空间解析几何-第5章-正交变换与仿射变换学习资料.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第5章 正交变换和放射变换,1 变换,2 平面的正交变换,3 平面的仿射变换,4二次曲线的度量分类与仿射分类,5 空间的正交变换与仿射变换,1 映射与变换,定义1.1,设S与S是两个集合,对S中任一元素a,按某一法,则在S中有唯一的元素a与之对应,我们称此法则(即对应关系),为S到S的一个,映射,。记作,:SS,a a.,或者记作:a=(a),aS。a称为a在映射下的,象,a称为,a在下的一个,原象,。,集合S到S的两个映射和称为,相等,如果对于任意aS,都有(a)=(a)。,集合S到自身的一个映射叫做S的一个,变换,。,例1,设S是全体自然数集,S=n|nS,则,(n)=2n,nS，是S到S中的一个映射。,(n)=4n,nS，也是S到S中的一个映射。,例2,设S是无数个点的集合,A是S的子集,S=0，1。,则定义为,的法则是S到S上的一个映射。,例3,设 =,法则 定义为 ,则 是 到自身,的一个变换,此映射称为,恒等变换,。,例4,平面上的平移,设S是平面上所有点的集合,取定一个直,角坐标系,给定一个向量 =()。令点P(x,y)与P(x,y)的,对应关系为,则有 (1.1),这是S到自身的一个变换,称为由 决定的,平移,。公式(1.1),称为平面上的,点的平移公式,。,注,：在形式上平移公式与点的,坐标变换中的移轴公式类似,但是含意却完全不同:点的平,移公式中,(x,y)和(x,y)是不同,的两个点在同一坐标系中的坐标;而移轴公式中,(x,y)和(x,y)是同一个点在两个不同的坐标系中的坐标。,例5,平面上的旋转,S是平面上所有点的集合,在平面上取定,一个直角坐标系O;,令点P(x,y)和P(x,y)的对应,关系为,(1.2),其中，是一确定的实数,则是S上的一个变换,称,为平面绕原点的,旋转,转角为。,(1.2)称为平面上转角为的,旋转公式,。,例6,平面上的反射,。设,l,是平面上一条定直线,平面上任一,点P关于,l,的对称点为 P。这种从P点到P点的映射,称为平,面上以,l,为轴的,反射,。若取,l,为x轴建立平面直角坐标系,设,P(x,y),P(x,y),则此反射表示为,(1.3),设:SS,我们用(S)表示S中的点在下的象的全体,显然有 。,当(S)=S时,则称是,满射,或,到上的,。如果在映射,下,S中不同元素的象也不同,则称是,单射,(或,11的,)。既是,单射又是满射的映射称为,双射,(或,11对应,）。,定义1.2,设映射 :SS,:SS,则定义,乘积映射,为,对于S到S的双射,我们可以定义它的,逆映射,：,若(a)=aS,aS,则定义 ,显然,易证,11对应的逆映射也是11对应,11对应的乘积 也是,11对应,映射的乘法满足结合律。,定义1.3,设:SS是一变换,若对aS,满足(a)=a,则称,a是的,不动点,aS|(a)=a称为的,不动点集,。,平面上的平移与旋转的乘积称为,平面上的运动,(即刚体运,动),它是平面到自身上的11变换。,例7,设是平面上由 =(a,b)决定的平移,是平面上的,转角为的绕原点的旋转,:P(x,y)P(x,y)P(x,y),则的公式为：，,则的公式为：由,此可见。,平面上点变成点的变换也叫,点变换,。,一个线性点变换,当它的变换矩阵 的行列式|A|0时,称为,满秩线,性点变换,或,非退化线性点变换,。往后将看到,正交变换和仿射,变换在代数上均表现为非退化的线性变换。,定义1.4,设G=:SS|是S上的变换,如果G满足：,(1)恒等变换IG;,(2)若 则,(3)若G,则它的逆变换 。,则称G为S的一个,变换群,。,2 平面的正交变换,1.平面的正交变换,在1中我们介绍了平面上的三种点变换:平移、旋转和反,射。它们有一个共同的特点:保持点之间的距离不变。,定义2.1,平面上的一个点变换,如果保持点之间的距离不变,则称它是,正交(点)变换,(或,等距变换,)。,平面上的运动与反射都是正交变换。,从定义立即得到性质1和性质2。,性质1,恒等变换是正交变换,。,性质2,正交变换的乘积是正交变换,。,性质3,正交变换是双射,。,证明,设是正交变换,把不同的两点P,Q分别变为P和Q。,由于P,Q不相同,所以 ,根据保持距离不变,应有,因此，P,Q也是不同的两点,即为单射。,下证是满射。即对平面上任何一点P,都存在P，使,(P)=P。为此,在平面上任取不共线的三点 (i=1,2,3),设,()=(i=1,2,3)。由是单射并保持距离不变,易知 构成,一个三角形,且 ,假定P到 的距离为 ,那么必存在一点P,它到 的距离也,是 。设(P)=P,则P到 的距离也是 ,因此P与P重,合,即(P)=P。,由性质3知道,正交变换的逆变换存在,且逆变换也是正交变,换。因此,由以上三个性质知道平面上全体正交点变换构成平,面上的一个变换群,称为,正交变换群,。,性质4,正交变换把直线变到直线,并保持共线三点P,Q,R的,简单比 不变,。其中PR，RQ表示有向线段,的有向长度(或代数长),即若在直线PQ上取一单位向量e ,则,证明,设P,Q是直线上不同的两点,那么它们的象P,Q也不,相同,于是决定一条直线,l,。对于直线l上任一点R,若 P,Q,R,按此顺序共线,则|PQ|+|QR|=|PR|.由正交变换的定义,R的象,R与P,Q有关系|PQ|+|QR|=|PR|.,因此R与P，Q共线,即R在l上.,由以上两式看出,正交变换保持直线上点的顺序不变,将有,向线段变成有向线段。即若 同向或反向时,则,也同向或反向。由此得,性质5,正交变换将平行直线变为平行直线，并保持相交直,线的交角不变,。请读者自证.,在平面上，对任一向量 ,以点O为原点，作 。,设正交变换把O，A分别变到O,令 ，则向量,只依赖于 而与O点的选取无关，原因是保持平行性和,保持距离不变。这一事实说明，诱导出平面上向量的一个,变换，使 变到 ,这个变换仍记为，称为,正交向量变,换,。设 与 是任意两个向量,。显然,即保持向量的内积不变。根据保持共线,三点的简单比,我们可从 推出 .又若 ,并且 ,由于把一个三角形变成一个与之全等的三,角形,又可得到 。简短地说,正交变换保持向量,的线性关系 不变。于是有,性质6,正交变换保持向量的内积不变,保持向量的线性关,系不变。,2.正交变换的坐标表示和基本定理,取平面直角坐标系 ,设正交变换将点P(x,y)变换,到P(x,y),则,下面来求x,y与x,y之间的关系。,根据性质6可知把直角坐标系 变到直角坐标,系 ,并且 ,即P在直角坐标系,下的坐标与P在直角坐标系 下的坐标一,致。,设,因为 是直角坐标系,所以过渡矩阵 是正,交矩阵。,于是得出正交变换的坐标表示,(2.2),其中,A=()是正交矩阵。,用矩阵形式表示，则（22）可写成,设 由性质6得,我们容易得到 之间的关系,（24）,考虑正交矩阵A的条件：,我们可设,将他们代入条件中的第三式得,因此,即,即(23)可写成,(2.5),或,(2.6),(2.5)表示平面上的运动,(2.6)表示平面上的反射,的乘积.由此得到,定理2.1,(,正交变换第一基本定理,),正交变换或者是运动,或,者是一个反射与一运动的乘积。有时前者称为,第一类正交,变换,后者称为,第二类正交变换,。,定理2.2,(,正交变换第二基本定理,),正交变换把直角坐标,系变到新的直角坐标系,并使每一点P在原系下的坐标与它的,象P关于新系下的坐标相同。反之,具有这种性质的变换是,正交变换,。,3 平面的仿射变换,比正交变换较为广泛的一种点变换就是本节将要讨论的,仿射变换。在这里为了简单起见,不同于前节用几何特征来定,义正交变换,我们直接用变换公式给出仿射变换的定义，并用,这公式研究仿射变换的一些性质。,1.仿射变换的定义和例子,定义3.1,平面的一个点变换，如果它在一个仿射坐标系,中的公式为,(3.1),其中系数矩阵A=是可逆的,即|A|0，则称是,平面的仿,射(点)变换,。,此定义与仿射坐标系的选取无关。,例3.1,2中用公式(2.5),(2.6)确定的正交变换是仿射变换。,例3.2,伸长或压缩(简称,伸缩,),是仿射变换。x轴上的每一点是它的不动点,平行于y轴的,直线都是它的不动直线(不动直线上的点不一定是不动点);它,是平行于y轴方向的伸长(k1)或压缩(k0,则称是,第一类,的;若|A|0,则称是,第二类,的。,定理3.4,平面上的任何一个仿射变换可分解为一,个正交变换与一个沿两个互相垂直方向伸缩的乘,积。,证明,任取一直角坐标系,由(3.1)给出的仿射变换,把单位圆 变为一个椭圆(图5.3),设它,的中心为O,而 是两条互相垂直的对称,轴(或主轴),记向量,将它们单位化,我们有仿射坐标系 与直角坐标系 。,又设在下,的原象为 ,即 ,由于椭圆的两条对称轴是互相共,轭的,即每一条对称轴的平行弦中点轨迹沿着另一条,的方向,而仿射变换保持共轭性不变(参见下一节),因此 与 也是单位圆上两个互相垂直的半径向量,故 为一直角坐标系。利用推论3.1，有,正交变换:,伸缩变换:,因此:,故=,即分解为正交变换与伸缩的乘,积。,4 二次曲线的度量分类与仿射分类,在,1872,年,德国数学家,F.Klein,提出了按变换群给各种几何学科进行分类的思想,对几何学的研究有很大的影响。对这一思想,我们将作一简单的介绍。以平面上二次曲线为研究对象,说明它在度量几何学,(,欧几里得几何学,),与仿射几何学中各是怎样分类的。,1.变换群与几何学科分类,由2和3中我们知道,平面上所有正交变换的集合构成,平面上的一个变换群,称之为平面上的,正交群,;平面上所有仿,射变换的集合也构成平面上的一个变换群,称之为,仿射群,.,如果变换群G中的一个子集H也构成一个变换群,则称H为G,的,子变换群,。由于正交变换也是仿射变换,所以正交群是仿射,群的子变换群。,另外,平面上绕原点的旋转变换的全体也构成群,称为平面上,的,旋转群,平面上的刚体运动的全体也构成群,称为平面上的,运动群,。以上变换群的关系为,旋转群 运动群 正交群 仿射群。,定义4.1,几何图形在正交变换下的不变性质(或几何量),称为图形的,度量性质,(或,正交不变量,),研究这些性质的几何,学称为,度量几何学,(即,欧几里得几何学,);几何图形在仿射变,换下的不变性质(或几何量)称为图形的,仿射性质,(或,仿射不,变量,),研究仿射性质的几何学称为,仿射几何学,。,由于正交群是仿射群的子变换群,所以仿射性质(仿射,不变量)也是度量性质(正交不变量)。但是反之,度量性质不,一定是仿射性质。,仿射性质,有共线、平行、相交、中心对,称等。,度量性质,有垂直、轴对称等。,仿射不变量,有共线三,点的简单比,代数曲线的次数等。,正交不变量,有两点间的距,离、两向量的夹角、图形的面积以及二次曲线的,等。,一般而言,仿射变换可以改变两点之间的距离、,两直线间的夹角,因此，关于距离、角度等的性质和,不变量就不是仿射性质和仿射不变量。,二次曲线直径的共轭性是仿射性质,理由如下:,首先在仿射变换下,二次曲线C的弦变成二次,曲线C的弦,C的平行弦变成C的平行弦;C的弦的,中点变成C 的弦的中点,所以如果l是C的直径,则,(,)=是 C的直径。,设 是C的一对共轭直径(此时假设C是中心曲,线),的方向为 。由于 的方向共轭于,的方向,所以有,设,则有,其中,B是仿射变换的系数矩阵。,于是,其中，是(C)=C的二次项(x,y),的矩阵,即,故 是C的一对共轭直径。,2.二次曲线的度量分类,经过平面上的一个正交变换或仿射变换,平面上的,一个图形变成另一图形,它们之间有什么样的关系呢?,为此给出如下定义。,定义4.2,如果有一个平面的正交变换把 变到 ,那么平面上的图形 称为,正交等价的,(或,度量,等价的,),记为 。,如果有一个平面的仿射变换将 变到 ，那么平,面上的图形 和 称为,仿射等价的,也记为 。,在此,图形看作由点组成的集合,所谓一变换把图形,变到 ,就是指这个变换引起集合 到 的一个双,射。,由于正交变换包含了刚体运动和反射,因此所谓两,个图形是正交等价的就是两个图形可以重合的意思。,不论是正交等价还是仿射等价都是图形间的一种,“,关系,”。由于正交变换的全体构成一个变换群,所以,作为一个“关系”来讲具有如下三个性质:,i,反身性,即 ;,ii,对称性,若 ,则 ;,iii,传递性,若 ,则 。,仿射等价这种“关系”也具有以上三个性质。具有以上,三个性质的“关系”称为,等价关系,。于是正交等价和仿射等价,的关系都是等价关系。,从每一图形C出发,考虑所有与C正交等价的图形,就得到,图形的一个集合，称为C的正交等价类，记为C。由于,C中任意两个图形都与C正交等价,根据对性和传递性,所,以它们也正交等价。这样,由正交等价的关系我们就把平面上,的图形分成了一些正交等价类，每一类中任意两个图形都正,交等价，而不同类中的图形都不正交等价。同样,根据仿射等,价的关系,把平面上的图形分成一些仿射等价类。由正交群,仿射群，从而每个正交等价类都包含在某一个仿射等价类中,作为它的一部分。,前一章中,我们用直角坐标变换,将二次曲线的方,程化简为九类。由于直角坐标变换和正交点变换的,公式在形式上是一致的,所以可以把直角坐标变换理,解为正交变换,在一个正交等价类中找出方程最简单,的曲线作为此,正交等价类的代表,。因此,可以将关于,二次曲线分类定理改述为关于二次曲线度量分类的,定理。,定理4.1,在直角坐标系中任意二次曲线度量(正交)等价于,下列曲线之一:,其中，a,b,p均为正数。,这九种曲线彼此不度量等价,且同一种方程表示的曲线,当系数不同时,它们也彼此不度量等价。因此,二次曲线共有,无穷多个度量等价类,。,3.二次曲线的仿射分类,定理4.2,在仿射坐标系中，任意二次曲线仿射等,价于下列曲线之一：,将定理4.1中的九种方程用仿射变换进一步简化就,得到定理4.2。,前五种方程作变换,对 作变换,对,这九种曲线彼此不仿射等价,但任一条二次曲线可,以仿射等价于其中之一。因此,二次曲线的仿射等价,类共有九个。,例4.1,证明:椭圆的任意一对共轭直径把椭圆的内部分成,四块面积相等的部分。,证明,任给一个椭圆C,任取它的一对共轭直径 和 。由,定理4.2知,椭圆C与单位圆 在同一个仿射类,中,所以存在仿射变换把C变到 。由于直径的共轭性是仿,射不变的，因此，把 ,变成 的一对共轭直径 和 。,设C的内部被 和 分成的四块是 (i=1,2,3,4),的内,部被 和 分成的相应四块是 (i=1,2,3,4),则显然有,(i=1,2,3,4)。因为圆 的共轭直径互相垂直,所,以 (i=1,2,3,4)的面积彼此相等。由 与 的面积之比,等于的变积系数(i=1,2,3,4),所以 (i=1,2,3,4)的面积也彼此相等。,5 空间的正交变换与仿射变换,与平面的情形一样,可以讨论空间的刚体运动、正交变换与仿射变换。由于证明的方法是类似的,所以对于某些结论不加以证明。,1.空间的正交变换,定义5.1,空间的一个点变换,如果保持点之间的距离不变,称之为,正交(点)变换,(或,等距变换,)。,例5.1,空间中取定一点O,取定一向量 ,对于任意一点P,规定它在映射下的像P满足,则称是沿方向 的平移。易见平移保持点之间的距离不变,因此,平移是正交变换。,例5.2,空间中所有点绕一定直线的旋转是正交变换。,例5.3,取定一平面,设映射把空间中每一个点对应到它,关于平面的对称点,则称为关于平面的,镜面反射,简称,反射,镜面反射是正交变换。,空间的正交变换的性质有:,性质1,恒等变换是正交变换。,性质2,正交变换的乘积是正交变换。,性质3,正交变换是双射,正交变换的逆变换是正交变换。,由以上三个性质得,空间的正交变换的全体组成的集合是空,间的一个变换群,称为空间的,正交变换群,简称为,正交群,。由,正交点变换诱导的正交向量变换有如下性质:,性质4,正交变换保持向量的内积不变,保持向量的线性关系,不变。,由性质4很容易得到,性质5,正交变换将直线变成直线,并保持共线三点的简单比,不变。,性质6,正交变换将平面变成平面，将相交平面变成相交平,面，将平行平面变成平行平面。,定理5.1,正交变换将直角标架变成直角标架,且使,任一点P的坐标等于(P)的坐标。反之,具有此性质的点,变换一定是正交变换。,定理5.2,空间的正交(点)变换在一直角坐标系中的公式,为,(5.3),其中，是正交矩阵。,反之,如果空间的一个点变换在一个直角坐标系中的公式,为(5.3),且系数矩阵 是正交矩阵,则是正交(点)变,换。,定义5.2,空间的正交变换,若它在直角坐标系中的公式的,系数矩阵A的行列式|A|=+1,则称是,第一类,的；若|A|=-1,则,称是,第二类,的。,设是例5.2中转角为的旋转。以l为z轴建立直角坐标系,=,把变成直角坐标系=,则有,因此从到的坐标变换公式为,空间中任取一点P,设P的坐标为(x,y,z),(P)=P 的坐,标为(x,y,z)。由定理5.1,P的坐标为(x,y,z)。对P 应,用公式(5.4)得,现在把公式(5.5)的右端的(x,y,z)理解为P的坐标,则(5.5),就是旋转在直角坐标系中的公式。易见是第一类的。,设是例5.3中的反射,以为xOy面建立一直角坐标系,则,的公式为,易知反射是第二类的。,命题5.1,若是第一类正交变换,且保持原点不动,则必,定是绕过原点的某一条定直线的旋转。,命题5.2,若是第二类正交变换,且保持原点不动,则必,是一个镜面反射,或是一个镜面反射与一个绕定直线的旋转的,乘积。,以上证明略。,空间的(刚体)运动是平移，或绕定直线的旋转，或它们的,乘积,。,于是由以上两个命题得,定理5.3,空间的正交变换或者是运动，或者是一个运动与,一个镜面反射的乘积,。,12/18/2024,55,2.空间的仿射变换,定义5.3,空间的一个点变换,如果在一个仿射,坐标系中的公式为,其中系数矩阵A是可逆的,则称是空间的,仿射,点变换,。,此定义与仿射坐标系的选择无关。,空间的仿射变换的性质,有:,(1)恒等变换是仿射变换;,(2)两个仿射变换的乘积仍然是仿射变换;,(3)仿射变换是双射,它的逆变换是仿射变换;,(4)仿射点变换诱导的仿射向量变换保持向量的线性关系不变；,(5)仿射变换把直线变成直线,且保持共线三点的简单比不变;,(6)仿射变换把平面变成平面，相交平面变成相交平面，平行平面变成平行平面。,由性质(1)、(2)、(3)知道,空间的仿射变换的全体组成的集,合是空间的一个变换群,称为,仿射变换群,简称,仿射群,。,定理5.4,仿射变换将一个仿射标架变成仿射,标架,且任一点P的坐标等于(P)=P的坐,标。反之,具有此性质的空间的点变换是仿射变换。,定理5.5,空间的任何一个仿射变换可分解为一个,正交变换与一个沿三个互相垂直方向伸缩的乘积。,定理5.6,设仿射变换由公式(5.7)给出,则按,同一比值(|A|的绝对值)改变任意空间区域的体积。,其证明思路与定理3.3的证明一样,只要将三角形的,面积改成平行六面体的体积。,3.二次曲面的度量分类与仿射分类,在第四章中,我们用直角坐标变换将二次曲面的,一般方程化简，得到17种曲面的结论。由于直角,坐标变换公式和正交变换公式的形式是一样的,所以,我们可以将二次曲面分类定理改述为二次曲面的度,量分类定理。,定理5.7,在直角坐标系中任意二次曲面度量等价,于下列曲面之一:,其中，a,b,c,p均为正数。这17种二次曲面彼此不度,量等价,且同一种方程表示的曲面如果系数有不同时,它们也不度量等价。因此,二次曲面共有无穷多个度,量等价类,。,在定理5.7的各方程中,再进行一适当的仿射变换，,就可得到二次曲面的仿射分类定理。,定理5.8,二次曲面仿射等价于下列曲面之一:,