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《高中函数万能解题套路》在一元二次方程根的分布中的应用
摘自《高中函数万能解题套路》（罗荷玉著）
例：已知函数，且在中存在，使得，求的取值范围。
说明：在很多参考书上，此种类型的题目被命名为一元二次方程根的分布问题，也叫一元二次函数零点分布问题，是高考和竞赛经常涉及到的内容。这类问题是指当方程（相当于）的根、呈某种分布时，如当时，函数的系数、、具有什么特征。一般的参考书将这种问题归结为10种类型，其中“0分布”4种，“分布”6种（有兴趣的读者可参阅有关资料）。
本质上，对这种问题最自然的想法是，用求根公式把、的值求出来，然后代入题目条件解不等式或不等式组，如当时，有不等式组：

然而，求解这种无理不等式是很麻烦的。那么，如何才能化解这种困境呢？事实上，如果回顾本章所归纳的解题思想和方法，就可以知道，这是典型的“比较大小的问题”。
我们知道，对方程来说，不管其根、的值有多复杂，都必然分别分布在函数的两个不同单调区间上，且恒有。如按以上套路的转化思想，当时，必然有。这样，根据函数的单调性，五个量、、、、之间的关系就可以转化为、、、、之间的关系，又，即转化为、、与0的关系。
下一步就是如何确定函数的单调区间了。我们知道，一元二次函数的单调区间由其开口（二次项系数）和对称轴决定，而对称轴又与二次项系数有着关联，于是，按套路的基本操作步骤，我们在讨论该函数单调性的基础上得出如下解题步骤：
步骤一：以原方程为基础，构造一元二次函数，如根据，构造函数；
步骤二：根据对称轴与参数、的位置关系列表，并求出相应的二次项系数的取值范围；
对称轴

二次项系数

步骤三：结合二次项系数与对称轴的位置情况对问题进行分类讨论（如果同样的对称轴位置，对应着的二次项系数却有着、两种情况，则按、分别讨论之）；
步骤四：对每一种情况，根据参数、所处的单调区间，确定、、与0的关系式。
解：由已知有，要存在，使得
即要存在，使得
也即要存在，使得
令
当时
，满足题意。
当时
对称轴

二次项系数

或
⑴ 当时，，在上单调递减，此时要存在，使得
即要
∴满足题意
⑵ 当时，，在上单调递减，此时要存在，使得
即要（舍）
⑶ 当时，，在上单调递减，在上单调递增，此时要存在，使得
即要
∴满足题意
⑷ 当时，，在上单调递增，在上单调递减，此时要存在，使得
即要（舍）
综上所述，满足题意的的取值范围为。
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