高三数学综合七.doc

2015届高三调研测试试卷(七)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
球的表面积为S＝4πR2，其中R表示球的半径．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知全集U＝{0，1，2，3}，集合A＝{0，1}，B＝{1，2，3}，则(∁UA)∩B＝________．
2. 已知i是虚数单位，实数a，b满足(3＋4i)(a＋bi)＝10i，则3a－4b的值是________．
3. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10 000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2 500，3 000)(元)内应抽出________人．
(第3题)
4. 如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是________．
　　　　(第4题)

5. 若一个长方体的长、宽、高分别为、、1，则它的外接球的表面积是________．
6. 从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是________．
7. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2a8＝2a3a6，S5＝－62，则a1的值是____________．
8. 已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若以F为圆心的圆x2＋y2－6x＋5＝0与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为________．
9. 由命题“x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是__________．
10. 已知实数x、y满足约束条件(k为常数)，若目标函数z＝2x＋y的最大值是，则实数k的值是__________．
11. 已知函数f(x)＝当t∈[0，1]时，f(f(t))∈[0，1]，则实数t的取值范围是______________．
12. 已知角φ的终边经过点P(1，－1)，点A(x1，y1)、B(x2，y2)是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点，若|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，则f的值是____________．
13. 若对满足条件x＋y＋3＝xy(x＞0，y＞0)的任意x、y，(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是____________．

14. 如图，在等腰三角形ABC中，已知AB＝AC＝1，A＝120°，E，F分别是边AB、AC上的点，且＝m，＝n，其中m，n∈(0，1)．若EF、BC的中点分别为M、N，且m＋4n＝1，，则||的最小值为________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在△ABC中，已知(sinA＋sinB＋sinC)(sinB＋sinC－sinA)＝3sinBsinC.
(1) 求角A的值；
(2) 求sinB－cosC的最大值．
16. (本小题满分14分)
如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC＝CA＝，AD＝CD＝1.
(1) 求证：BD⊥AA1；
(2) 若E为棱BC的中点，求证：AE∥平面DCC1D1.

17.(本小题满分14分)
如图，两座建筑物AB、CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9 m和15 m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD＝45°.
(1) 求BC的长度；
(2) 在线段BC上取一点P(点P与点B、C不重合)，从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB＝α，∠DPC＝β，问点P在何处时，α＋β最小？

18. (本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，且过点，.
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 若点A、B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线AP交l于点M.
(ⅰ) 设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2.求证：k1·k2为定值；
(ⅱ) 设过点M垂直于PB的直线为m.求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．

19. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝ax＋x2－xlna(a＞0，a≠1)．
(1) 求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2) 求函数f(x)的单调增区间；
(3) 若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1(e是自然对数的底数)，求实数a的取值范围．
20. (本小题满分16分)
已知a＞0，b＜0，且a＋b≠0，令a1＝a，b1＝b，且对任意的正整数k，当ak＋bk≥0时，ak＋1＝ak－bk，bk＋1＝bk；当ak＋bk＜0时，bk＋1＝－ak＋bk，ak＋1＝ak.
(1) 求数列{an＋bn}的通项公式；
(2) 若对任意的正整数n，an＋bn＜0恒成立，问是否存在a、b使得{bn}为等比数列？若存在，求点a、b满足的条件；若不存在，说明理由；
(3) 若对任意的正整数n，an＋bn＜0，且b2n＝b2n＋1，求数列{bn}的通项公式.

2013届高三调研测试试卷(一)
数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. 选修41：几何证明选讲(本小题满分10分)
如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC＝AB.求证：FG∥AC.

B. 选修42：矩阵与变换(本小题满分10分)
若圆C：x2＋y2＝1在矩阵A＝(a＞0，b＞0)对应的变换下变成椭圆E：＋＝1，求矩阵A的逆矩阵A－1.

C. 选修44：坐标系与参数方程(本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数，r＞0)．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝1.若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r的值．
D. 选修45：不等式选讲(本小题满分10分)
已知实数x、y、z满足x＋y＋z＝2，求2x2＋3y2＋z2的最小值．

【必做题】 第22题、第23题，每题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 如图，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)两点，T为抛物线的准线与x轴的交点．
(1) 若·＝1，求直线l的斜率；
(2) 求∠ATF的最大值．

23. 已知数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1(n∈N*)，且a1＝3.
(1) 计算a2，a3，a4的值，由此猜想数列{an}的通项公式，并给出证明；
(2) 求证：当n≥2时，a≥4nn.

2013届高三调研测试试卷(一)(徐州)
数学参考答案及评分标准

1. {2，3}　2. 0　3. 25　4. 54　5. 6π　6. 　7. －2　8. 　9. 1　10. －3
11. [log3，1]　12. －　13. 　14.
15. 解：(1) 因为(sinA＋sinB＋sinC)(sinB＋sinC－sinA)＝3sinBsinC，
由正弦定理，得(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，(2分)
所以b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝，(4分)
因为A∈(0，π)，所以A＝.(6分)
(2) 由A＝，得B＋C＝，所以sinB－cosC＝sinB－cos
＝sinB－＝sin，(10分)
因为0＜B＜，所以＜B＋＜，(12分)
当B＋＝，即B＝时，sinB－cosC的最大值为1.(14分)
16. 证明：(1) 在四边形ABCD中，因为BA＝BC，DA＝DC，所以BD⊥AC，(2分)
又平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C⊥平面ABCD＝AC，
BD平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C，(4分)
又AA1平面AA1C1C，所以BD⊥AA1.(7分)
(2) 在三角形ABC中，因为AB＝AC，且E为BC的中点，所以AE⊥BC，(9分)
又在四边形ABCD中，AB＝BC＝CA＝，DA＝DC＝1，
所以∠ACB＝60°，∠ACD＝30°，所以DC⊥BC，所以AE∥DC，(12分)
因为DC平面DCC1D1，AE平面DCC1D1，所以AE∥平面DCC1D1.(14分)
17. 解：(1) 作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝9，DE＝6，设BC＝x，
则tan∠CAD＝tan(∠CAE＋∠DAE)＝(2分)
＝＝1，化简得x2－15x－54＝0，解之得x＝18或x＝－3(舍)．
故BC的长度为18 m．(6分)
(2) 设BP＝t，则CP＝18－t(0＜t＜18)，
tan(α＋β)＝＝＝.(8分)
设f(t)＝，f′(t)＝，令f′(t)＝0，因为0＜t＜18，得t＝15－27，
当t∈(0，15－27)时，f′(t)＜0，f(t)是减函数；当t∈(15－27，18)时，f′(t)＞0，f(t)是增函数，
所以，当t＝15－27时，f(t)取得最小值，即tan(α＋β)取得最小值，(12分)
因为－t2＋18t－135＜0恒成立，所以f(t)＜0，所以tan(α＋β)＜0，α＋β∈，
因为y＝tanx在上是增函数，所以当t＝15－27时，α＋β取得最小值．
故当BP为(15－27)m时，α＋β取得最小值．(14分)
18. (1) 解：由题意得2c＝2，所以c＝1，又＋＝1，(2分)
消去a，可得2b4－5b2－3＝0，解得b2＝3或b2＝－(舍去)，则a2＝4，
所以椭圆E的方程为＋＝1.(4分)
证明：(2) (ⅰ) 设P(x1，y1)(y1≠0)，M(2，y0)，则k1＝，k2＝，
因为A、P、B三点共线，所以y0＝，所以k1k2＝＝，(8分)
因为P(x1，y1)在椭圆上，所以y＝(4－x)，故k1k2＝＝－为定值．(10分)
(ⅱ) 直线BP的斜率为k2＝，直线m的斜率为km＝，
则直线m的方程为y－y0＝(x－2)，(12分)
y＝(x－2)＋y0＝x－＋＝x＋
＝x＋＝x＋＝(x＋1)，
所以直线m过定点(－1，0)．(16分)
19. 解：(1) 因为函数f(x)＝ax＋x2－xlna(a＞0，a≠1)，
所以f′(x)＝axlna＋2x－lna，f′(0)＝0，(2分)
又因为f(0)＝1，所以函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(4分)
(2) 由(1)，f′(x)＝axlna＋2x－lna＝2x＋(ax－1)lna.
因为当a＞0，a≠1时，总有f′(x)在R上是增函数，(8分)
又f′(0)＝0，所以不等式f′(x)＞0的解集为(0，＋∞)，
故函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．(10分)
(3) 因为存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1成立，
而当x∈[－1，1]时，|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min，
所以只要f(x)max－f(x)min≥e－1即可．(12分)
又因为x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：

x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)

极小值

所以f(x)在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数，所以当x∈[－1，1]时，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝1，f(x)的最大值f(x)max为f(－1)和f(1)中的最大值．
因为f(1)－f(－1)＝(a＋1－lna)－＝a－－2lna，
令g(a)＝a－－2lna(a＞0)，因为g′(a)＝1＋－＝＞0，
所以g(a)＝a－－2lna在a∈(0，＋∞)上是增函数．
而g(1)＝0，故当a＞1时，g(a)＞0，即f(1)＞f(－1)；
当0＜a＜1时，g(a)＜0，即f(1)＜f(－1)．(14分)
所以，当a＞1时，f(1)－f(0)≥e－1，即a－lna≥e－1，函数y＝a－lna在a∈(1，＋∞)上是增函数，解得a≥e；当0＜a＜1时，f(－1)－f(0)≥e－1，即＋lna≥e－1，函数y＝＋lna在a∈(0，1)上是减函数，解得0＜a＜.
综上可知，所求a的取值范围为a∈∪[e，＋∞)．(16分)
20. 解：(1) 当an＋bn≥0时，an＋1＝an－bn且bn＋1＝bn，
所以an＋1＋bn＋1＝an－bn＋bn＝(an＋bn)．(2分)
又当an＋bn＜0时，bn＋1＝－an＋bn且an＋1＝an，
an＋1＋bn＋1＝an－an＋bn＝(an＋bn)，(4分)
因此，数列{an＋bn}是以a＋b为首项，为公比的等比数列，
所以an＋bn＝(a＋b).(5分)
(2) 因为an＋bn＜0，所以an＋1＝an，所以an＝a，
bn＝(a＋b)－an＝(a＋b)－a，(8分)
假设存在a、b使得{bn}能构成等比数列，则b1＝b，b2＝，b3＝，
故＝b，化简得a＋b＝0，与题中a＋b≠0矛盾，
故不存在a、b使得{bn}为等比数列．(10分)
(3) 因为an＋bn＜0且b2n＝b2n＋1，所以b2n＝－a2n－1＋b2n－1，
所以b2n＋1＝－a2n－1＋b2n－1＝－a2n－1＋b2n－1－b2n－1，
所以(b2n＋1－b2n－1)＝－(a2n－1＋b2n－1)．(12分)
由(1)知，a2n－1＋b2n－1＝(a＋b)，所以b2n＋1－b2n－1＝－，
b2n－1＝b1＋(b3－b1)＋…＋(b2n－1－b2n－3)
＝b－
＝b－＝b－，(13分)
b2n＝b2n＋1＝b－，(14分)
所以，bn＝(16分)

2013届高三调研测试试卷(一)(徐州)
数学附加题参考答案及评分标准

21. A．证明：因为AB为切线，AE为割线，所以AB2＝AD·AE.
因为AC＝AB，所以AD·AE＝AC2.(4分)
所以＝.又∠EAC＝∠DAC，所以△ADC∽△ACE，
所以∠ADC＝∠ACE.又∠ADC＝∠EGF，所以∠EGF＝∠ACE，
所以GF∥AC.(10分)
B. 解：设点P(x，y)为圆C：x2＋y2＝1上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为P′(x′，y′)，
则＝＝，所以(2分)
因为点P′(x′，y′)在椭圆E：＋＝1上，所以＋＝1.(4分)
又圆方程为x2＋y2＝1，故即又a>0，b>0，所以a＝2，b＝.
所以A＝，(6分)
所以A－1＝.(10分)
C. 解：因为圆C的参数方程为(θ为参数，r>0)，消去参数得，＋＝r2(r>0)，所以圆心C，半径为r.(3分)
因为直线l的极坐标方程为ρsin＝1，化为普通方程为x＋y＝，(6分)
圆心C到直线x＋y＝的距离为d＝＝2，(8分)
又圆C上的点到直线l的最大距离为3，即d＋r＝3，所以r＝3－2＝1.(10分)
D. 解：由柯西不等式，得(x＋y＋z)2≤·，(5分)
因为x＋y＋z＝2，所以2x2＋3y2＋z2≥，
当且仅当＝＝，即x＝，y＝，z＝时，等号成立，
所以2x2＋3y2＋z2的最小值为.(10分)
22. 解：(1) 因为抛物线y2＝4x焦点为F(1，0)，T(－1，0)．当l⊥x轴时，A(1，2)，B(1，－2)，此时·＝0，与·＝1矛盾，(2分)
所以设直线l的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝1, ①所以yy＝16x1x2＝16，所以y1y2＝－4.②(4分)
因为·＝1，所以(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝1，将①②代入并整理得，k2＝4，
所以k＝±2.(6分)
(2) 因为y1>0，所以tan∠ATF＝＝＝≤1，当且仅当＝，即y1＝2时，取等号，所以∠ATF≤，所以∠ATF的最大值为.(10分)
23. 解：(1) a2＝4，a3＝5，a4＝6，猜想：an＝n＋2(n∈N*)．(2分)
①当n＝1时，a1＝3，结论成立；
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，即ak＝k＋2，
则当n＝k＋1时，ak＋1＝a－kak＋1＝(k＋2)2－k(k＋2)＋1＝k＋3＝(k＋1)＋2，
即当n＝k＋1时，结论也成立，由①②得，数列{an}的通项公式为an＝n＋2(n∈N*)．(5分)
(2) 原不等式等价于≥4.
证明：显然，当n＝2时，等号成立；
当n>2时，＝C＋C＋C＋…＋C≥C＋C＋C＋C>C＋C＋C＝5－>4，
综上所述，当n≥2时，a≥4nn.(10分)