专题4：韦达定理应用探讨.doc

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【2013年中考攻略】专题4：韦达定理应用探讨
锦元数学工作室 编辑
韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。
韦达定理说的是：设一元二次方程有二实数根，则。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系。其逆命题：如果满足，那么是一元二次方程的两个根也成立。
韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。锦元数学工作室将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值； ⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。
一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。
典型例题：
例1：（2012湖北武汉3分）若x1、x2是一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根，则x1＋x2的值是【 】
A．－2 B．2 C．3 D．1
例2：（2001湖北武汉3分）若x1、x2是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个根，则x1·x2的值是【 】
 A.4.   B.3.  C.－4.  D.－3.
例3：（2012山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【 】
　　A．x2+2x﹣4=0　　B．x2﹣4x+4=0　　C．x2+4x+10=0　　D．x2+4x﹣5=0
例4：（2012广西来宾3分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【 】
A．－2 B．0 C．1 D．2
练习题：
1. （2007重庆市3分）已知一元二次方程的两根为x1、x2，则x1+x2= ▲ 。
2. （2005浙江湖州3分）已知一元二次方程的两个根为x1、x2，则x1+x2的值是【 】
A．－12 B．12 C．－7 D．7
3. （2011广西来宾3分）已知一元二次方程x2+mx﹣2=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1·x2=　 ▲ 　．
4.（2011湖北咸宁3分）若关于的方程的一个根为，则另一个根为【 】
A． B． C．1 D．3
5.（2011云南昆明3分）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+4=0的两根，则x1+x2与x1•x2的值分别是【 】
A、﹣，﹣2 B、﹣，2 C、，2 D、，﹣2
二、求对称代数式的值：应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。所谓对称式，即若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变（），则称这个代数式为完全对称式，如等。扩展后，可以视中与对称。
典型例题：
例1：（2012四川攀枝花3分）已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为【 】
　 A． ﹣3 B． 3 C． ﹣6 D． 6
例2：（2012山东莱芜3分）已知m、n是方程x2＋2x＋1＝0的两根，则代数式的值为【 】
A．9 B．±3 C．3 D．5
例3：（2012江苏南通3分）设m、n是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则m2＋4m＋n＝ ▲ ．
例4：（2012湖北鄂州3分）设x1、x2是一元二次方程x2＋5x－3=0的两个实根，且，则a= ▲ .
练习题：
1. （2012湖南张家界3分）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则= ▲ ．
2. （2012四川泸州3分）设x1，x2是一元二次方程x2 – 3x – 1 =0的两个实数根，则的值为 ▲
3. （2012山东日照4分）已知x1、x2是方程2x2+14x－16=0的两实数根，那么的值为 ▲ .
4. （2012黑龙江绥化3分）设a，b是方程x2＋x－2013=0的两个不相等的实数根，则a2＋2a＋b的值为
▲
5. （2012黑龙江大庆4分）若方程的两实根为、，求的值．
6. （2011湖北荆州、荆门3分）关于的方程有两个不相等的实根、，
且有，则的值是【 】 [来源:学§科§网Z§X§X§K]
A. B. C. 或 D.
7.（2011贵州黔东南4分）若、是一元二次方程的两根，则的值为【 】
A、2010 B、2011 C、 D、
8. （2011江苏苏州3分）已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式
的值等于 ▲ ．
9. （2011山东德州4分）若x1，x2是方程x 2+ x﹣1=0的两个根，则x 12+ x 22=　 ▲ 　．
10. （2011广西玉林、防城港6分）已知：、是一元二次方程的两个实数根．求：
的值．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．
三、构造一元二次方程：如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。扩展后字母可为代数式。
典型例题：
例1：（2012湖北随州4分）设，且1－ab2≠0，则=
▲ .
学科网]
例2：（2012四川内江12分）如果方程的两个根是，那么请根据以上结论，解决下列问题：
（1） 已知关于的方程求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；
（2） 已知满足,求；
（3） 已知满足求正数的最小值。
例3：（2012四川宜宾8分）某市政府为落实“保障性住房政策，2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2013年底，将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设．
（1）求到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程）；
（2）设（1）中方程的两根分别为x1，x2，且mx12﹣4m2x1x2+mx22的值为12，求m的值．
例4：（2012贵州黔西南14分）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以
把代入已知方程，得
化简，得：
故所求方程为
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。请阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：
；
（2）已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的倒数。[来源:学科网ZXXK]
练习题：
1. （2004辽宁沈阳2分）请你写出一个二次项系数为1，两实数根之和为3的一元二次方程： ▲ .
2. （2005山东临沂3分）请写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且其两根互为倒数 ▲ .
3.（2002浙江杭州10分）已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为p、q，且满足关系式 ，试求这个一元二次方程．
4. （2007江苏淮安3分）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程： ▲ .
四、求方程中待定系数的值：已知方程两根满足某种关系，则可以利用韦达定理确定方程中待定字母系数的值。
典型例题：
例1：（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为【 】
A．3 B．﹣3 C．13 D．﹣13
例2：（2012湖南株洲3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，则b与c的值分别为【 】
　　A．b=﹣1，c=2　　B．b=1，c=﹣2　　C．b=1，c=2　　D．b=﹣1，c=﹣2
例3：（2012内蒙古呼和浩特3分）已知：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是【 】
A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C．，b=﹣1 D．，b=1
例4：（2012内蒙古包头3分）关于x的一元二次方程的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1+x2=7，则m的值是【 】
A.2 B. 6 C. 2或6 D . 7
例5：（2012山东威海3分）若关于x的方程的两根互为倒数，则a= ▲ .
例6：（2012湖北孝感12分）已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．
(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝2，求m的值和此时方程的两根．
例7：（2012湖南怀化10分）已知是一元二次方程的两个实数根.
（1）是否存在实数a，使成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使为负整数的实数a的整数值.
例8：（2011四川南充8分）关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．
练习题：
1. （2011湖南株洲3分）孔明同学在解一元二次方程时，正确解得，，则的值为 ▲ ．
2. （2011湖北孝感10分）已知关于x的方程有两个实数根x1，x2，
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值。
3. （2012湖北鄂州8分）关于x的一元二次方程。
（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且｜x1｜=｜x2｜－2，求m的值及方程的根。
4. （2012四川南充8分）关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1=0的两个实数根分别为x1,x2。
（1）求m的取值范围；
（2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值。
5. （2011四川达州3分）已知关于x的方程x2﹣mx+n=0的两个根是0和﹣3，则m= ▲ ，n= ▲ 。
6. （2011四川泸州2分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为　 ▲ 　。
7. （2011四川乐山10分）题甲：已知关于x的方程的两根为x1、x2，且满足.求的值。
8. （2006北京市7分）已知：关于x的方程有两个实数根x1和x2，关于y的方程有两个实数根y1和y2，且－2≤y1＜y2≤4．当
时，求m的取值范围。
9. （2006四川凉山6分）已知：x2+a2x+b=0的两个实数根为x1、x2；y1、y2是方程y2+5ay+7=0的两个实数根，且x1－y1=x2－y2=2．求a、b的值。
五、在平面几何中的应用：在平面几何中，①两圆外切，两圆圆心距离等于两圆半径之和；②勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方的应用，可以与一元二次方程根与系数的关系相结合命题。
典型例题：
例2：（2003江苏镇江6分）已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB=900，AB=5，两直角边AC、BC的长是关于x的方程的两个实数根。
（1）求m的值及AC、BC的长（BC>AC）
（2）在线段BC的延长线上是否存在点D，使得以D、A、C为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出CD的长；若不存在，请说明理由。

练习题：
1. （2012山东潍坊3分）已知两圆半径r1、r2分别是方程x2—7x+10=0的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是【 】．
A．相交 B．内切 C．外切 D．外离
2. （2006四川广安8分）已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
3. （2002江苏无锡9分）已知：如图，⊙O的半径为r，CE切⊙O于C，且与弦AB的延长线交于点E，CD⊥AB于D．如果CE=2BE，且AC、BC的长是关于x的方程的两个实数根．
求：（1）AC、BC的长；（2）CD的长．

4. （2002湖南益阳10分）巳知：如图，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆交AB于点E，与AC切于点D．当时，AD、AE（AD＞AE）是关于x的方程x2－（m－1）x＋m－2=0（m≠0）的两个根．
（1）求实数m的值；
（2）证明：CD的长度是无理方程的一个根；
（3）以B点为坐标原点，分别以AB、BC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，求过A、B、D三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式．

5. （2010湖南株洲3分）两圆的圆心距d=5，它们的半径分别是一元二次方程x2-5x+4=0的两个根，这两圆的位置关系是　　▲　　　
七、在二次函数中的应用：一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)可以看作二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当y＝0时的情形，因此若干二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与ｘ轴交点的综合问题都可以用韦达定理解题。
典型例题：
例1：（2012天津市3分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：
①x1=2，x2=3； ②；
③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．
其中，正确结论的个数是【 】
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

例2：（2012甘肃兰州10分）若x1、x2是关于一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1＋x2＝，x1•x2＝．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB＝|x1－x2|＝
。
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
(1)当△ABC为直角三角形时，求b2－4ac的值；
(2)当△ABC为等边三角形时，求b2－4ac的值．

例3：（2012广东梅州10分）（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1•x2=q．
（2）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．
例4：（2012湖北荆州12分）已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．
①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．
例5：（2012湖北黄石10分）已知抛物线C1的函数解析式为，若抛物线C1经
过点，方程的两根为，，且。
（1）求抛物线C1的顶点坐标.
（2）已知实数，请证明：≥,并说明为何值时才会有.
（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设，
是C2上的两个不同点，且满足： ，，.请你用含有的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。
（参考公式：在平面直角坐标系中，若，，则P，Q两点间的距离）

例6：（广东广州14分）已知关于的二次函数的图象经过点C（0，1），且与轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）
（1）求的值；
（2）求的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线＝1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜＜1时，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数．

例7：（2011黑龙江大庆8分）已知二次函数)图象顶点的纵坐标不大于－．
(1)求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；
(2)若该二次函数图象与轴交于A、B两点，求线段AB长度的最小值．

例8：（2012湖南长沙10分）如图半径分别为m，n（0＜m＜n）的两圆⊙O1和⊙O2相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1与x轴，y轴分别切于点M，点N，⊙O2与x轴，y轴分别切于点R，点H．
（1）求两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式；
（2）求两圆的圆心O1，O2之间的距离d；
（3）令四边形PO1QO2的面积为S1，四边形RMO1O2的面积为S2．
试探究：是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

练习题：
1. （2011贵州黔南4分）二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的一个解，另一个解= ▲ ．

A、1 B、 C、 D、0
2. （2011山东潍坊3分）已知一元二次方程的两个实数根、满足1＋2＝4和1•2＝3，那么二次函数的图象可能是【 】

A. B. C. D
3. （2011江西省B卷3分）已知二次函数y=x2+bx－2的图象与x轴的一个交点为（1，0），则它与x轴的另一个交点坐标是 【 】
A .（1，0） B.（2，0） C.（－2，0） D.（－1，0）
4. （2011广东肇庆10分）已知抛物线与轴交干A、B两点。
（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧：
（2）若 (O为坐标原点)，求抛物线的解析式；
（3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．
5. （2011四川泸州10分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为 (0，)，且 ac=．
（1）若该函数的图象经过点（－1，－1）．
①求使y＜0成立的x的取值范围．
②若圆心在该函数的图象上的圆与x轴、y轴都相切，求圆心的坐标．
（2）经过A（0，p）的直线与该函数的图象相交于M，N两点，过M，N作x轴的垂线，垂足分别为M1，N1，设△MAM1，△AM1N1，△ANN1的面积分别为S1，S2，S3，是否存在m，使得对任意实数p≠0都有S22=mS1S3成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
6. （2011湖北武汉12分）如图1，抛物线经过A（－3，0），B（－1，0）两点.  
 （1）求抛物线的解析式；    
（2）设抛物线的顶点为M，直线与轴交于点C，与直线OM交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；    
（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

7. （湖北黄冈、鄂州14分）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y=x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＞0）．
（1）求b的值．
（2）求x1•x2的值．
（3）分别过M，N作直线l：y=﹣1的垂线，垂足分别是 M1和N1．判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．
（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线 m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．

一元二次方程根与系数的关系在初中数学中的应用除了上述内容外，还有许多其它应用，由于近年中考涉及不多，本文不多详谈。例如，
 证明等式或不等式。
例1：如果一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)的两根之比为2：3，求证：6b2＝25a c。
例2：已知a，b，c为实数，且满足条件：a＝6－b，c2＝ab－9，求证a=b。
求解具有对称性质的方程（组）。
例1：解方程。
例2：解方程。
例3：：解方程组。

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