2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷).doc

绝密★启用前
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1. 本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题 - 第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．
4. 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．
2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学I

参考公式：
圆柱的体积公式：，其中为圆柱的表面积，为高.
圆锥的体积公式：，其中为圆锥的底面积，为高.
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上．

While

End While
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1. 已知集合，，则集合中元素的个数为 ▲ ．
2. 已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6，则这组数据的平均数为 ▲ ．
3. 设复数满足（是虚数单位），则的模为 ▲ ．
4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 ▲ ．
5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄
球. 从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ ．
6. 已知向量a=，b=, 若ma+nb=(), 的值为 ▲ ．
7. 不等式的解集为 ▲ ．
8. 已知，，则的值为 ▲ ．
9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个. 若将它们重新制作成总体积和高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ▲ ．
10. 在平面直角坐标系xOy中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ．
11. 设数列满足，且(), 则数列前10项的和为
▲ ．
12. 在平面直角坐标系xOy中，为双曲线右支上的一个动点，若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为 ▲ ．
13. 已知函数， 则方程实
根的个数为 ▲ ．
14. 设向量a=()，()，则的值为
▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在中，已知.
（1）求的长；
（2）求的值.
A
B
C
D
E
A1
B1
C1

16．（本题满分14分）
如图，在直三棱柱中，已知，
，设的中点为，.
求证：（1）；
（2）.
17.（本小题满分14分）
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建
一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边
界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到
的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以
M
N
l2
l1
x
y
O
C
P
l
所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数
（其中a，b为常数）模型.
（1）求a，b的值；
（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.

18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于
B
A
O
x
y
l
P
C
点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.

19.（本小题满分16分）
已知函数.
（1）试讨论的单调性；
（2）若（实数c是a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a
的取值范围恰好是，求c的值.

20.（本小题满分16分）
设是各项为正数且公差为d的等差数列
（1）证明：依次成等比数列；
（2）是否存在，使得依次成等比数列，并说明理由；
（3）是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说
明理由.

★ 启用前绝密
2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A、B、C、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回.
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．
4. 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
数学II
21．【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A.（选修4—1：几何证明选讲）
如图，在中，，的外接圆圆O的弦交于点D
求证：∽
A
B
C
E
D

O
（第21——A题）

B．（选修4—2：矩阵与变换）
已知，向量是矩阵的属性特征值的一个特征向量，矩阵以及它的另一个特征值.
C．（选修4—4：坐标系与参数方程）
已知圆C的极坐标方程为，求圆C的半径.

D.（选修4—5：不等式选讲）
解不等式

【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题卡的指定区域内.
22．（本小题满分10分）
如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯
形，,
（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；
（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长
P
A
B
C
D
Q

23．（本小题满分10分）
已知集合，，
，令表示集合所含元素的个数.
（1）写出的值；
（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明.

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