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数学（理科）
一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U＝R，集合M＝{x|3x2－13x－10＜0}和N＝{x|x＝2k，k∈Z}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有
A．1个B．2个C．3个D．无穷个
2．A．－4[来源:学科网ZXB．4C．－4iD．4i
3．如图1为某省2018年1～4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是
A．2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件
B．2018年1～4月的业务量同比增长率均超过50％，在3月最高
C．从两图来看，2018年1～4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致
D．从1～4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长
4．设x，y满足约束条件，则的取值范围是
A．（－∞，－8]∪[1，＋∞） B．（－∞，－10]∪[－1，＋∞）
C．[－8，1] D．[－10，－1]
5．某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为
A．B．64－4πC．64－6πD．64－8π
6．有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是A．i＜6B．i＜7C．i＜8D．i＜9
7．在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为
A．B．C．D．
8．已知f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）＝f（x）－x，且当x∈（－∞，0]时，g（x）单调递增，则不等式f（2x－1）－f（x＋2）≥x－3的解集为
A．（3，＋∞） B．[3，＋∞） C．（－∞，3] D．（－∞，3）
9．函数f（x）＝ln|x|＋x2－x的图象大致为
A．B．
C．D．
10．用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为
A．B．C．D．
11．已知函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），，对任意x∈R恒有，且在区间（，）上有且只有一个x1使f（x1）＝3，则ω的最大值为
A．B．C．D．
12．设函数f（x）在定义域（0，＋∞）上是单调函数，且，f[f（x）－ex＋x]＝e．若不等式f（x）＋f′（x）≥ax对x∈（0，＋∞）恒成立，则a的取值范围是
A．（－∞，e－2][.ComB．（－∞，e－1] C．（－∞，2e－3] D．（－∞，2e－1]
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题．将答案填在答题卡中的横线上．
13．已知单位向量a，b的夹角为60°，则．
14．已知正三棱柱ABC—A1B1C1的高为6，AB＝4，点D为棱BB1的中点，则四棱锥C—A1ABD的表面积是________．
15．在（x2－2x－3）4的展开式中，含x6的项的系数是________．
16．已知双曲线C：（a＞0，b＞0），圆M：．若双曲线C的一条渐近线与圆M相切，则当取得最大值时，C的实轴长为________．[来源:学科网ZXXK]
三、解答题：
17．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，且Sn＝nan＋1－n2－n．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足，求{bn}的前n项和Tn．
18．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求B的大小；
（2）若b＝8，a＞c，且△ABC的面积为，求a．
19．如图所示，在四棱锥S—ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝AS＝2，AB＝1，CD＝3，且．
（1）若，证明：BE⊥CD；
（2）若，求直线BE与平面SBD所成角的正弦值．
20．在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：（x－2）2＋y2＝1外切，且圆P与直线x＝－1相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）设过定点S（－2，0）的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：在曲线C上是否存在点M（与A，B两点相异），当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知函数f（x）＝ex＋ax2，g（x）＝x＋blnx．若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线相交于点（0，1）．
（1）求a，b的值；（2）求函数g（x）的最小值；
（3）证明：当x＞0时，f（x）＋xg（x）≥（e－1）x＋1．
（二）选考题： 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]
已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，其左焦点F在直线l上．
（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|＋|FB|的值；
（2）求椭圆C的内接矩形面积的最大值．
23．[选修4—5：不等式选讲]
已知函数f（x）＝|x＋2|－|ax－2|．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥2x＋1的解集；
（2）若不等式f（x）＞x－2对x∈（0，2）恒成立，求a的取值范围．
数学参考答案（理科）
1．C2．D3．D4．A5．B6．B7．C8．B9．C10．B11．C12．D
13．114．15．1216．
17．解：（1）由条件知Sn＝nan＋1－n2－n，①
当n＝1时，a2－a1＝2；当n≥2时，Sn－1＝（n－1）an－（n－1）2－（n－1），②
①－②得an＝nan＋1－（n－1）an－2n，整理得an＋1－an＝2．
综上可知，数列{an}是首项为3、公差为2的等差数列，从而得an＝2n＋1．
（2）由（1）得，
所以．
18．解：（1）由得，
所以，即，
所以有，
因为C∈（0，π），所以sinC＞0，所以，
即，所以．
又0＜B＜π，所以，所以，即．
（2）因为，所以ac＝12．
又b2＝a2＋c2－2accosB＝（a＋c）2－3ac＝（a＋c）2－36＝64，
所以a＋c＝10，
把c＝10－a代入到ac＝12（a＞c）中，得．
19．（1）证明：因为，所以，在线段CD上取一点F使，连接EF，BF，则EF∥SD且DF＝1．
因为AB＝1，AB∥CD，∠ADC＝90°，
所以四边形ABFD为矩形，所以CD⊥BF．
又SA⊥平面ABCD，∠ADC＝90°，
所以SA⊥CD，AD⊥CD．
因为AD∩SA＝A，所以CD⊥平面SAD．
所以CD⊥SD，从而CD⊥EF．因为BF∩EF＝F，所以CD⊥平面BEF．
又BE平面BEF，所以CD⊥BE．
（2）解：以A为原点，的正方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系A—xyz，则A（0，0，0），B（0，1，0），D（2，0，0），S（0，0，2），C（2，3，0），
所以，，．
设n＝（x，y，z）为平面SBD的法向量，则，
所以，令z＝1，得n＝（1，2，1）．
设直线BE与平面SBD所成的角为θ，则．
20．解：（1）设P（x，y），圆P的半径为r，因为动圆P与圆Q：（x－2）2＋y2＝1外切，所以，①
又动圆P与直线x＝－1相切，所以r＝x＋1，②
由①②消去r得y2＝8x，所以曲线C的轨迹方程为y2＝8x．
（2）假设存在曲线C上的点M满足题设条件，不妨设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，
，，
所以，③
显然动直线l的斜率存在且非零，设l：x＝ty－2，
联立方程组，消去x得y2－8ty＋16＝0，
由Δ＞0得t＞1或t＜－1，
所以y1＋y2＝8t，y1y2＝16，且y1≠y2，
代入③式得，令（m为常数），
整理得，④
因为④式对任意t∈（－∞，－1）∪（1，＋∞）恒成立，
所以，[来源:Zxxk.Com]
所以或，即M（2，4）或M（2，－4），
即存在曲线C上的点M（2，4）或M（2，－4）满足题意．
21．（1）解：因为f′（x）＝ex＋2ax，
所以f′（1）＝e＋2a，切点为（1，e＋a），
所以切线方程为y＝（e＋2a）（x－1）＋（e＋a），
因为该切线过点（0，1），所以a＝－1．
又，g′（1）＝1＋b，切点为（1，1），
所以切线方程为y＝（1＋b）（x－1）＋1，同理可得b＝－1．
（2）解：由（1）知，g（x）＝x－lnx，，
所以当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，
所以当x＝1时，g（x）取极小值，同时也是最小值，
即g（x）min＝g（1）＝1．
（3）证明：由（1）知，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝（e－2）x＋1．
下面证明：当x＞0时，f（x）≥（e－2）x＋1．
设h（x）＝f（x）－（e－2）x－1，则h′（x）＝ex－2x－（e－2），再设k（x）＝h′（x），则k′（x）＝ex－2，所以h′（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，＋∞）上单调递增．
又因为h′（0）＝3－e，h′（1）＝0，0＜＜ln2＜1，所以h′（ln2）＜0，
所以存在x0∈（0，1），使得h′（x0）＝0，
所以，当x∈（0，x0）∪（1，＋∞）时，h′（x）＞0；当x∈（x0，1）时，h′（x）＜0．
故h（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增．
又因为h（0）＝h（1）＝0，所以h（x）＝f（x）－（e－2）x－1≥0，
当且仅当x＝1时取等号，所以ex－（e－2）x－1≥x2．
由于x＞0，所以．
又由（2）知，x－lnx≥1，当且仅当x＝1时取等号，所以，，
所以ex－（e－2）x－1≥x（1＋lnx），即ex－x2＋x（x－lnx）≥（e－1）x＋1，即f（x）＋xg（x）≥（e－1）x＋1．[来源:学科网ZXXK]
22．解：（1）将代入ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，
得x2＋3y2＝48，即，
因为c2＝48－16＝32，所以F的坐标为（，0），
又因为F在直线l上，所以．
把直线l的参数方程代入x2＋3y2＝48，
化简得t2－4t－8＝0，所以t1＋t2＝4，t1t2＝－8，
所以．
（2）由椭圆C的方程，可设椭圆C上在第一象限内的任意一点M的坐标为（，4sinθ）（），
所以内接矩形的面积，
当时，面积S取得最大值．
23．解：（1）当a＝2时，，
当x≤－2时，由x－4≥2x＋1，解得x≤－5；
当－2＜x＜1时，由3x≥2x＋1，解得x∈∅；
当x≥1时，由－x＋4≥2x＋1，解得x＝1．
综上可得，原不等式的解集为{x|x≤－5或x＝1}．
（2）因为x∈（0，2），所以f（x）＞x－2等价于|ax－2|＜4，
即等价于，
所以由题设得在x∈（0，2）上恒成立，
又由x∈（0，2），可知，，
所以－1≤a≤3，即a的取值范围为[－1，3]．
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