已知Rt△ABC中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N．
（1）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图①，求证：；
C
A
B
E
F
M
N
图①
思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△沿直线对折，得△，连，只需证，就可以了．

C
A
B
E
F
M
N
图②
（2）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

15.（房山一）25．已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形, ∠ABC＝∠ADE=， AB= BC，AD=DE，按图1放置，使点E在BC上，取CE的中点F，联结DF、BF.
（1）探索DF、BF的数量关系和位置关系，并证明；
（2）将图1中△ADE绕A点顺时针旋转，再联结CE，取CE的中点F（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；
（3）将图1中△ADE绕A点转动任意角度（旋转角在到之间），再联结CE，取CE的中点F（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论

答案：
1、条件探索型
解： ⑴∵ACGF是正方形，A′B′经过点F，∴ A′C=CF．
又∵∠A′=60°, ∴ △A′CF是等边三角形.又∵ ∠A′CF=60°
∴ ∠ACA′=90°一60°=30°,∴ △ABC至少旋转30°才能得到△A′CB′.
(2)∵ ∠ACA′=30° ,∠BAC=60°,∴ ∠A′DE=90°.
又∵ AC=2，可求得 CD=.∴A′D=2一.
在Rt△A′DE中 , DE=A′Dtan60°=(2一_)·=2一3．
∴ △A′DE的面积为：A′D·DE=(2一)·(2一3) = .
又∵ A'B′=4， A′F= 2,∴ F是A′B′的中点．
∴ △A′CF的面积=△ABC的面积 , 而B′C=A’C·tan60°=2,
∴ S△ABC=×2×2 =2， S△A’CF =
∴ 四边形DCFE的面积为：一()=一+6=6一
(若取近似值，则结果应约为1．7．)
2、探索结论型
解:⑴证明:当∠AOF=时, AB∥EF,又∵AF∥BE,
∴四边形ABEF为平行四边形.
⑵∵AO=CO, ∠FAO=∠ECO, ∠AOF=∠COE. ∴△AOF≌△COE. ∴AF=EC.
⑶四边形BEDF可是是菱形.
理由:如图2,连接BF、DE.
由(2)知△AOF≌△COE.得OE=OF,∴EF与BD互相平分.
当EF⊥BD时,四边形BEDF为菱形.
在Rt△ABC中,AC=,∴OA=1=AB . 又AB⊥AC∴∠AOB=，∴∠AOF=.
∴AC绕点O顺时针旋转时,四边形BEDF为菱形.

3、存在性探索型
例题1
分析：本题主要考查旋转图形的性质，解答时应着眼于图形的旋转不变性来探索线段之间的变化规律.对于（1）问，经测量后可知BM=FN．然后利用三角形全等证明即可；对于（2）问，要明确，在继续旋转的过程中，虽然△OBM和△OFN都发生了变化，但二者之间全等的关系没变.故结论成立.
解：（1）BM=FN．  
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．
又∵∠BOM=∠FON， ∴ △OBM≌△OFN ．
∴ BM=FN．
（2）BM=FN仍然成立．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．
∴∠MBO=∠NFO=135°．
又∵∠MOB=∠NOF， ∴ △OBM≌△OFN ．
∴ BM=FN．
评注：本题利用图形旋转的不变性，探索图形在旋转过程中的有关规律，让同学们体验图形旋转变换的性质，同时也考查了同学们空间想象、规律探索、推理能力以及分析问题、解决问题的能力，是一道不可多得的优秀题目.
例题2

分析：由于在旋转的过程中，虽然点O的位置发生了变化，但∠AOC和∠COE的大小不变，都是45°，因此可过C分别作OA、OB的垂线，从而转化为等腰直角三角形（图1）来处理.对于图3可仿图2处理.
解：图2结论：OD+OE=OC.
证明：过C分别作OA、OB的垂线，垂足分别为P、Q．
△CPD≌△CQE，DP=EQ.
OP=OD+DP，DQ=OE-EQ.
又OP+0Q=0C，即OD+DP+OE-EQ=0C.
∴ OD+OE=0C．
图3结论：OE-OD=OC.
评注：从以上两例可以看出，解决这类问题的关键是要把握以下两点：
1.在解题时，认真观察图形，不放过一个细节，看清旋转的角度和方向，找准旋转前后的相关的角与边，在旋转的过程中，弄清变与不变的量；
2.再解决这类问题时，我们通常将其转换成全等形求解，根据旋转变换的特征，找到对应的全等形，通过线段、角的转换达到求解的目的.

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