专题八平面解析几何——直线与圆学生版.doc

第十一节——直线和圆
【考点整合及典例分析】
考点1.直线的倾斜角与斜率：
①倾斜角
（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0；
（2）倾斜角的范围.
②斜率
（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，即＝tan(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；
（2）斜率公式：经过两点、的直线的斜率为；
【例1】直线的倾斜角的范围是____

变式1、过点的直线的倾斜角的范围值的范围是__ _

【例2】实数满足 ()，则的最大值、最小值分别为____

考点2.直线的方程：
名
称
方程形式
常数意义
适用范围
备注
点
斜
y-y0=k(x-x0)
k斜率,(x0,y0)线上定点
k存在
k不存在时 x= x0
斜
截
y=kx+b
k斜率,b为y轴上截距
k存在
k不存在时 x= x0
两
点

(x1,y1), (x2,y2)是线上两定点且(x1≠x2 ,y1≠,y2),
不垂直x,y轴
x1=x2时x=x1
y1=,y2时y=,y1
截
距

,b 分别为x,y轴上截距
不垂直x,y轴和过原点
=b=0时y=kx
一
般
式
Ax+By+C=0
A,B不同时为0
任意直线
A,B,C为0时,直线的特点
【例3】直线Ax+By-1=0在y轴上的截距是-1,而且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，所求直线方程为 。

【例4】直线过点M（2，1）且分别与x、y正半轴交于A、B两点，O为原点.
（1） 当AOB面积最小时，求直线的方程；
（2） 当|MA|·|MB|取最小值时，求直线的方程.

变式2、过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有__ _条

设直线方程的一些常用技巧：
（1）知直线纵截距，常设其方程为；
（2）知直线过点，当斜率存在时，常设其方程为，当斜率不存在时，则其方程为；
（3）与直线平行的直线可表示为；
（4）与直线垂直的直线可表示为.
考点3、点到直线的距离及两平行直线间的距离：
（1）点到直线的距离；
（2）两平行线间的距离为.
【例5】设M（1，2）是一个定点，过M作两条相互垂直的直线，，设原点到直线，的距离分别为，，则的最大值是

考点4、直线与直线的位置关系：
（1）平行（斜率）且（在轴上截距）；
（2）相交；
（3）重合且.
（4）垂直.
【例6】设直线和，当＝_______时∥；当＝________时；当_________时与相交；当＝_________时与重合

变式3、已知直线的方程为，则与平行，且过点（—1，3）的直线方程是______

【例8】两条直线与相交于第一象限，则实数的取值范围是____

【例9】设分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线与的位置关系是____

变式4、中，A、B、C所对的边长分别为a,b,c且成等差数列，那
么直线与直线的位置关系是____

【例10】已知点是直线上一点，是直线外一点，则方程＝0所表示的直线与的关系是____
【例11】直线过点（１，０），且被两平行直线和所截得的线段长为9，则直线的方程是_____

考点5、对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：
【例12】已知一束光线通过点A（－3，5），经直线:3x－4y+4=0反射.如果反射光线通过点B（2，15），则反射光线所在直线的方程是____

【例13】已知ΔABC顶点A(3，－１)，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y－59=0，∠B的平分线所在的方程为x－4y+10=0，求BC边所在的直线方程

变式5、点A（4，5）关于直线的对称点为B(－2,7)，则的方程是____

【例14】直线2x―y―4=0上有一点Ｐ，它与两定点A（4,－1）、B（3,4）的距离之差最大，则P的坐标是____

【例15】已知轴，，C（2，1），周长的最小值为____ .

考点6、圆的方程：
⑴圆的标准方程：.
⑵圆的一般方程：，
特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆（二元二次方程表示圆的充要条件是什么？ （且且））；
⑶圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为.圆的参数方程的主要应用是三角换元：；
.
⑷为直径端点的圆方程
【例16】圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为____________

变式6、圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________

【例17】已知是圆（为参数，上的点，则圆的普通方程为________，P点对应的值为_______，过P点的圆的切线方程是___________

【例18】如果直线将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么的斜率的取值范围是____

变式7、方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____

【例19】若（为参数，，，若，则b的取值范围是____

考点7、点与圆的位置关系：已知点及圆，（1）点M在圆C外；（2）点M在圆C内
；（3）点M在圆C上
.
【例20】点P(5a+1,12a)在圆(x－１)２＋y2=1的内部,则a的取值范围是____

考点8、直线与圆的位置关系：直线和圆
有相交、相离、相切.可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：相交；相离；相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为，则相交；相离；相切
【例21】圆与直线，的位置关系为____

变式8、若直线与圆切于点，则的值____

【例22】直线被曲线所截得的弦长等于____

【例23】一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是____

变式9、若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是

【例24】已知圆C：，直线L：.①求证：对，直线L与圆C总有两个不同的交点；②设L与圆C交于A、B两点，若，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.

变式10、已知圆O：和点M（1，a）
（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线的方程
（2）若，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求AC+BD的最大值

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