北京试题点评.doc

“剖析压轴题，改编更精彩”
创新与应用，是人类的灵魂
——2013年北京中考试题第25题

江苏省启东中学 张 杰
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新课改后的中考试题，重点突出了对数学基础知识、基本技能、基本思想方法及基本生活经验的考查, 压轴题通常以“实践与操作，综合与探究，创新与应用”为命题原则，考查学生的潜在能力，本文就北京市2013年压轴题作如下改编：
原题：（2013北京25）对于平面直角坐标系O中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C 的关联点。
已知点D（，），E（0，-2），F（，0）
（1）当⊙O的半径为1时，①在点D，E，F中，⊙O的关联点是__________；
②过点F作直线交轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直
线上的点P（，）是⊙O的关联点，求的取值范围；
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径
的取值范围。
规范解答： (1) ①；
② 由题意可知，若点要刚好是圆的关联点，则点到圆的两条切线和之间所夹的角度为，由图可知，则，连接，
则，∴若点为圆的关联点；则需点到圆心的距离满足；
由上述证明可知，考虑临界位置的点，如图2；
点到原点的距离，过作轴的垂线，垂足为，，∴，
∴，∴
∴，易得点与点重合，过作轴于点，易得，∴，从而若点为圆的关联点，则点必在线段上，∴；
(2) 若线段上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段的中点，
考虑临界情况，如图3，即恰好点为圆的关联时，则，∴此时，故若线段上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径的取值范围为.
点评：本题综合考查圆中的位置关系、解直角三角形等相关知识。
知识要点是：（1）从圆外一点引圆的两条切线长相等，此点与圆心的连线平分两切线的夹角；（2）特殊角的三角函数值。
考查的思想方法有：转化与化归思想、数形结合思想。
难点：把“新定义”通过知识正迁移到已学知识。
突破口是通过对第（1）小题①问的回答，猜想点P满足的大致条件，然后根据“极端有理”证之。
改编之一：同原题，增补第（3）问：
实践与应用：某地区周围半径为10km的范围内发生疫情，而所有“关联点”的区域受到影响，在该区域旁边有一条笔直的高速公路，离疫情中心的最短距离是km，试问公路上行驶的汽车是否受到影响？若在此区域停留时间超过分钟时，就有可能感染，试求汽车至少以多少速度行驶，才能不受到感染。
说明：此原题似乎是意犹未尽，再增加上述小题，显得更为实用。本小题考查垂径定理、行程问题。
答案：根据原题的探究过程可知，受到影响的区域是一个半径为20km的圆形内，故此公路上行驶的汽车一定受到影响，可计算知弦长为20km，从而所求速度是。
改编之二：
阅读理解
对于平面直角坐标系O中的点P和线段AB，给出如下定义：若，称点P是线段AB的“友好点”。
已知线段AB的端点坐标分别为A（1，0）和B（5，0），
①在点、、中，线段AB的“友好点”是 ；
②若直线上存在着线段AB的“友好点”， 求的取值范围；
③若直线上存在着线段AB的“友好点”， 直接写出的取值范围。
灵活应用
某海军部队在祖国领海进行军事演习，靶场设在长10海里宽海里的条形区域内，若将其视为一线段，且由“友好点”组成的区域是“危险区”，试求“危险区”面积。
说明：本题与原题十分相似，也是要求学生正确理解“友好点”的定义，从而考查“同弧所对的圆周角相等”、“ 三角形外接圆半径”计算方法、直线与圆的位置关系等知识。
答案：根据定义可知，线段AB的“友好点”在以AB为弦、所含圆周角等于的两段优弧及弧内部，又弧所在圆的半径是，圆心坐标为，由此得知：
阅读理解：①D、E；②；③
灵活应用：

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