二次函数知识树.doc

二次函数的知识树
二次函数 
I.定义与定义表达式 
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： 
y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 
则称y为x的二次函数。 
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 
II.二次函数的三种表达式 
一般式：y=ax²;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 
顶点式：y=a(x-h)²;+k [抛物线的顶点P（h，k）] 
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] 
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: 
h=-b/2a k=(4ac-b²;)/4a x1,x2=(-b±√b²;-4ac)/2a 
III.二次函数的图象 
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x??的图象， 
可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。 
IV.抛物线的性质 
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 
x = -b/2a。 
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 
2.抛物线有一个顶点P，坐标为 
P [ -b/2a ，(4ac-b²;)/4a ]。 
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b²-4ac=0时，P在x轴上。 
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 
|a|越大，则抛物线的开口越小。 
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。 
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 
抛物线与y轴交于（0，c） 
6.抛物线与x轴交点个数 
Δ= b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 
Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 
Δ= b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。 
V.二次函数与一元二次方程 
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²;+bx+c， 
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 
即ax²;+bx+c=0 
此时，函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。 
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。