土壤水分能量的观念.doc

土壤水分能量的觀念
　　像是別的自然界的物質，土壤水分也具有能量（Energy）。在傳統物理，能量區分為三種型態：內部能（Internal Energy），是原子間的鍵結力，與改變分子鍵結所需的功；動能（Kinetic Energy），是一物質在運動時改變速度所需的功；位能（Potential Energy），是一物質由一位置移動到另一位置，所需的功。巨觀的土壤水分移動，不改變水分子的特性，所以不考慮的部能，又因為移動速度非常緩慢，所以因速度的動能也太小而不慮，所以土壤孔隙流主要是考慮位能的變化。
　　根據目前的知識，土壤水分位能（Soil water potential）由四個成分組成：
1. 重力位能，jg（Gravity potential）：在地球重力場（Gravity field），g，移動一個質量，m，有z的距離，其所做的功或所需能量，Eg ，
Eg = mgz (1)
式子(1)為一常用的物理公式，但是很少去深入探討來源，其推導如下：

o
z
R

R是地球的半徑＝6.4×108cm
一個物質質量m，在地球受地心的吸力，F，
(2)
M是地球質量＝6×1027g
G是宇宙常數＝
由(2)式知重力g的由來

　　　　　= 980 cm/sec2 = g （重力加速度） (3)
所以　E = mg (4)
所以單位質量所作的功，jg，
(5)
DR為單位距離的改變。(3)式代入(5)式得

(6)
因為R>>Z
(7)
(3)式代入(7)式得
jg = Gz (8)
在(8)式中的Z，是一個相對的高度，一般以地面為Z＝0。(8)式亦可證明jg祗與高度有關，與水的物理或化學性質無關。
2. 壓力位能（Pressure pstential）, jp
　　　土壤的孔隙以毛細作用（Capillary force）持著土壤水分，所以以下列模式來描述，必須給予一個正壓力(p)，才能使水有移動l的距離，所作的功，w，為

l w = F‧l (9)
水 →F w的單位為erg.

　單位質量的能量，jg = F‧l／m (10)
jp單位為erg／g
　壓力是單位面積所承受的壓力
F／A＝p (11)
　(11)式代入(10)式得
jp = p‧A‧l/v
= p／rw (12)
　rw為水的密度。
又因p = rwgh，所以
lp = gh (13)
在定義，當靜水壓（Hydrostatic pressure）在１大氣壓的空氣下視jp = 0，當jp > 0稱為在壓力狀況，jp < 0稱為在張力（tension或suction）狀況下。土壤水分大多jp < 0。又因孔隙愈小，毛細現象愈顯著，jp 更為< 0，所以需要更大的能量才能把這一部份的水移動出。因為土壤的孔隙複雜不是單一的毛細管所可比擬，所以Pressure potential在過去稱為Capillary potential，現皆稱為Matri potential。
3. Osmotic Potential jo
　　　是因水中離子濃度，而減降j值。這一個影響一般很小而可忽略。
4. Pneumatic potential ja
　　　ja是水的前現空氣受擠壓而產生的阻力能量。一般也很小不影響水流，可以忽略之。
　　　既然土壤水分的位能，至少可以分為這四種，所以土壤中某一位置(或某一體積的土壤）的總位能jT（Total Potential）可以表示為
jT = jg + jp + jo + ja (14)
(14)式中每一能量用加號，表示每一成分都是獨立的（Independent）有的成分影響較不顯著，例如jo與ja常在傳統的介隙流中忽略之，所以(14)式可改寫為
jT = jg + jp (15)
(15)式j的單位是ery/cm（單位質量所含的能量），這個單位在物理上不易看出意義。
物理上的能量單位
1. Force（力）的單位
根據牛頓第二定律
F = ma，m質量，a加速度（cm／sec2）
　　所以在cfs制，F的單位g‧cm/sec2 = dryne
2. 壓力（Pressure）的單位
根據定義，壓力，p為單位面積，A，所受的力
(16)
在地球重力場F = mg，所以
(17)
又密度r = m/v，v為體積，所以

= rgh (18)
(18)式為壓力常見的式子。
由(16)式和壓力的單位為dyne/cm2，又因
1 atm = 1.013×106 dyne/ cm2
或
1 bar = 1.0×106 dyne/cm2
所以壓力的單位也用bar或atm（大氣壓力）示之
3. 能量E（或功w）的單位
E = w = F‧Z = dyne‧cm = erg (19)
能量有三種表示法
(1) Potential, j，即移動每單位質量(m)的物質（如水）所耗的能量

　= gZ (20)
單位為erg/g。(15)式即用此單位。
(2) Pressure, p，即移動每單位體積(v)的物質（水）所需的能量
(21)
單位為dyne/cm2或bar, atm。
(3) Head, H，即移動每單位重量(w)的物質（水），所需的能量。能量是force, F
(22)
單位為cm。為高度的單位，最易測量。

由降下的水深，H，即可表示土壤水每1g重量的能量。所以在工程，H又稱為Hydroulic Head。
比較(20)與(22)知
H = (23)
所以(15)式除以g，則得
(24)
或
HT = Hg + Hp (25)
HT：稱為總水頭（Total hydroulic head）
Hg：重力頭（Gravity head）
Hp：壓力頭（Pressure head）
單位為cm。
要注意與土壤孔隙有關係的是Hp，而不是Hg，或HT而與土壤水分移動有關是不僅是Hp或Hg，而是HT。前一句敘速即為Laplace equation，後一句敘速即為Darcy equation。

土壤水分特性曲線的觀念
(Soil Water Characteristic Curve)
　　土壤水分特性曲線是Childs (1940)年提出，以jp（matric suction）與所排水後的土壤含水量(q)的關係曲線，來代表一塊土壤水分與所拖外力的平衡關係。例如有以下的實驗。
θ0
0

θ1 F1

Ds1
θ2 F2
0 DS2

得一實驗曲線，稱為Soil Water Characteristic Curve。

0.5

θ

0 107
0 j (ery/g)
或是表示為

Suction

0 θ
Water content
這一曲線可以特性不同土壤的結構（Toxture）

jr

Clayey Soil
Suction
Sandy Soil

je
0
0
　θ
　　Sandy土，在很小的Suction（負壓）下，土壤含水量急劇的減少，証明大多數的孔隙是大孔隙（，r：孔隙半徑），而Clay則緩慢減少，代表孔隙分佈均勻。Clay在飽和時較Sandy有較高的θ值，証明Clay的孔隙率（Porosity）較大。
　　從Childs發表有以上關係曲線，50年來不斷有物理家用不同數學函數去描述之。如最有名的Brooks與Corey (1966)
(26)
θm：為飽合含水量。
θr：為土壤水分很低時，毛細管流中斷，水流祗是沿著土粒表面移動。
je：（air-entry suction），表示即使在一開對土壤施力，但飽和土，水分仍不留出，因為最大孔隙所持著的水仍需一點能量才能排出，je為土壤水分開始排出的potential energy。
λ：代表孔隙分佈，稱為pore-size distribution index。
　　Brooks與Corey (1966)的式子是根據實驗的現象，當壓力在0至－1bar（或張力在0－1bar）土壤孔隙水主要是毛細水（即以Copillary force）為主要的移動。所以受土壤孔隙控制，但是當張力＜1 bar時，毛細水排完，水分的移動主要是吸附水（Adsorption water），吸附水的移動可能與顆粒的表面積有關。Gardner氏(1968)認為張力＞10 bar（或壓力＜－10bar），吸附水的移動與表面積無關，而與表面積的離子特性與雙層理論（Double Layer Theory）有關。
　　由於有這麼多的物理與化學機構，在這一條看似單純的特性曲線上，所以至今仍沒有一數學式子可以描述這曲線（也很可能永遠沒有）。這使得非飽合孔隙流成一物理學上永解不開的結。我們的思索與努力是在有限準確度內的近似解。
　　1970年以後，電腦程式流行，幾乎可以準備的配上每一條土壤的特性曲線，但是在物理意義即不再思索了，因為數字可以fit的很好了，基本的理論卻未突破。

達西法則（Darcy’s Law）與水份運動
　　法國工程師Henri Darcy在Dijon城市的公共給水觀測水流經過濾沙層的流連，在1856年發現流速(q)，與壓力水頭差△H成正比，與通過濾沙厚度L成反比，他提出
(27)
或
(28)
K稱為導水係數（Hydraulic Conductivity）。這成為第一個孔隙流的公式，稱為達西法則(Darceg’s law），達西且發現在飽和流時，K為常數。
q（Flux）的探討
　　q是單位土壤（或孔隙介質）面積，在單位時間t的流量（l或cm3），所以可表示為
(29)
　　θ為流率（discharge rate）。q的單位是流速，v的單位，但是q不是流速
孔隙

因為一斷面積有不同的孔隙，每個孔隙有不同的流速v，而整個斷面積有平的流速，但是q也不是。假故單位孔隙面則為A¢，則
(30)
或改寫為
(31)
根據定義f＝A¢／A，f為孔隙率（porosity），所以
q = ‧f (32)
　　因為f < 1，所以，q < 。q是孔隙介質在不考慮區域性的（或微觀）流速或是平均流速，祗考慮巨觀（Macroscopic）情形下通過一個孔隙介質的流速，所以Darcy’s式是巨觀公式，而非微觀（micro-scopic）描述，這是很重要的觀念。為別於一般流速，Darcy式的q，稱為（flux density或flux）而非velocity。由於q具有方向性，在一般定義方向用正，負號示之：
　＋
　－ 　＋

　－
即流動向右，向上的正號，向上，向下為負號。
△H（Hydraulic head difference）
△H＝Ho－Hi
Ho：流出的total pressure head
Hi：流入的total pressure head
L
L＝△X
△X為流動距離的變化。 又稱為Hydraulic head gradient
為考慮流動方向，達西公式一般表示為

＊ 　　 (33)

R.L.(Reference Level)

X1 = 0 X2 = L
Hp1 = h Hp2 = 0
Hg1 = 0 Hg2 = 0
HT1 = 0+h = h HT2 = 0
　為正號，水流向右

X1 = 0 X2 = L
Hp1 = 0 Hp2 = h
Hg1 = 0 Hg2 = 0
HT1 = 0 HT2 = h
　為正號，水流向左

X1 = 0 X1 = 0
Hp1 = h HT1 = h Hp1 = 0 HT1 = L
Hg1 = 0 Hg1 = L

X1 =－L X2 =－L(∵向下)
Hp1 = h HT1 = h Hp2 = h HT1 = L
Hg1 =－L Hg2 = 0

K值的探討
　　移動單位體積的水分，在孔隙介質，其重力項可表示為
(34)
壓力項為
(35)
因壓力項隨距離而變所以表示為
又水分的移動，必須克服顆粒對於流體的摩擦阻力，根據流體的定義，shear force t為
(36)
m為流體的viscsrity，所以
(37)
克服流體後的淨力為ra（類似(34）式)，或表示為r(q/t)總合上面(34)-(37)式得
(38)
又因 (39)

(40)
假設qy＝0，(40)式為
(41)
(41)式代入(38)式得
(42)
因為孔隙流q非常小，所以¶q／¶t x0，又因q是巨觀流，在單位面積之q = const，所以¶q／¶x＝0o。因此(42)的左項為0，又因Total potoutial（per unit volumn）（查p.5），為p*
p*＝p－rgx (43)
所以
(44)
綜合上面之推論
(45)
(45)式表明土壤（或孔隙介質）流是由壓力比降（total pressure gradient）來克服阻力，所以這是層流（laminar）流況。在p.9已討論過孔隙流可能是Adsorptive flow，也可能是Capillary flow。
　　若都是在Adsorptive flow，則假設是土粒表面的明渠流（Open Channel flow）

B.C.1.　　y = 0,
B.C.2.　　y = d, q = 0
(45) q祗對y方向而變化，故偏微方式可以改為微分式，故可改為p*也祗因x方向而變，
(46)

(47)
因不隨y而變，故
(48)
將B.C.帶入(48)式，知C = 0，且
(49)

(50)
又知B.C.2　故
(51)
(51)式代入(50)式得
(52)
又平均q

(53)
若都是在capillary flow

y = b/2, dq/dy = 0
y = 0, q = 0
所以(48)式可改為，故
(54)
(55)
(56)
知C¢= 0，故
(57)
其平均q為

(58)
因為p* = rgh，故(53)可改寫為
(59)
(54)可改寫為
(60)
比較(33)與(59), (60)式知
(61)
k為土壤孔隙的能量狀態，d 為孔隙半徑（capillary flow）或水深（adhesive flow）
　　當土壤在近飽和時Sandy soil有較大的d值，所以K值大於clay soil。但土壤在較大時，Adhesive flow、Clay表面有較深的水流，所以K反較Sandy soil為大！
又溫度影響K值，溫度↑，μ↓，K↑。
又鹽分濃度↑，ρ↑，K↑。

ln K
Clay
Sand
0 LN Hp →(－)

　　(61)式是在不考慮流徑的情況下，也不考慮別的作用（如Double layer）作用，是簡化物理邊界狀況下的推導。

←流徑（path）非常複雜

所以(61)式，在一定溫度與純木（或是固定density）狀況下可以表示為
(62)
因為d, k, path, 2o layer都與土壤的含水量θ或與土壤的Hp有關，所以
K = f (θ) (63)
或
K = f (Hp) (64)
但是目前物理界仍無法定量(63)或(64)的關係，祗知水量減少，K值減少。θ～Hp函數與K～Hp函數的無法確定使的非飽和孔隙流理論很多發展仍很困難。而path, 2o layer也非常不易測量，尤其孔隙內tortuosity path，可能超出人類對自然物質的定量能力，大將祗有求得平均的轉折（tortuosity）的能力，無法進入微觀。
　　達西公式給孔隙介質流開了一道門（很狹窄的門），一百多年來，物理家一直敲那一道門，想敲出一點東西，如Kozeny-Carman (1939)就假設在每一粒子都相同體積，則
K = f3／ca2（1－f）2 (65)
a是粒子比表面積，c是粒子形狀常數，f為孔隙率。
另外Marshall又推出
K = (f2／8n2)〔r12＋3r22＋5r32＋…＋(2n－1)rn2〕 (66)
r1, r2, …rn表示逐漸減小的孔隙半徑。
這些理想狀況與實際K值仍不相同。
1. 均勻質地（homogencous），即孔隙不具方向性（isotropic），如此水流才不具區域方向（anisotropy）。
2. 不具entrap air bubble，如此會影響K值。

3. 流速不能太大，否則非Caminar flow，則Darcy’s公式無法使用。
4. 常溫。
　　在注重工程應用時，可能會不注意Darey的那一道門，也許有太多的限制是與自然不相符合的。
均勻土層的非穩定流理論
　　藝術家用他的畫筆鉤勒大自然瞬間的美感，音樂家用音符來表露他那心靈對大自然的感動與共鳴。一個農業工程的研究者，對於大自然有另一種深遂的眼光，有另一種獨特的符號，也有一顆對於大自然的美與次序，深深的愛戀，是偶而坐在泥巴地上的獨思，偶而蹲在溪水邊幻想，偶而回到課堂發表一點謬論。人家說：“一個學農工的人必須現實的蓋道路、築水庫、建排水路。”，他卻像一個永遠長不大的孩子，忍受不了那冰冷的混凝土，偷偷的，跑入那森林的深處，尋找那朵人家都看不見的小花，……，有一點滿足了，跑回課堂，慢慢的對別人欣開土壤的裡面故事。
　　當你把一滴水放在土地上，一下子大地就把那滴水給吃了，嗯，如果拿一大桶水，倒在地上，你會發現大地像一隻可愛又頑皮的小狗，開始是咕嚕咕嚕大口的把水喝下去，漸漸的一口一口的品嚐，後來是一點一點的吃，你在那時想，大地可能吃飽了，在前面那種情況的喝水稱為Unsteady（非穩定）流，即dq/dt≠0，後一種喝法稱為steady（穩定）流，即dq/dt＝0，在後面的這一種情況已在前面的一課談論過了。過去有很多水，拼命灌給大地這一隻狗狗喝，如果灌水的q，大於狗狗喝q，狗狗就喝的流口水，流在嘴巴外了，人家就說這是漫地流（run off）。現在20世紀末期了，水不太夠用，或是不想造成太多污染水的漫地流，會影響到水庫，河川的水質，於是研究這隻大地狗狗開始喝水的非穩定狀態就很重要了。
　　如果在一均勻的土壤，於其土面有一定深度的淹水（ponding）在土壤剖面的水分分佈的概況如下圖：即在淹水的地表面以下有一層飽和層（Saturation Zone），在沙土（Sandy Soil），這飽和層較深河達幾公分深，在黏土（飽合層則較淺，因為黏土的飽合導水係數較小，需較長的時間使之充分飽和，而此時水已因重力移動至較深的距離。飽

初始含水量 　　飽和
Saturation Zone

Transmission Zone

Wetting Zone

Wetting Front
Water Content
soil depth z

和層下是一層較深未達飽和的傳導層（Transmission zone），此層的含水量幾乎一致。所以水分在此層的移動幾乎是全賴重力水頭（Gravity head），在實際上是否真有飽和層與傳導層的區別是值得懷疑的，尤其在均勻黏土層，因為有顆粒間的膨脹，以致收縮孔徑；粘土團粒的破壞，導致結構上的不穩定；氣泡的阻塞小孔隙；地表的龜裂；懸浮性粒子的阻塞；藻類的滋生等使的幾乎沒有飽和層的存生。在沙土有較明顯的傳導層，因為孔隙分佈較集中，水分分佈易呈均勻；在黏土層，因為有較廣泛的孔徑尺寸，水分不易均勻，所以傳導層較淺。在傳導層下是潤濕層（Wetting Zone），在此水分急劇的減少，所以水分在濕與乾的介面是靠壓力木頭（Pressure head）來推進水分，沙土有非常顯著水分陡降，而且潤濕層很淺，所以潤濕層也有很高的含水量，所以乾濕之濕潤鋒線（Wetting Front）有較大的dHp／dz，所以q大，因此沙土的入滲速率大；反之黏土潤濕層較深，在濕潤鋒線是有較小的dHp／dz，又有較小的k，所以q小，因此黏土的入滲速率大。
沙土 黏土
　　θ 　θ

　　　z

　　如何描述入滲？有四種實驗方法鄉：（一度均勻土層非穩定流）

(1) 把土柱分層，可以一環一環拆開，入滲後若干t時間後，立刻拆除每一環，取出土壤，測含水量。破壞性實驗。

(2)
tenscometer（水分張
力計），測Hp，非破
壞性實驗，但祗到
-1bar的範圍，不適
於黏土實驗

zf1 t
zf2 t
zf3 t
(3) 測入滲量θ，其符號常示為I (Cumultive infiltration），表示累聚入滲量。dI/dt＝q, (Infiltrability)稱為入滲率。

(4) 即在上面的實驗中測量此表在濕潤鋒線的距離zf一般由實驗結果可以畫出

　　I~t，與q~t容易測。但是如何描述其曲線關係式，現在深論之：

Case 1. 先解水平入滲流（Green-Ampt公式推導）

↙Green-Ampt假設
　　θo
↙θ-X曲線

θi
xo xy

θi = initial soil micsturs or soil water content初始土壤含水量
θo = 飽和土壤含水量
xo = 入滲距離x = 0
xf = 潤濕鋒線的距離
I是θ～x曲線下的面積，因為不知θ～x的函數，所以面積不易求得。Green-Ampt公式假設xf為長方形關係式θ-xf，並且有相同的面積I，由此知此公式較適用於描述沙土，而黏土則不易符合Green-Ampt的假設。
由達因公式知
(1)
又 HT = hp＋hg (2)
因為水平流所以Hg＝0，故(2)式代(1)式得
(3)
由Green-Ampt的假設知
I = (θo－θi)xf (4)
所以依入滲率，q的定義知
(5)
因為θo與θi為定值。
(6)
又假設xf處的壓力水頭為hf，xo的壓力水頭ho，故
(7)
將(6)，(7)式代入(3)式得
(8)
此處K為飽和K，因為Green-Ampt的假設之故，為一種用飽和流來近似非飽和流，故以Ko表示之。(8)可改寫為

(9)

(9)代入(4)式

(10)
注意(10)式中，I, Ko, θo, θI, ho（xo）都可測，而hf是無法測，因為不知zf為何處，而且hf是瞬間水流通過而變化，也許用土壤溫度變化有一天可以測定，因為水流通過時溫度下降，由溫度～水量關係，說不定可求hf。(10)可寫為
I = st 1/2 (11)
，為Sorptivity（吸導率），表示一個土壤全靠hp差來吸水的速率，根據Green-Ampt的假設s是定值（s=const），如此s成為一個土壤的重要特性。(11)式可用實驗值以I，t1/2迴歸求之，所得t1/2的係數即為s，需知s所代表的物理意義。

case 2. 垂直入滲流（↓）

θI θo
zo

←Green-Ampt
zf

　　因為是垂直入滲流（z方向），z負號，因為向下流動
HT = hp－hg = hp－z (12)

(13)

(14)
由Darey式知

故由(6)與(14)式知

(15)
(15)式可以改寫為
(16)
(16)式之左端

(17)
將(17)式代入(16)式得
(18)
所以

(19)
由無窮等比級數當zf <<(ff－ho)，故
……
故

(20)

(21)
由(21)式知
(22)
式(22)改寫為
(23)
令p(x) = a＋bx＋cx2＋dx3＋ex4……
則無窮等比級數的1/2次方為

由(23)知
a = 1, b = 2/3, c = 2/4, d = 2/5, e = 2/ 6……
故代入(23)得

(24)
令θ＝ay＋by2＋cy3＋……
　則無窮等比級數的反函數為
　y＝Aθ＋Bθ2＋Cθ3＋……
　其中
由(24)知a＝1，故A＝1 (25)
，故 (26)
，故
(27)
由(25), (26), (27)式，改寫(24)式為

(28)
由s的定義知
(29)

Case 3. 入滲上升流（↑）

類似Case 2.推導得出
zf

　z = 0
　θi θo

(30)
↓向下入滲

水平流→
z

↑向上入滲

t1/2

因為　I =（θo－θi）zf
故
水平流 I = st1/2
入滲向下
入滲向上
因為q = dI／Dt
水平流
入滲向下
入滲向上
蒸發流理論
　　如果田間污染源是地下水，或是已有外洩的地下污染儲存槽，或是地下掩埋垃圾，那麼這種污染如何影響到地表面是很有趣的探討，污染質的輸傳至地表，有二種方法：一是藉著上向入滲水流，二是蒸發流，根據Green-Ampt或是非均勻穩定流的Darcy’s式可以計算出向上入滲的Darcy’s flux, q，在很乾燥的地區，一般以為有很小的水力傳導hydraulic conductivity，所以q值也很小，根據這個推論，且有嚴重污染的廢物或是放射性廢料，各國的環保單位，都在尋找最乾燥的地方來掩埋廢污，如此風潮，導致不毛之地的中國羅布泊，埃及的沙哈拉大沙漠，等成為非常重要的掩埋藏，加上近代熱心者使用埃及的木乃伊，與羅布泊挖出的孔龍蛋，保持的如此完整，好似更具說服性的說明，祗要把東西存放在此沙漠保險箱，幾千年下來也必萬無一失，近幾年美國，法國已聯合在羅布泊設立掩埋藏污染物質，甚至那羅布泊一下子成為土地昂貴的地方。在這股熱潮裡，有人開始想到蒸發流，幾乎所有東西者會蒸發，水會蒸發，放射性物質會蒸發，有機污染會蒸發，有些不蒸發的如無機鹽分，也可能會因著水蒸流，在土壤表面成為極細層表面流，而移動至表土，那些地下水離地表面近代的土壤，鹽分常隨土壤界之蒸發流而源源不斷的上升至地表面，但因無微小孔隙於大氣中，鹽分會果聚於地表，形成不適耕種傳統農作的土地。而沙漠的乾燥氣候等於提供給予地表有很大的機會產生地下深層之向上蒸發流，又沙漠的高溫也提供水分或污染質蒸發有需的能量，如果如此推論合理，乾燥又失熱的沙漠可能很不適合掩埋或是存放污染質。所以計算蒸發，尤其水分的蒸發（很多有機汽化可溶於水蒸汽中）在非飽合孔隙介質中，成為一很有學術性的探討，而給與數學性的推導後，會証明出一些工程界很通用防止污污土壤的手法，竟然是完全錯誤的。請逐漸的由Darcy’s式來推導。因為Darcy’s式是惟一孔隙介質流的公式，所以假設蒸發流也答合Darcy式。假設在一均勻土壤；有一地下水在d的深度，

其土壤間蒸發通量（flux），q，依Darcy’s式可以寫為
(1)
又hT = hp＋2，因為水的蒸發向上，所以z為正號
(2)
或(2)式改寫為
(3)
在(3)兩端乘以dz
(4)
(5)
(5)式的兩邊積分：
(6)
(6)式無法立刻積分，因為在非飽和流裡，K是依著含水量而變，所以假設K是|hp|的函數，因為K為正值

(7)式的a,b,n為＞0定值，用來表示土壤的特性，沙土的n一般視為4，表示|hp|變大，在很乾時，K值急劇變小，以n = 4的次方。而在黏土，|hp|與K值的變化較緩，故一般n = 2示之。

sand
K
clay

0 |hp| →¥

Case 1. 均勻黏土層的蒸發流

q
z = d hp2 = －¥表示是在無限乾的狀況

Clay
d

z = 0 hp1 = 0

將(7)式代入(6)式得

假設q =定值
(8)
除去絕對值的hp，因為有平方項
(9)
因為
故
(10)
假若b » 0即|hp|n>>b
tan = ¥，　tan 0 = 0，故

(11)
(11)式可以改寫為
q = a‧π2／4d2 (12)
又因由(7)知　a » K|hp|2 (13)
(13)
由(13)式知，d愈大，q愈小。
　　hp愈近於－¥，即表土愈乾，q愈大
假設a = 700 cm3/day，
d(dm) log d q(cm/day) log q
30 1.477 1.919 0.283
50 1.700 0.691 -0.161
100 2.00 0.173 -0.762
200 2.301 0.043 -1.376
500 2.700 0.007 -2.15
1000 3.00 0.002 -2.70

q
d hp2 = －¥

Sand
d

hp = 0

在沙層(7)式的n＝4

(14)
因為
由(14)知，

(15)
假設6 » 0
(16)
(17)
當hp＝－¥，則上式(17)為，

當hp＝0則(16)為

又 (18)
當hp＝－¥，(18)式為

當hp＝0

故(15)知

(19)
(20)
又因a @ |hp|4‧k，故
(21)
d(dm) log d q(cm/day) log q
30 1.477 319.435 2.504
50 1.700 41.398 1.617
100 2.000 2.587 0.413
200 2.301 0.162 -0.79
500 2.700 0.0041 -2.387
1000 3.000 0.0003 -3.523

Case 3 黏土—沙土蒸發流

h = L+d hp = －¥
Clay d
h = L hp = －hp2
Sand L

R.L hg = 0 hp = 0

　　對於上層的clay，其蒸發通量，類似p.4的表示，由eq (8)知
(22)
故由(10)式知
(23)
因為b » 0
(24)
(24)可以改寫為
(26)
故由基本三角學知
(26)

(27)
故由(26), (27)知
(28)
a = 700 cm3/day
對於下層的sand，其蒸發通量類以p.6的式子(14)
(29)
故類似(15)式可以表示如下，且令b » 0

(30)

(31)
(32)
(a)在（Eq.32）為170×106 cm3/day
如果將(28)式代入(32)式，固然可以消去|hp2|，但是成為非常複雜的式子。必須簡化(28)與(32)式以求解，
令 (33)
(28)式可以改寫為，(33)式a改為ac表示為clay的a值
(34)
(34)兩端除以d得
(35)
(33)式代入(35)式得
Î＝cot y/y (36)
又令 (37)
as為sand的a值，且
令 (38)
令 (39)
(32)式右端

(40)
因為由(38)與(39)式知
(41)
(42)
(41)與(42)式代入(40)式得
(32)右 (43)
同理(31)式另一右端式得
(44)
(41)與(42)式代入(44)式得
(45)
將(38), (43)與(45)式代入(31)式得
(46)
當d = 30 cm，L = 100 cm
而在前知在clay (on top) ，在Sand

ac = 700 cm3/day as = 170×106 cm3/day
(47)
故

= 9.428s (48)

又由上知

(49) (50)

(49)與(50)式知

(51)

放入數據

(52)
由(36)式知，且，，ac = 700 cm3/day, d =30cm
y Î y2 q(cm/day) hp2(cm) log10Î log10 y2
0.1 99.67 0.01 0.008 -3.32 2 -2
0.2 24.67 0.04 0.031 -0.82 1.39 -1.4
0.3 10.78 0.09 0.070 -0.36 1.03 -1.05
0.4 5.91 0.16 0.124 -0.20 0.77 -0.80
0.5 3.66 0.25 0.194 -0.12 0.56 -0.60
0.6 2.44 0.36 0.280 -0.08 0.39 -0.44
0.7 1.70 0.49 0.381 -0.057 0.23 -0.31
0.8 1.21 0.64 0.498 -0.040 0.08 -0.19
0.9 0.88 0.81 0.630 -0.029 -0.05 -0.09
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