高三数学函数的单调性人教版.doc

高三数学函数的单调性人教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
函数的单调性
1. 概念：设函数的定义域为I

（1）增函数：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么称函数在这个区间上是增函数。
（2）减函数：如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值，当时，都有，则称在这个区间上是减函数。
（3）单调区间：如果函数在某个区间是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，该区间叫做的单调区间。
注：① 中学单调性是指严格单调的，即不能是或
② 单调性刻画的是函数的“局部”性质。如在与上是减函数，不能说在上是减函数。
③ 单调性反映函数值的变化趋势，反映图象的上升或下降
2. 单调性的判定方法（定义法、复合函数单调性结论，函数单调性性质，导数，图象）
（1）定义法
[例1] 证明函数在R上是增函数
证：设，则
而分子 分母
故 得证
补：讨论函数的单调性
解：设时，对任，，设
，而
即故在单增，同理在单减
当时，同理在（）单减，在（1，）单增

[例2] 讨论的单调性
解：设，则

（1）当时，，
（2）当时，，
故在上是减函数，在上是增函数

[例3] 试求函数（）的单调区间
分析：考虑到以下分类讨论
（1）当时
① 若，则，增
② 若，则，减
③ 若，则，减
④ 若，则，增
（2）当时
① 若，则增
② 若，则增
综上所述，时，在或上是减函数
在或上是增函数
时，在或上是增函数
函数

范围

定义域

值域

渐近线
及
奇偶性
奇函数
单调性
在及分别单调递增
在及上分别单调递减
在上递增，在上递增
另法，利用导数
（1）若则
（2）若，则下证

高考分式函数试题类型与解法研究
[例4] 讨论分式函数的单调性（）
以下只研究与两种情形对于与可利用对称性得到。
解：当时，由
利用导数可知在与上为单增函数
在与为单减函数
当时，由知
在与上为增函数，图象如下

[例5]（1997全国）甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地速度不得超过千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，且比例系数为；固定部分为元
（1）把全程运输成本（元）表示为速度（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶。
解：
（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为
，
（2）依题意都为正数，故有
当且仅当即时，上式中等号成立
① 若，则当时全程运输成本最小
② 若，函数在上是减函数
那么当且仅当时，全程运输成本最小
综上所述可知，为使全程运输成本最小，当时
行驶速度应为；当时，行驶速度应为

[例6] 在中，，现将分别以BC、AC、AB所在直线为轴，旋转一周，设所得三个旋转体的体积依次为。
（1）求（用，表示）
（2）若为定值，并令，将T表示为的函数，写出这函数的定义域，并求这函数的最大值
（3）当在内变化时，求的最大值。

解：（1）设的BC、AC、AB边上的高分别为，由，，得
，，

于是得
（2）令，则由得

代入（*）得

当为定值时，
即
又，于是
（当且仅当时，取等号）
又由，知，所以函数的定义域为
因为在上递增，所以当，即时，T取最大值，此时
（3）由于，是减函数，从而当时，取最大值为
注：分式函数变通形式，函数的单调性
将函数式变形为
令，则
由单调性，在即上单减
在即上单增
在即上单减
在即上单增
（2）复合函数的单调性
在复合函数中，设和都是单调函数
① 若为增函数，则的增减性与相同；
② 若为减函数，则的增减性与相反。
区间
单调性
函数
A
B
C
D

+
+
－
－

+
－
+
－

+
－
－
+
利用复合函数单调性的结论求单调区间的步骤
（1）先确定复合函数的定义域
（2）在定义域内分别研究及的单调性（分拆）
（3）列表，得结论

[例7] 讨论函数的单调性
解：由知定义域
令，
以下先研究，的单调性
令，

（0，1）
（1，）

－
－
+
+

－
－
－
－

+
+
－
－
而在R上为减函数，故利用复合函数单调性结论知在及上是减函数，在（0，1）及（1，）上是增函数。
补：（95高考）已知在[0，1]是减函数，则的取值范围是（ B ）
A.（0，1） B.（1，2） C.（0，2） D.
解：依题意，又故
（也可由，，（∵ ）从而）

[例8] 讨论的单调性
解：由定义域（）令，
而
当时是减函数，故

（）

－

+

－
故在其定义域（）上是减函数

[例9] 讨论的单调性
解：由定义域
令，，以下先考虑的单调性
由结合定义域知它在单减，在上单增

－
+

－
－

+
－
故，在上是增函数
在上是减函数

[例10]（1989全国）已知，求的单调区间。
解：依题意定义域为R，令，
则
由知其在上单增，在上单减
而知，在单增，在单减
又由或；
所以单减区间和单增区间与（0，1）

（0，1）
（1，）

+
+
－
－

+
－
－
+

+
－
+
－
（3）利用单调性性质
结论1：两增函数的和在公共定义域上仍为增函数
[例11] 讨论函数的单调性
解：定义域
① 若，与均为减函数
故也是减函数
② 若时
由与都是增函数
且，是减函数
综上，在R上是减函数，此结论用到以下事实。
又如讨论的单调性
解：
利用反比例函数的单调性可知当时，在与上是减函数
当时，在与上是增函数
结论2：若函数在区间上是减函数，在区间上是减函数，则必是区间（）上的减函数。
证：任取且
若，则，若，
若，，则，
从而
综上，对且，总有得证
上例利用定义法
对于

结论3：设是单调函数，则其反函数也是单调函数，且与其反函数有相同的单调性。
证：不妨设是增函数，设，（用反证法）
如果，则因是增函数，故
即这与矛盾，故，因此单增
例子：对数函数与指数函数对底的不同情形具有相同的单调性。
（4）利用函数的图象
[例12] 讨论函数的单调性
解：即
利用图象

（5）利用导数
函数在区间上连续，在内可导，且在内
① 如果，那么函数在区间上单调增加
② 如果，那么函数在区间上单调减少
由此得到确定单调区间的方法
① 确定函数的定义域
② 求导数
③ 令解此方程，求出在区间内的全部实根，并按从小到大的顺序排列为
④ 确定区间内导数符号
⑤ 在某区间内，若，那么函数在这个区间内递增，若那么函数在这区间内递减。

【模拟试题】
一、选择题。
1. 函数的单调减区间为（ ）
A. B.
C. D.
2. 设（a，b）、（c，d）都是函数f（x）的单调增区间，且x1∈（a，b），x2∈（c，d），x1＜x2，则f（x1）与f（x2）的大小关系是（ ）
A.f（x1）＜f（x2） B.f（x1）＞f（x2）
C.f（x1）=f（x2） D.不能确定
3. 下列函数中，在上为减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 函数y=的单调递减区间是（ ）
A.［0，+∞］ B.（－∞，0）
C.（－∞，0），（0，+∞） D.（－∞，0）∪（0，+∞）
5. 设是上的减函数，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 设函数f（x）=（2a－1）x+b是R上的减函数，则有（ ）
A.a≥ B.a≤
C.a>－ D.a<
7. 若函数是定义在R上的增函数；若时，则下列各式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如果是R上的减函数，在上是增函数，则函数的单调性是（ ）
A. 在上是增函数，在上是减函数
B. 在上是减函数，在上是增函数
C. 在上是增函数
D. 在上是减函数
9. 已知，则与 （ ）
A. 函数值域相同，增减性不同 B. 为相同的函数
C. 函数值域不同，增减性相同 D. 函数值域、增减性都不同

二、填空题。
10. 已知函数f（x）=4x2－mx+1在（－∞，－2）上递减，在［－2，+∞］上递增，则f（1）=__________.
11. 二次函数的单调区间，当时，增区间是___________，减区间为___________。
12. f(x)是定义在（0，+∞)上的递减函数，且f(x)<f(2x－3),则x的取值范围是__________.
13. 函数的增区间是___________，减区间是___________。
14. 一次函数是增函数的充要条件是___________。
15. 已知函数是在区间上的减函数，则a的取值范围是___________。
三、解答题。
16. 求证：函数在定义域内是减函数。
17. 求证：函数f（x）=x+（a>0）在区间（0，］上是减函数.
18. 设是上的增函数，a和b是实数。
（1）证明命题“如果，那么”；
（2）判断（1）中命题的逆命题是否正确，并证明你的结论。

【试题答案】
一、
1. D 2. D 3. D 4.C 5. D 6.D 7. B 8. D 9. B
二、
10．21
11.
12． (,3)
13.
14.
15.
三、
16. 因为的定义域为，任取且

且
又因为对任意，都有

所以，即
故函数在R上单调递减

17．证明:设0<x1<x2≤，则x1－x2<0,0<x1x2<a.
f（x1）－f（x2）=（x1+）－（x2+）=（x1－x2）+
=（x1－x2）·>0，即f（x1）>f（x2）.
因此函数f（x）=x+（a>0）在区间（0，］上是减函数.
说明:用上述方法还可以证明函数f（x）=x+（a>0）在［，+∞］上是增函数，在
（－∞，－）上也是增函数,在（－，0）上是减函数，并让学生记住证法和结论.

18. （1）由

同理，
<1>＋<2>得：
（2）逆命题正确。
即若，则
假设，则（1）可证矛盾。