第五课时异面直线1.doc

苏教版必修2 第一章 立体几何初步 第五课时
第五课时 异面直线

1学习目标
1．深化对异面直线定义的理解；
2．理解异面直线所成角的定义和范围，能通过平移的方法将异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角；
3．进一步体会空间问题平面化的解题策略．
1重点难点
重点：异面直线所成角的定义，异面直线的判定。
难点：将异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角，异面直线的证明。
1教学过程
一、问题情境
D1
B1
A1
C1
D
A
B
C
A
1
问题1．操场上旗杆所在的直线和一条跑道所在的直线有何关系？是否存在一个平面同时经过这两条直线？
问题2．不同的异面直线间的相互倾斜程度也不同，怎样来刻画这种不同呢？
问题3． 如图在正方体中和对角线C1A异面的棱有哪几条？
三、建构数学
1．异面直线的定义：
2． 异面直线的直观图画法：
3．异面直线的判定定理：
符号表示：
证明：
问题4.思考如何刻画异面直线间的相互倾斜程度？平面内两条直线的相互倾斜程度是用什么来刻画的？
4．两条异面直线所成的角的定义：
异面直线垂直：
异面直线所成角θ的取值范围：
问题5.利用异面直线的模型，思考如何将空间角转化成平面角？如何平移两条异面直线成为相交直线？
异面直线所成角的一般步骤：

C

1
1
D1
B1
A1
C1
D
A
B
C
四、数学运用
例1　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
（1）求直线A1A与直线CB所成的角的度数；
（2）求直线A1B与直线C1C所成的角的度数；
（3）求直线A1B与直线B1C所成的角的度数．

B
C
D
A
E
F
例2　空间四边形ABCD中，E，F分别是对角线BD，AC的中点，
（1）若BC＝AD＝2EF，求直线EF与AD所成角的大小．
（2）若AB＝8，CD＝6，EF＝5，求AB与CD所成角的大小．

例3 已知α∩β＝a，bβ，a∩b＝A，cα，c∥a，求证b、c是异面直线.

例4 正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BB1的中点，求A1E与C1F所成角的余弦值.

1课堂小结
1．异面直线的判定定理；
2．异面直线所成角的定义；
3． 通过平移将异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角去求，平移的方法主要有：构造中位线，构造平行四边形或成比例线段等等．

1巩固练习．
1.指出下列命题是否正确，并说明理由．
①过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线．
②过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直．
③若a∥b，c⊥a则b⊥c．
④若c⊥a，b⊥c则a∥b．
⑤分别与两条异面直线a，b都相交的两条直线c，d一定异面．

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1所成角为60°的面对角线有 条．

3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与BD1成异面直线的有_________条.

4.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q是相应棱的中点，则
(1)MN与PQ的位置关系是_________，它们所成的角是_________.
(2)MN与B1D的位置关系是_________，它们所成的角是_________.
(3)异面直线MN与B1D1间的距离为______.

5.在空间四边形ABCD中，对角线AC＝BD＝2a，M、N分别是边AB、CD的中点，若MN＝a，则AC和BD所成的角为______，MN和AC所成的
角为______.

6.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，M是DC的中点，AD＝AA1＝，AB＝2，那么
(1)AA1与BC1所成角的度数是_____；
(2)DA1与BC1所成角的度数是_____；
(3)BC1与D1M所成角的余弦是_____.

7.在空间四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，若AC＝6，BD＝4，M、N分别是AB、CD的中点，则MN＝______，MN与BD所成角的正切值为______.

8.空间四边形ABCD的各边与两条对角线的长都为1，点P在边AB上移动，点Q在边CD上移动，则点P和点Q的最短距离为_________.

9.如图，空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，
F、G分别是CB、CD上的点且＝＝，若BD＝6 cm，
梯形EFGH的面积为28 cm2，则平行线EH与FG间的距离为_________.

10.已知不共面的三直线a、b、c相交于点O，M、P是a上两点，N、Q分别在b、c上 ．求证：MN、PQ异面．
N
a
a
c
b
O
M
Q
P

11.如图在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．
①求证：四边形EFGH是平行四边形；
A
B
F
C
D
H
E
G
②若AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形；
③当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形?

12．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q分别是正方形ABB1A1、BCC1B1的中心.
(1)求证：A1Q与D1P是异面直线；
(2)求异面直线A1Q与D1P所成角的余弦值.

13．如图空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD所成的角为θ，AC＝a，BD＝b(a、b是常数)，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，当θ为何值时，四边形EFGH的面积最大？最大值是多少？

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