函数的表示法(第1.2课时).doc

1.2.2函数的表示方法函数

学习札记
◇ 预习目标◇
明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

◇问题引导，自我探究◇
一、 基本概念
1．函数的三种表示方法是（ ），（ ），（ ）
它们各自的优点是什么？
2．画函数图象的一般步骤是：
3．什么是分段函数？
4．分段函数的定义域是各段定义域的（ ）集，其值域是各段值域的（ ）集。
◇ 自学测试◇
1．下列各图中，可表示函数y＝f（x）的图象的只可能是（　　）

2．若f(x)=2x-1 则f(x-1)= 若f(x+1)= , 则 f(x)=

3.三个分段函数的作图

课题： 1.2.2函数的表示方法（第1课时）

学习札记
〖学习目标及要求〗：
教学要求：（1）明确函数的三种表示方法；
（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；
（4）纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识．
教学重点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
教学难点：分段函数的表示及其图象。
〖讲学过程〗：
一、预习反馈:

二、探究精讲:
探究一：复习准备：
1.提问：函数的概念？函数的三要素？
2.引入: 到了火车站之后,我们都要先看下面的列车时刻表,以便购买票乘车,那么这个列车时刻表怎样反映了函数的关系?表示函数还有哪些方式?

车次
类型
始发站
始发时
到达站
到达时
终点站
终点时
T85
空调特快
北京
17:01
济南
21:46
苏州
6:54
1348/1345
空调特快
长春
16:19
济南
9:55
上海西
22:48

3.讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.

探究二：常用的函数表示法及各自的优点：
（1）解析法；将两个变量的函数关系，用一个等式表示：
如等。

(2）图象法；

（3）列表法．（列出表格表示两个变量的函数关系）：
如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。

探究三：新课教学
（一）典型例题
例1． 某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．
分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．
解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}
用解析法可将函数表示为y=5x, x∈{1,2,3,4,5}
用列表法可以将函数y=f(x)表示为：
笔记本数x
1
2
3
4
5
钱数y
5
10
15
20
25
用图象法可以将函数y=f(x)表示为(如右图)：
注意：
1.函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据:平行于y轴的直线(或y轴)与图像之多有个交点.

2. 解析法：必须注明函数的定义域；
3. 图象法：是否连线；(图中的虚线不是函数图像的组成部分,之所以用虚线连接散点,主要是为了比较方便)
4. 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．

提问: 所有函数都能用解析式表示吗?举一些例子启发学生(例如普查人口数据图)还有函数的概念中的实例2臭氧空洞问题和实例3恩格尔系数

说明:结合实例说明三种表示法 → 比较优点
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：一是简明,全面地概况了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段所研究的主要是能用解析式表示的函数.
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应自变量的变化,相应的函数值的变化的趋势。图像法在生产和生活中有许多应用,如企业生产图,股票走势图等.
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值。表格在实际生产和生活中也有广泛应用.如银行利率表,列车时刻表等
课本P23练习第1题
例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：

第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
王 伟
98
87
91
92
88
95
张 城
90
76
88
75
86
80
赵 磊
68
65
73
72
75
82
班平均分
88．2
78．3
85．4
80．3
75．7
82．6
请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？
解:利用表格给出的四个函数,它们分别表示王伟,张城,赵磊的各次成绩及各次考试的班级平均分.但不太容易分析每位同学的成绩变化情况.如果将”成绩”与”测试序号”之间的关系用函数图像表示出来就比较直观的看到成绩变化的情况.看出四个函数。王伟同学的数学成绩始终高于班级的平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀。张城同学的数学成绩不稳定。总是在班级平均水平上下波动，而且幅度较大。赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高。
注意：
本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点；本例能否用解析法？为什么？不能,找不到变化规律写不出解析式
巩固练习：
课本P23习题 2题

课题： 1.2.2函数的表示方法（第2课时）

例3．画出函数y = | x |的图象 ．（目的：1进一步体会数形结合在理解函数中的重要作用。2为介绍分段函数作准备）
解：由绝对值的概念,我们有

从图像中可以看出时的图象不同，此函数因x的取值范围不同。解析式而不同。
（比较一下这个函数的与以前函数的区别）再有回顾一下初中去绝对值的问题。正数是本身，零还是零，负数是它的相反数。最后从图像中看看与原函数的不一样。
分析:进一步体会数形结合在理解函数中的重要性,并为分段函数作准备.
巩固练习：作出y=|x+2|的图像。主要练习去绝对值。

拓展练习：
任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系．
y=f(x)保留x轴上方图象再把x轴下方的图像对称到上方y=|f(x）|
y=f(x)保留y轴在右边的图象，再把y轴右边的图像对称到y轴左边y=f(|x|)
(二) 作函数图像
1.作函数图像的基本步骤:
①先求函数定义域;②化简函数解析式;③列表;④描点;⑤连线
作图时,应注意抓住函数的特征,如抓住定义域的分界值,图像上的特征点(与x轴,y轴的交点),图像随x增大的趋势等来辅助图.
2.作函数图象的五要素：x轴，y轴，两轴上的长度单位和坐标原点。不仅要依据函数的解析式，而且还必须考虑它的定义域。
2.带绝对值号的简单函数的图像.
作该类函数图像的基本方法是:先求函数的定义域,然后化简函数解析式,就是去绝对值号.①带一个绝对值号的函数,根据绝对值的意义去绝对值号;②带两个或两个以上绝对值号的问题,常用”零点分段法”去绝对值号,从而把函数写成分段函数的形式,然后作图.

例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：
（1） 乘坐汽车5公里以内，票价2元；
（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．
已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．
解：设票价为y，里程为x，则根据题意，如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站，那么汽车行驶的里程约为20公里，所以自变量x的取值范围是(0,20].
由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：
y=
根据这个函数解析式，可画出函数图象，如图向上面那样表示的函数称为分段函数.函数与自变量的关系不是只满足一个式子,而是在不同范围内有不同的对应关系这样的函数关系就叫分段函数.分段函数的定义域应为各段上自变量取值的并集,值域是各段值域的并集.写定义域时区间端点应不重不漏.
注意：本题具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；
本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？
小结：(１)．表示函数的式子可以不止一个，对于分几个式子表示的函数，不是几个函数而是一个分段函数.
(２)．函数的图象不一定是一条式几条无限长的平滑曲线，也可以是一些孤立的点，一些线段，曲线。
（3）分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表 达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
4 归纳小结，强化思想
理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法．
5 作业布置

1.国内投寄信函（外埠），邮资接下列规则计算：①信函质量不超过100g时,每20克付邮资80分，即信函质量不超过20g，付邮资80分,信函质量超过20g，但不超过40g付邮资160分，依此类推。(不足20克按20克计)
②信函质量超过100g，但不超过200g付邮资（A+200）分（A为质量等于100g的信函的邮资），信函质量超过200g，但不超过300g付邮资（A+400）分，依此类推。
设一封xg（0<x） 的信函应付的邮资为y（单位：分），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图象。
解：这个函数的定义域（0,200），函数解析式为:
y=
拓展练习：
1. y=f(x),y=|x|,y=f(|x|)的图像。

2.
3. 试画出y=|x-1|的图像。
4. 试画出y=|x-1|+|x+2|的图像。

感悟归纳一：

感悟归纳二：

感悟归纳三：