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习题课 带电粒子在组合场中的运动
一、带电粒子在组合场内运动的分析
知识检索
组合场是指电场、磁场同时存在，但各位于一定的区域内(或电场、磁场交替存在，位于同一指定的区域内)．若带电粒子速度方向与磁场方向平行，则在磁场中做匀速直线运动； 若带电粒子垂直进入磁场，则做匀速圆周运动．而在电场中，若速度方向与电场线在同一直线上，则做匀变速直线运动；若速度方向与电场线垂直，则做类平抛运动.
解决这类问题，所需知识如下：

处理这类问题时，一要注意在两个场中的运动分别独立；二要注意在前一个场中运动的末速度是在后一个场中运动的初速度；三要注意几何关系的应用．
常见题型有：①带电粒子在电场中加速在磁场中偏转
②带电粒子在组合场中的双偏转
典题示例
1.如图所示，电子显像管由电子枪、加速电场、偏转磁场及荧光屏组成．在加速电场右侧有相距为d、长为l的两平板，两平板构成的矩形区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的右边界与荧光屏之间的距离也为d.荧光屏中点O与加速电极上两小孔S1、S2位于两板的中线上．从电子枪发射质量为m、电荷量为－e的电子，经电压为U0的加速电场后从小孔S2射出，经磁场偏转后，最后打到荧光屏上．若l＝d，不计电子在进入加速电场前的速度．
(1)求电子进入磁场时的速度大小；
(2)求电子到达荧光屏的位置与O点距离
的最大值ym和磁感应强度B的大小；

2.如图所示，在xOy平面内，第一象限中有匀强电场，匀强电场电场强度大小为E，方向沿y轴正方向，在x轴下方有匀强磁场,磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里．今有一个质量为m、电荷量为e的电子(不计重力)，从y轴上的P点以初速度v0垂直于电场方向进入电场，经电场偏转后沿着与x轴正方向成45°的方向进入磁场，并能返回到出发点P.
(1)作出电子运动轨迹的示意图，
并说明电子的运动情况；
(2)P点到O点的竖直距离为多少？
(3)电子从P点出发经多长时间第一次返回P点．

3.如图所示，相距为R的两块金属板M、N正对着放置，S1、S2分别为M、N板上的小孔，S1、S2、O三点共线，它们的连线垂直于板M、N,且S2O＝R.以O为圆心、R为半径的圆形区域内存在磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场．D为收集板，板上各点到O点的距离以及两端点的距离都为2R，板两端点的连线垂直M、N两板．质量为m、带电荷量为＋q的粒子，经S1进入M、N两板间的电场后，通过S2进入磁场．粒子在S1处的速度和粒子所受的重力均不计．
(1)当M、N两板间的电压为U时，求粒子进入磁场时速度v的大小；
(2)若粒子恰好打在收集板D的中点上，求M、N两板间的电压值U0；
(3)当M、N两板间的电压不同时，粒子从S1到打在D上经历的时间t会不同，求t的最小值．

4.如图所示，在直角坐标系第Ⅰ象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B＝0.2 T，第Ⅳ象限分布着竖直向上的匀强电场，场强E＝4.0×103 V/m.现从图中M(1.8，－1.0)点由静止释放一比荷＝2×105 C/kg的带正电的粒子，该粒子经过电场加速后由x轴上的P点进入磁场，在磁场中运动一段时间后由y轴上的N点离开磁场，不计重力．
(1)求N点的纵坐标；
(2)若仅改变匀强电场的场强大小，粒子
仍由M点释放，为使粒子还从N点离开
磁场，求电场强度改变后的可能值．

5.如图所示，真空室内竖直条形区域Ⅰ中存在垂直纸面向外的匀强磁场，条形区域Ⅱ(含Ⅰ、Ⅱ区域分界面)中存在水平向右的匀强电场，电场强度为E，磁场和电场宽度均为L且足够长,M、N为涂有荧光物质的竖直板.现有一束质子从A处连续不断地射入磁场，入射方向与M板成60°夹角且与纸面平行，质子束由两部分组成，一部分为速度大小为v的低速质子，另一部分为速度大小为3v的高速质子，当Ⅰ区域中磁场较强时，M板出现两个亮斑，缓慢改变磁场强弱，直至亮斑相继消失为止，此时观察到N板有两个亮斑．已知质子质量为m，电荷量为e，不计质子重力和相互作用力，求：
(1)此时Ⅰ区域的磁感应强度；
(2)到达N板下方亮斑的质子在磁场中运动的时间；
(3)N板两个亮斑之间的距离．

6．如图所示，在矩形AMCD区域内有以对角线MD为边界的匀强电场和匀强磁场，已知电场的方向竖直向下，磁场垂直纸面(题中未画出)，AD边长为L，AM边长为L，一个质量为m、带电荷量为＋q的带电粒子(不计重力)以初速度v0从A点沿AM方向进入电场，经时间t在对角线MD的P点垂直MD进入磁场，并从DC边上的Q点垂直DC离开磁场，试求：
(1)电场强度的大小；
(2)带电粒子经过P点时的速度大小；
(3)离开磁场时的Q点到D点的距离；
(4)磁场的磁感应强度的大小和方向．

7.如图所示，一根水平光滑的绝缘直槽轨连接一个竖直放置的半径为R＝0.50 m的绝缘光滑槽轨．槽轨处在垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度B＝0.50 T．有一个质量m＝0.10 g，带电荷量为q＝＋1.6×10－3 C的小球在水平轨道上向右运动．若小球恰好能通过最高点，重力加速度g＝10 m/s2.试求：
(1)小球在最高点所受的洛伦兹力F；
(2)小球的初速度v0.

习题课 带电粒子在组合场中的运动参考答案
1、【解析】　(1)设电子经电场加速后的速度大小为v0，由动能定理得
eU0＝mv
解得v0＝　.
(2)电子经磁场偏转后，沿直线运动到达荧光屏，电子偏转的临界状态是恰好不撞在上板的右端，到达荧光屏的位置与O点距离即为最大值ym，如图所示，有ev0B＝
2＋l2＝R2
tan α＝＝tan θ＝
又l＝d，v0＝　，联立上式可得
R＝d
ym＝
B＝＝.
2、【解析】　 (1)电子的运动轨迹如图所示，电子进入电场，从P到A做匀变速曲线运动(类平抛运动)，之后进入磁场，从A经C再到D，做匀速圆周运动，最后离开磁场，从D到P做匀速直线运动．
(2)电子经过A点的速度大小为v＝＝v0.
电子从P到A，由动能定理得
Eeh＝mv2－mv
所以h＝.
(3)电子从P到A，所用时间t1＝＝
电子从A到C再到D，圆弧所对圆心角为270°，所用时间t2＝T＝
电子从D到P，所用时间t3＝＝＝
电子第一次回到P点的时间t＝t1＋t2＋t3＝＋.

3、解析：(1)粒子从S1到达S2的过程中，由动能定理得
qU＝mv2①
粒子进入磁场时速度的大小v＝.
(2)粒子进入磁场后在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有
qvB＝m②
由①②得加速电压U与轨迹半径r的关系为U＝
当粒子打在收集板D的中点时，粒子在磁场中运动的半径r0＝R，对应电压U0＝.
(3)M、N两板间的电压越大，粒子进入磁场时的速度越大，粒子在极板间经历的时间越短，同时在磁场中运动轨迹的半径越大，在磁场中运动的时间也会越短，出磁场后匀速运动的时间也越短，所以当粒子打在收集板D的右端时，对应时间t最短．
根据几何关系可以求得粒子在磁场中运动的半径r′＝R
由②得粒子进入磁场时速度的大小v′＝
粒子在电场中经历的时间t1＝＝
粒子在磁场中经历的时间t2＝＝
粒子射出磁场后做匀速直线运动经历的时间t3＝＝
粒子从S1到打在收集板D上经历的最短时间为
t＝t1＋t2＋t3＝.
4.解析： (1)设粒子进入磁场时速度为v，在磁场中偏转半径为R，则：
Eq·sMP＝mv2①
Bqv＝②
由以上两式及已知条件q/m＝2×105 C/kg计算可得R＝1 m．由此可作出粒子在磁场中的运动轨迹如图甲所示．利用几何关系可得：
(sOP－R)2＋s＝R2　　　　　③
将R＝1 m代入可得：
sON＝0.6 m．④
(2)若减小电场的场强，粒子有可能经两次偏转后再从N点离开磁场，如图乙所示．
设粒子在磁场中的运动半径为r，利用几何关系
可得：(3r－sOP)2＋s＝r2⑤
代入数据解上式可得：r1＝0.6 m；r2＝0.75 m⑥
因r＝⑦
联立①⑦两式，将r1＝0.6 m；r2＝0.75 m代入后可解得：
E1＝1.44×103 V/m，E2＝2.25×103 V/m.⑧

5.解析：(1)此时低速质子速度恰好与两场交界相切且与电场方向垂直，在磁场中的运动半径为R1
evB＝m
R1＋R1cos 60°＝L
R1＝L，解得B＝.
(2)低速质子在磁场中的运动时间t＝＝ 得t＝.
(3)高速质子的轨迹半径R2＝3R1＝2L
由几何关系知此时沿电场线方向进入电场，到达N板时与A点竖直高度差h1＝R2(1－sin 60°)
低速质子在磁场中的偏转距离h2＝R1sin 60°
在电场中的偏转距离h3＝vt′ 又L＝at′2
eE＝ma，得亮斑P、Q间距为：
h＝h1＋h2＋h3＝L＋v.

6.解析：(1)因为sin∠AMD＝＝＝
所以∠AMD＝30°
带电粒子到达P点时方向垂直MD，
则有＝tan 30°＝，
又vy＝at＝t，解得：E＝.
(2)由＝tan 30°＝，得：vy＝v0，
故vP＝＝2v0.
(3)因为带电粒子经时间t到达P点，故带电粒子的水平位移为x＝v0t，故有＝cos 30°＝，
所以sPD＝
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，因为带电粒子进入磁场时速度方向垂直MD，则PD沿半径方向指向圆心，离开磁场时过Q点垂直DC，则QD沿半径方向指向圆心，故交点D为圆心，PD、QD都是半径，故离开磁场时的Q点到D点的距离为sQD＝sPD＝.
(4)由带电粒子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供得
qvPB＝m，即R＝
联立解得：B＝，由左手定则可判断磁场方向垂直纸面向外．
7.【解析】　(1)小球在最高点时，受重力和洛伦兹力
则mg－qvB＝
解得v＝1 m/s
所以F＝qvB＝1.6×10－3×1×0.5 N＝0.8×10－3 N.
(2)由机械能守恒可知：mv＝2mgR＋mv2
解得v0＝ m/s.