2014世纪金榜单元评估检测(三).doc

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单元评估检测（三）
第三章
(120分钟　160分)
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在题中横线上)
1.已知角α是第二象限角,角α的终边经过点P(x,4),且cosα=,则tanα=　　　　.
2.在△ABC中,已知B=60°且b=,则△ABC外接圆的面积是　　　　.
3.要得到y=cos2x的图象,只要将y=sin(2x+)的图象向右平移最少　　　　个单位长度.
4.(2013·常州模拟)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=3,C=,a=2b,则b的值为　　　　.
5.(2013·连云港模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=　　　　.
6.若α∈(0,),且sin2α+cos 2α=,则tanα的值等于　　　　.
7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则f(x)=　　　　　　.

8.(2012·陕西高考)在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若a=2,B=,c=2,则b=　　　　.
9.(2012·宿迁模拟)函数y=sin4x+cos4x的单调增区间为　　　　　　.
10.在△ABC中,若则△ABC的形状是　　　　三角形.
11.如图所示,为测一树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树顶的仰角为30°,45°,且A,B两点间的距离为60m,则树的高度为　　　　.

12.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象如图
所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 012)=　　　　.
13.(2013·徐州模拟)若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合,则称这两个函数为“同形”函数.给出下列四个函数:
①f1(x)=sinx+cosx;②f2(x)=sinx+;③f3(x)=sinx;
④f4(x)=(sinx+cosx),其中“同形”函数有　　　　　.
14.(能力挑战题)给出命题:
①若函数y=f(2x-1)为偶函数,则y=f(2x)的图象关于x=对称;
②把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位得到y=3sin2x的图象;
③函数y=2cos(2x+)的图象关于点(,0)对称;
④函数y=sin|x|是周期函数,且周期为2π;
⑤△ABC中,若sin A,sin B,sin C成等差数列,则B∈(0,].
其中所有正确命题的序号是　　　　　.
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(14分)设函数f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为.
(1)求ω的值.
(2)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移个单位得到的,求y=g(x)的单调增区间.
16.(14分)已知求sin α的值.
17.(14分)(2012·辽宁高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,角
A,B,C成等差数列.
(1)求cosB的值.
(2)边a,b,c成等比数列,求sin Asin C的值.
18.(16分)(2013·南通模拟)已知a=(sinα,cosα),b=(6sinα+cosα,7sinα-2cosα),设函数f(α)=a·b.
(1)求函数f(α)的最大值.
(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,f(A)=6,且△ABC的面积为3,b+c=2+3,求a的值.
19.(16分)(能力挑战题)已知向量a=(1,sinx),b=(cos(2x+),sinx),函数f(x)=a·b.
(1)求函数f(x)的解析式及其单调增区间.
(2)在△ABC中,角C为钝角,若求△ABC的面积.
20.(16分)(能力挑战题)以40千米/时的速度向北偏东30°航行的科学探测船上释放了一个探测气球,气球顺风向正东飘去,3分钟后气球上升到1千米处,从探测船上观察气球,仰角为30°,求气球的水平飘移速度.

答案解析
1.【解析】由α是第二象限角,终边过点P(x,4)可知x<0,又cosα=,故x2+42=52,解得x=-3,
所以tanα=
答案:
2.【思路点拨】利用正弦定理得外接圆半径,可求面积.
【解析】由
故R=1,
∴△ABC外接圆面积为πR2=π.
答案:π
3.【解析】由y=cos2x=sin(2x+)=sin(2x++)=sin[2(x+)+],
故只需将y=sin(2x+)左移个单位.
又∵周期T=π,故左移与右移的结果相同,故右移最少个单位.
答案:
【一题多解】由y=cos2x=sin(2x+)=sin(2x+-2π)=sin(2x-)
=sin(2x-+)=sin[2(x-)+],故只需将y=sin(2x+)右移个单位即可.
答案:
4.【解析】由余弦定理可知,
c2=a2+b2-2abcosC,
即a2+b2-2ab×=9,a=2b,
故4b2+b2-2b2=9,
即3b2=9,得b=.
答案:
5.【解析】由已知acos B-bcos A=c可得,
sin Acos B-sin Bcos A=sin C=sin(A+B),
即sin Acos B-sin Bcos A=(sin Acos B+cos Asin B),
即2sin Acos B=8cos Asin B,
即
答案:4
6.【解析】由已知得sin2α+1-2sin2α=,
故sin2α=,
又∵α∈(0, ),∴sinα=,∴α=,
故tanα=.
答案:
【变式备选】(2013·唐山模拟)已知α是第二象限角,且sin(π+α)=-,则
tan 2α=　　　　.
【解析】由sin(π+α)=-得sinα=,
又α为第二象限角,
故cosα=-,所以tanα=-,
而
答案:
7.【解析】由图象可知
∴T=π,
又∵|φ|<,∴当x=时,2x+φ=π,
∴2×+φ=π,
∴φ=π-=,
∴f(x)=sin(2x+)
答案:sin(2x+)
8.【思路点拨】已知两边及其夹角,用余弦定理可求第三边.
【解析】由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos B=4+12-2×2×2cos=16-12=4,
∴b=2.
答案:2
9.【解析】y=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x

答案:
10.【解析】由得
2cos Acos B=1-cosC=1+cos(A+B),
即2cos Acos B=1+cos Acos B-sin Asin B
即cos Acos B+sin Asin B=1,
即cos(A-B)=1,
又∵A,B为△ABC的内角,
故A-B=0,故A=B.
因而△ABC是等腰三角形.
答案:等腰
11.【解析】在△PAB中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60m,
sin15°=sin(45°-30°)
=sin 45°cos30°-cos45°sin30°

答案:
12.【解析】由图象知,A=2,
φ=2kπ(k∈Z),ω==,
∴f(x)=2sin(x+2kπ)=2sin,其图象关于(4,0),x=2,x=6对称知,
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=0,
∵T=8,2 012=251×8+4,
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 012)
=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)
=2(sin+sin+sin+sin)=2+2.
答案:2+2
13.【解析】化简①得f1(x)=sin(x+),
②f2(x)=sin x+,
③f3(x)=sin x,
化简④得f4(x)=2sin(x+),
因为只有①②振幅相同,通过平移可重合.
答案:①②
14.【解析】①若y=f(2x-1)为偶函数,则y=f(2x-1)的图象关于y轴对称,
将y=f(2x-1)的图象左移单位得y=f(2(x+)-1)=f(2x)即y=f(2x)关于x=-对称,故①错.
②中y=3sin(2x+)的图象右移个单位得y=3sin[2(x-)+]=3sin2x的图象,故②正确.
③中当x=时,2x+=2×+=,
此时2cos(2x+)=0,故③正确.
④中由y=sin|x|的图象可知,它不是周期函数,故④错.
⑤中sin A,sin B,sin C成等差数列,
则2sin B=sin A+sin C,
即2b=a+c.

故⑤正确.
答案:②③⑤
15.【解析】(1)f(x)=sin2ωx+cos2ωx+2sinωxcosωx+2cos2ωx=sin 2ωx+
cos 2ωx+2=sin(2ωx+)+2,
依题意得=,故ω=.
(2)依题意得:g(x)=sin[3(x-)+]+2
=sin(3x-)+2,
令2kπ-≤3x-≤2kπ+(k∈Z),
解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
故y=g(x)的单调增区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).
16.【思路点拨】由sin(2α-β)可得cos(2α-β),结合sinβ可求cos 2α,再利用倍角公式求sinα,注意角的范围.
【解析】∵<α<π,∴π<2α<2π.
又-<β<0,∴0<-β<.
∴π<2α-β<.
而sin(2α-β)=>0,∴2π<2α-β<,
cos(2α-β)=.
又-<β<0且sinβ=-,∴cosβ=,
∴cos 2α=cos[(2α-β)+β]
=cos(2α-β)cosβ-sin(2α-β)sinβ
=×-×(-)=.
又cos 2α=1-2sin2α,∴sin2α=,
又α∈(,π),∴sinα=.
17.【思路点拨】(1)结合等差数列的性质和三角形内角和定理,求得角B即得
cos B.
(2)利用等比数列的性质,结合正弦定理,将边的关系转化为角的关系,借助(1)的结论,解决问题.
【解析】(1)由已知2B=A+C及三角形的内角和定理A+B+C=180°,解得B=60°,
所以cos B=cos 60°=.
(2)由已知得b2=ac,据正弦定理,
设
则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C,
代入b2=ac得sin2B=sin Asin C,
即sin Asin C=sin2B=1-cos2B=.
18.【解析】(1)f(α)=a·b=sinα(6sinα+cosα)+cosα·(7sinα-2cosα)=
6sin2α-2cos2α+8sinαcosα=4(1-cos2α)+4sin2α-2=4sin(2α-)+2,
∴f(α)max=4+2.
(2)由(1)可得f(A)=4sin(2A-)+2=6,
sin(2A-)=,
因为0<A<,所以-<2A-<,
2A-=,A=.
∵△ABC的面积为3,
∴bcsin A=3,∴bc=6.
又b+c=2+3,
由a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-(2+)bc=10,
故a=.
19.【解析】(1)f(x)=a·b=cos(2x+)+sin2x
=cos 2xcos-sin 2xsin+
=-sin 2x
由2kπ+≤2x≤2kπ+得:
kπ+≤x≤kπ+,
单调增区间为[kπ+,kπ+],k∈Z.

20.【思路点拨】先根据已知作出图形,这样把实际问题转化成解三角形问题,利用余弦定理求得.
【解析】如图,船从A航行到C处,气球飘到D处.
由题知,BD=1千米,
AC=2千米,
∵∠BCD=30°,
∴BC=千米,
设AB=x千米,
∵∠BAC=90°-30°=60°,
∴由余弦定理得22+x2-2×2xcos 60°=()2,
∴x2-2x+1=0,∴x=1.
∴气球水平飘移速度为=20(千米/时).
【方法技巧】运用正、余弦定理解应用题的技巧
(1)对于三角应用问题,关键是正确地作出图形,抓住条件与要求问题之间的关系,恰当地选择三角形求解.
(2)明确所需要求的边、角,①若已知量与未知量全部集中在一个三角形中时,可选择正、余弦定理求解;②若涉及两个(或两个以上)三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,再逐步求出其他三角形的解,其中往往用到三角形内角和定理,有时需设出未知量,从几个三角形中列方程(组)求解.
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