应用题(江苏版).doc

例1 【2013江苏高考】如图，旅客从某旅游区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到
，另一种从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.
现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为 m/min，在甲出发2 min后，乙从
乘缆车到，在处停留1 min后，再从匀速步行到. 假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，
山路长1260 m ，经测量，，.
（1）求索道的长；
（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

[答案] （1）1040，（2），（3）.

设乙步行的速度为m/min，由题意，，解得，
∴为使两游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在（单位：m/min）范围内.
例2 【2012江苏高考】如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，
炮弹可以击中它？请说明理由．

【答案】（1）10. （2）6.

例3 【2011江苏高考】请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D四个点重合与图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒。E,F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设。
（1）某广告商要求包装盒的侧面积S最大，试问应取何值？
（2）某厂商要求包装盒的容积V最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。

【答案】（1）. （2）.

在江苏近几年的高考中，主要考查根据题意建立函数关系式进而研究函数的最值或其他相关问题. 11年主要根据图形（平面或空间）建立函数关系，12年在实际背景下研究与含参数二次函数有解、最值问题. 13年在三角形背景下研究二次函数有解、最值问题.共同点是给出函数自变量，因此考查应用题，主要考查学生变量意识.

1.预计14年考查函数不等式应用题的可能性较大，主要考查建立函数关系式，进而求函数的最值.
2. 在2014年的备考中，需要重点关注以下几方面问题：
①掌握常见函数如二次函数、三次函数、有理分式函数（尤其二次分式函数）、无理函数等最值的求法，用导数求函数最值要引起重视；
②加强阅读理解能力的培养，对图形的辨认、识别、分析寻找等量关系式的训练要加强；
③对于由图标(尤其表格)给出的函数应用题的训练要重视；
④应用题的背景图形可能由平面多边形、空间多面体转为由平面曲线，如圆，抛物线等围成的图形；空间旋转体等的面积、体积的最值问题
⑤熟悉应用题的解题过程：读题、建模、求解、评价、作答.
3. 解答应用题需注意四点.第一、划分题目的层次。鉴于应用题题目篇幅长，信息容量大，阅读时有必要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系;第二、领悟关键词语。题目中难免出现一些专业术语或新名词，有的词语采用即时定义来解释，认真阅读，认真领会即时定义的内涵和外延，是解决问题的关键;第三、弄清题图联系。认真阅读题目，弄清题目条件与图形元素间的对应关系，也是审题过程中不可缺少的环节;第四、重视条件转译。将题设材料呈现的文字语言、图形语言转化为符号语言。准确的条件转译是解应用题分析联想转化的关键步骤。

[来源:学科网ZXXK]

1.. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】 提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．研究表明：当50＜x≤200时，车流速度v与车流密度x满足．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．
（Ⅰ）当0<x≤200时，求函数v(x)的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位：
辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到个位，参考数据）
【答案】(1) ; (2)当车流密度为 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 辆/小时．　
【解析】

取等号当且仅当，即时， 取最大值．
（这里也可利用求导来求最大值）
综上，当车流密度为 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 辆/小时．　
2．【苏北四市2014届高三第一次质量检测】 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）．
（1）求关于的函数关系式；
（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？

【答案】（1）；（2）1.
【解析】

3. 【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
【答案】（1）40元；（2）至少应达到10.2万件，每件定价为30元．
【解析】
所以的范围是不小于的最小值．
试题解析：（1）设每件定价为元，依题意，有，

4. 【苏州市2014届高三调研测试】 甲、乙两地相距1000，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的倍，固定成本为a元．
（1）将全程运输成本y（元）表示为速度v（）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？
【答案】(1) , (2) 当（元）时，；当（元）时，.
【解析】

，即 ………………4分
定义域为 ………………5分
（2）
令得………………7分
因为
所以当即时，为的减函数，
在时，最小. ………9分

5. 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】如图，现要在边长为的正方形内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为（不小于）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于，绕岛行驶的路宽均不小于.
（1）求的取值范围；（运算中取）
（2）若中间草地的造价为元，四个花坛的造价为元，其余区域的造价为元，当取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？

【答案】(1) ,(2) .
【解析】
试题分析：（1）根据半径、岛口宽、路宽限制学科网条件列方程组，即可得的取值范围；（2）根据草地、花坛、其余区域的造价列函数关系式，再由导数求最值.
[来源:学§科§网]

， …………10分
令，则，

6. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】 如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数的图象，且点M到边OA距离为．
（1）当时，求直路所在的直线方程；
（2）当为何值时，地块OABC在直路不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？

【答案】（1）；（2）时，.
【解析】
试题分析：（1）点M到边OA距离为，则可设，当时，求切线的方程是一个常规问题，切线的斜率是处的导数，易求出直线的点斜式方程；（2）要求不含泳池一侧的面积，就是要把这个
7. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数与第x天近似地满足（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费近似地满足（元）．
（1） 求该村的第x天的旅游收入（单位千元，1≤x≤30，）的函数关系；
（2） 若以最低日收入的20％作为每一天的计量依据，并以纯收入的5％的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？
【答案】（1）；（2）能收回投资．
【解析】
试题分析：（1）函数应用题关键是找到等量关系，函数关系，不等关系，列出相应的式子就可解题，一般情况下，这些关系式在题中都有提示，但有时我们也要注意生活中的常识，如本题中某天的旅游收入应该
(2) 当，时，
(当且仅当时，等号成立) . [来源:Zxxk.Com]

8. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明， 声音强度（分贝）由公式(为非零常数)给出，其中为声音能量.
（1）当声音强度满足时，求对应的声音能量满足的等量关系式；
（2）当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝~120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.
【答案】(1) ；(2) ．
【解析】

（2）由题意得

答：当声音能量时，人会暂时性失聪.
9. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】某种海洋生物身体的长度（单位：米）与生长年限t（单位：年）满足如下的函数关系：.（设该生物出生时t=0）
（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；
（2）设出生后第年，该生物长得最快，求的值.
【答案】（1）6年；（2）4或5．
【解析】

，…………8分
令，则，
令，…………11分
等号当且仅当即，，时成立，因为，因此可能值为4或5，由知，所求有学科网年份为第4年和第5年，两年内各生长了米．………14分
10. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米,滴管内液体忽略不计.
（1）如果瓶内的药液恰好分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？
（2）在条件(1)下,设输液开始后（单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为（单位：厘米），已知当时，.试将表示为的函数.（注）
【答案】（1）75；（2）．
【解析】
试题分析：（1）这主要是考查球的体积和圆柱的体积公式，我们只要计算出输液瓶内液体的体积（两个圆柱的体积之和），就可以得出1分钟需要滴下的液体的体积，而每滴液体的体积（实际上是球的体积）计算出来后，就可得出1分钟内应该滴几滴了；（2）由（1）很容
11. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】某企业生产某种商品吨，此时所需生产费用为（）万元，当出售这种商品时，每吨价格为万元，这里（为常数，）
（1）为了使这种商品的生产费用平均每吨最低，那么这种商品的产量应为多少吨？
（2）如果生产出来的商品能全部卖完，当产量是120吨时企业利润最大，此时出售价格是每吨160万元，求的值．
【答案】（1）100吨；（2）．
【解析】

由题意可知y=;（5分）
当且仅当时等号成立，（6分）
所以这种商品的产量应为100吨．（7分）
（2）设企业的利润为S元，有题意可知（7分）

= （3分）
又由题意可知120 （5分）
（6分）
（7分）

12. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】上海某化学试剂厂以x 千克/小时的速度生产某种产品（生产条件要求），为了保证产品的质量，需要一边生产一边运输，这样按照目前的市场价格，每小时可获得利润是元.
(1)要使生产运输该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
(2)要使生产运输900千克该产品获得的利润最大，问：该工厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.
【答案】（1）；（2）以每小时6千克的速度能获得最大利润，最大利润为457500元.
【解析】

13. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图：点A、B、C分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点C在点A的北偏东47°方向，点B在点C的南偏西36°方向，点B在点A的南偏东79°方向，且A、B两点的距离约为3海里.
（1）求A、C两点间的距离；（精确到0.01）
（2）某一时刻，我国一渔船在A点处因故障抛锚发出求救信号.一艘R国舰艇正从点C正东10海里的点P处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为PCA（直线行进），而我东海某渔政船正位于点A南偏西60°方向20海里的点Q处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点M处，再折向点A直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于R国舰艇赶到进行救助？说明理由．

【答案】(1)14.25海里；（2）渔政船能先于R国舰艇赶到进行救助．
【解析】
试题分析：（1）这是解三角形问题，图形中，已知，要求，因此由正弦定理知应该知道它们所对的两角，由题中已知的三个方位角，可求出，，，故易求得结论；（2）只要求出两船到达点的时间即可，国舰艇路程为，我渔政船路程为，这里要在中求出，已知，因此应用余弦定理可求出，从
14. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】为了减少放射性污染对人体的影响，某市环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻（时）的关系为，其中是与气象有关的参数，且，若用每天的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作．
（1）令，，求的取值范围；
（2）国家环保局规定，每天的综合放射性污染指数不得超过，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？
【命题意图】本题考查不等式，分段函数，函数的定义域与值域，函数的性质等知识 ，意在考查学生的抽象概括能力，运算求解能力．
解：（1）当时，
当时，

当时，，
当时，，当时，．
∴当且仅当时， ，
故当时不超标．　 ……………………14分
15. 【2014南京盐城高三数学二模数学试卷】如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．

【答案】设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．
【解析】
＝sin2(120°－θ)＋4－2×2× sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分
＝sin2(θ＋60°)－ sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4
＝[1－cos (2θ＋120°)]－ sin(2θ＋120°)＋4
＝－[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋
＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． …………………………………………12分
当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．
答：设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分

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