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第六章 平面向量
考点28 向量的概念
一、选择题
1．在下列说法中，不正确的是( )
A．向量的长度与向量的长度相等；
B．任何一个非零向量都有可以平行移动；
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量；
D．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同。
2．下列说法不正确的是(　　)
A．零向量是没有方向的向量；
B．零向量的方向是任意的；
C．零向量与任一向量共线；
D．零向量的模为零。
3．如果O是正六边形ABCDEF的中心，则下列向量组中含有相等向量的是( )
A．、、
B．、、
C．、、
D．、、
4．四边形ABCD中，若=，且=，则它一定是( )
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
5．设是的相反向量，则下列说法中错误的是( )
A．与的长度必相等
B．
C．与一定不相等
D．是的相反向量
6．下列命题中正确的是( )
A．时间、速度、位移都是向量
B．向量的模是一个正实数
C．所有单位向量都相等
D．共线向量一定平行
A
B
C
O
7．如右图，在⊙O中，是( )
A．相等的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．单位向量
8．下列命题中正确的是( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，写出与的相反向量： 。
10．如右图，设D、E、F分别是正三角形ABC中各边的中点．
⑴图中与相等的向量有 ；
⑵图中与共线而不相等的向量有 。
11．把所有单位向量的起点平移到一点，则其终点构成 。
12．的 条件。
三、解答题
13．如右图，O是正六边形ABCDEF的中心，
⑴写出与相等的向量；
⑵写出与相反的向量；
(3)写出与共线的向量。
14． 一艘轮船从A处向正东航行50km，另一艘轮船从A处沿北偏东30°方向航行50km，这两艘船的位移相同吗？分别画出有向线段表示这两艘船的位移。
15．设平面上给定的四边形ABCD，点E、F、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：=。

考点29 向量的线性运算
一、选择题
1．在平行四边形ABCD中，++等于( )
A． B． C． D．
2．在四边形ABCD中，=+，则(　　)
A．ABCD是矩形
B．ABCD菱形
C．ABCD正方形
D．ABCD平行四边形
3．下列四式中不能化简为的是( )
A．++
B．+++
C．-+
D．+-
4．化简+-+的结果为( )
A． 0 B． C． D．
5．矩形ABCD中，，则等于( )
A．2 B． C．3 D．
6．已知=，=，=，则( )
A．A、B、D三点共线
B．A、B、C三点共线
C．B、C、D三点共线
D．A、C、D三点共线
7．D、E、F分别是的边BC、CA、AB的中点，则等于( )
A． B． C． D．-
8．若=-3()，则下列结论正确的是( )
A．与不平行
B．与是相反向量
C．=
D．=
9．在平行四边形ABCD中，与向量平行的向量是( )
A．+ B．-
C．+ D．-
10．已知向量，则下列关系中一定成立的是( )
A． B．
C． D．或
二、填空题
11．若=“向东走8km”，=“向北走8km”，则= ，的方向是 。
12．化简：++--= 。
13． 。
14．若，则= 。
15．若，与的方向相反，且=7，则 。
16．已知，=3，则的取值范围是 。
17．若平行四边形ABCD的中心为O，P为该平面上的一点，，那么 。
18．如右图，已知，C、D是AB的三等分点，则 ， 。
三、解答题

19．如右图，已知向量、，
求作：⑴； ⑵
20．化简：
⑴；
⑵
(3)
21．用向量方法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
22．计算：
⑴
⑵若其中为已知向量，求及。
23．如图，已知四边形ABCD，E、F分别是AD、BC的中点，
求证：

24．当K为何值时，向量(e1、e2是不共线向量)共线？

考点30 向量的坐标性运算
一、选择题
1．已知向量，等于( )
A． (0，1) B．(1，1) C．(2，0) D．(-1，2)
2．已知则点B的坐标为( )
A．(-10，6) B．(10，-6) C．(4，2) D．(10，2)
3．在平行四边形ABCD中，已知，则平行四边形ABCD的对角线AC的长度为( )
A． B． C． D．
4．已知点A(-3，3)，B(3，6)，则点P的坐标为( )
A．(0，9) B．(1，2) C．(6，2) D．(-1，4)
5．已知 等于( )
A．3 B．-3 C． D．
6．若A(3，-6)，B(-5，2)，C(6，y)三点共线，则y等于( )
A．-13 B．-9 C．9 D．13
7．与平行的单位向量是( )
A． B．
C． D．
8．若点(-3，1)与点(x,y)，关于点(-2，-1)对称，则的坐标是( )
A．(-1，-3) B．(-3，-1) C．(-7，-3) D．(，0)
9．已知，点P在BA的延长线上，，则点P分所成的比是( )
A． B． C． D．
10．将点(-2，1)平移到(-5，3)的平移向量的坐标是( )
A．(-7，4) B．(-3，6) C．(3，4) D．(-3，2)
二、填空题
11．已知 。
12．已知O是平行四边形ABCD的中心，则的坐标为 。
13．若，则x= ，y= 。
14．三边BC、CA、AB的中点依次为，则三个顶点A、B、C的坐标依次为 。
15．若点A分所成的比为，则点B分所成的比是 。
16．已知点A、B分别在x轴、y轴上，点C(1，2)是直线AB上一点，且，则A、B两点坐标分别为 。
17．的重心在原点，A(1，4)，B(-3，-3)，则C点的坐标为 。
18．函数的图像平移向量，得到新图像的函数解析式为
。

三、解答题
19．已知；
⑴当x、y为何值时，共线；
⑵当x、y为何值时，．
20．设平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(-5，-3)，B(3，-1)，C(4，4)，求D点坐标及平行四边形的对角线的交点M的坐标。
21．在直角坐标系中，已知A(-1，4)，B(2，2)，点P满足
⑴求点P的坐标；
⑵若，求点C的坐标。
22．已知四边形顶点A(3，-1)，B(1，2)，C(-1，1)，D(3，-5)，
求证：四边形ABCD是一个梯形。
23．已知 且，若B点坐标为(1，0)，求A点坐标。
24．已知A(3，7)，B(5，2)，将按向量平移，求平移后所得的向量的坐标。
考点31 向量的数量积
一、选择题
1．已知向量、的长度分别为2、3，<,>=，则·等于( )
A．3 B．6 C．-3 D．-6
2．已知向量=5，=4，·=，则向量与的夹角是( )
A． B． C． D．
3．已知=（2，1），=(3，-2)，则·=( )
A．8 B．4 C．7 D．-1
4．已知向量=（1，），=(+1，-1)，则<,>等于( )
A． B． C． D．
5．若向量=(3，m)和向量=(-2，1)垂直，则m等于( )
A．-6 B．-1 C．1 D．6
6．已知点A(-1，2)，B(2，6)，则等于( )
A．8 B．6 C．5 D．4
7．下列命题中不正确的是( )
A．=· B．∥·=
C．， D． ⊥·=0
8．若=1，=2，·=1，则=( )
A．7 B．5 C．3 D．2
9．下列各对向量垂直的是( )
A．=(1，2)与=(-1，2) B．=（，）与=（，）
C．=(-2，3)与=(2，-3) D．=(3，4)与=(-4，3)
10．若=(2，1)，=(x，-2)且⊥，则=( )
A． B．2 C． D．
二、填空题
11．若=2，=6，<，>=，则·= 。
12．若=(1，2)，=(1，3)，则<，>= 。
13．已知=(2，3)，=(x，4)，若⊥，则x= 。
14．在等腰△ABC中，=6，且·=-18，则底角∠C= 。
15．已知·=3，·=6，k-⊥，则k= 。
三、解答题
16．已知=1，=2，<，>=，求·；(+2)·；。
17．已知=(-1，3)，=(2，-1)，求·；<，>
18．已知三角形的顶点A(1，5)，B(-2，1)，C(5，2)，证明△ABC是直角三角形。
19．已知=2，=1，<，>=，求向量+与-2的夹角的余弦。
综合练习六
一、选择题
1．若向量共线，则下列各式成立的是( )
A． B．
C． D．
2．已知向量方向相反，且，则等于( )
A．-3 B． C． D．3
3．已知向量则等于( )
A．(-1，-12) B．(3，-5) C．(7，-12) D．(7，0)
4．已知A(-1，2)，B(1，3)，C(2，5)，若，则D点的坐标为( )
A．(4，6) B．(4，5) C．(5，6) D．(2，5)
5．已知点A(0，3)，B(3， 6)，则点P的坐标为( )
A．(4，9) B．( 1，4) C．(3，3) D．( 6，3)
6．在四边形ABCD中，其中、不共线，则四边形ABCD为( )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
7．任给、，则恒有( )
A．
B．
C．
D．
8．将A(5，-3)按平移，得到的对应点的坐标为( )
A．(4，-5) B．(6，-1) C．(6，-5) D．(4，-1)
9．把函数的图象F按平移到，则的函数解析试为( )
A． B． C． D．
10．已知点(1，2)，B(k，-10)，C(3，8)共线，则k等于( )
A．-2 B．-3 C．-4 D．-5
11．已知=3，=4，=,则等于( )
A． 6 B．-6 C． D．
12．已知=(1，)，=(-2，0)，则=( )
A． 30° B．60° C． 120° D．150°

二、填空题
13．化简： 。
14．计算： 。
15．已知A(0，1)，B(6，4)，M、N是线段AB的三等分点，则M、N的坐标分别为 。
16．已知则x= 。
三、解答题
17．已知=2，=3，,求；．
18．若某人从点A向东位移60m到达点B，又从点B向东偏北30°方向位移到达点C，再从点C向北偏西60°方向位移30m到达点D，试作出点A到点D的位移图示。
19．已知向量，点A的坐标为(1，0)
⑴计算
⑵当时，求B点的坐标
20．设有两个平面向量(其中m、n为实数)，且=(8，12)，试解答下列问题：
⑴求m与n的值；
⑵是否平行。
21．已知A(1，2)，B(5，4)，C(x,3),D(-3,y)，且
⑴求x、y的值；
⑵在上有一点P，使，求P点坐标。
22．在△ABC中，∠C=，已知=(k，1)，=(2，3)。求k的值。
4