反比例函数的图象与性质.doc

                     反比例函数的图象与性质

一、知识与技能

1．进一步熟悉画函数图象的主要步骤，会画反比例函数的图象。

2．体会函数三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合。

3．逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质。

二、过程与方法

1．经历反比例函数主要性质的发现过程。

2．体会分类讨论思想、数形结合思想的运用。

三、情感态度与价值观

1．积极参与探索活动，多和同伴交流看法。

2．在动手画图的过程中，体会做中学的乐趣，养成勤于动手，乐于探究的好习惯。教学重点、难点

重点：掌握反比例函数的画图。

难点：反比例函数三种表示方法的相互转换。
[教学过程]
活动一  情景导入  激发兴趣
复习巩固
   1、什么是反比例函数？
      答：形如的函数称为反比例函数
   2、作出一次函数的图象，图象是什么形状？作图的步骤是什么？
      答：一次函数的图象是一条直线，作图的步骤包括列表、描点、连线。

引入课题
3、由问题2，猜测：反比例函数的图象会是什么形状呢？我们可以用什么方法画这个反比例函数的图象？
    答：（学生自由猜测，教师引导学生对比反比例函数与一次函数的不同）

活动二  类比联想  探索交流
1、画出反比例函数与的图象（图一）

（图一）
教师先引导学生思考，示范画出反比例函数的图象再让学生尝试画出反比例函数的图象。

描点法作图

连线

描点

   在作图过程中，启发学生类比画一次函数的图象的过程；探索反比例函数的图象作图步骤：

教师在活动中应重点关注：
（1）启发学生反比例函数与一次函数的作图基本步骤是一致的。但是在具体的作图过程中又有它自己的特点，和学生一起体会其中的共性和特性。
（2）①列表时，关注学生是否注意到自变量的取值应使函数有意义（即）同时，所取的点既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或是太小，以便于描点和全面反映图象的特征。②描点时，一般情况下所选的点越多则图象越精细，③连线时，让学生根据已经描好的点先思考：图象有没有可能是直线。学生自主探究发现图象特点后，引导学生用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接各点，得到反比例函数的图象。
2、学生分组画出反比例函数与的图象。(图二)

(图二)
教学中，教师可以针对学生做反函数图象常出现的问题（图三）引发学生思考：
①学生作图时，没有将曲线的两支断开，而是用线段将两支连在一起
②对于图象的延伸部分，学生容易画成圆的图象的一部分，没有让延伸部分逐渐靠近坐标轴，或者是延伸部分与坐标轴有交点。
③用线段连接图象。
④图象没有画成向两坐标轴不断趋近
作图中常见问题：

（图三）
（3）学生能否通过观察发现反比例函数的对称性，并利用对称性找到比较快捷的画图方法

通过充分讨论，师生共同总结：
a.反比例函数的图象是双曲线，双曲线的两支是段开的，每一支随着的不断增大（或减小），曲线会越来越接近坐标轴。
b.反比例函数的图象是轴对称图形，图象关于一、三象限角平分线、二、四象限角平分线对称。
活动三  探索比较  发现规律
以四人小组为单位做游戏：每人手中拿一种函数的图象，观察函数与的图象以及与的图象，找一找它们之中谁和谁可以成为好朋友？
学生讨论分类：
分类一：观察与的图象特征（图四）
归纳总结1：当时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内 随值的增大而减小
分类二：观察与的图象特征（图五）
归纳总结2：当时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，
在每个象限内随值的增大而增大
分类三：观察与的图象特征（图六）
归纳总结3：在同一直角坐标系内两个反比例函数的即关于轴对称，也关于轴对称，具有对称关系的两个反比例函数的值互为相反数。

活动四  运用新知 拓展训练
问题
（1）你问我答：请一位同学构造一个反比例函数，他的同桌指出这个反比例函数图象所在的象限，以及函数值随自变量变化的变化情况。
（2）已知反比例函数，分别根据下列条件求出字母的取值范围，
①函数图象位于第一、三象限；
②在第一象限内，随的增大而减小
（3）在函数的图象上有三点
，则函数值的大小关系是？
（4）反比例函数的图象上有点（1，6），分别做点与坐标轴的垂线，试求垂线与坐标轴围成的矩形 的面积。用相同方法求一下（2，3），（-3，2）的垂线与坐标轴围成的矩形的面积。
猜测一下：
a:对于任意一个在函数图象上的点，它与两坐标轴的垂线与坐标轴围成的矩形的面积有什么规律？
b：推广：对于任意一个在图象上的点，它与轴的垂线、原点的连线以及坐标轴围成的三角形的面积有什么规律？

拓展练习是为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题，学生在研究每一问特点时，能够紧扣性质进行分析，达到理解并掌握性质的目的。

活动五  归纳总结  强化概念
归纳总结 布置作业
1、本节课你学习了哪些知识？填写表格
反比例函数

的符号

图象

所在象限
一、三象限
二、四象限
的变化情况
在每个象限内随值的增大而减小
在每个象限内随值的增大而增大
对称性
当互为相反数时，对应的反比例函数图象既关于轴对称，也关于轴对称

教学设计意图：
     本节课首先由老师引导学生回顾描点法画函数图像的方法，激活学生原有的知识，然后引导学生画反比例函数图像，并让学生通过观察图像，探究分析，得出反比例函数的性质，让学生经历知识的产生和行成过程，避免学生的知识由老师灌输得到，充分调动学生自己动手，主动探索，在观察，感受，讨论，发现，探究总结，合作与交流中体会到了参与的乐趣，成功的喜悦和感知数学的奇妙。把新课程改革的精神落实到教育教学中的每一个细节。