尽心尽力.docx

22.1一元二次方程
教学内容
本节课主要学习一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．
教学目标
知识技能 探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识。
解决问题 培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养。
情感态度 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．
重点﹑难点
重点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用．
难点：根的作用的理解．
教学过程
一、 情境引入
二、 探索新知
（1）上面几个方程整理后含有几个未知数？
（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？
（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？
归纳：像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）．
三、 反馈练习
四、 应用拓展
例3：求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
证明：m2-8m+17=（m-4）2+1
∵（m-4）2≥0
∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
五、 小结作业
（1）一元二次方程的概念；
（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用；
（3）一元二次方程根的概念以及作用
七　、教学反思：

22.2降次——解一元二次方程（1）
教学内容
本节课主要学习运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．．
教学目标
知识技能 运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程．
数学思考 通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程．
解决问题 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．
情感态度 体会由未知向已知转化的思想方法．
重点与难点
重点：运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程．
难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．
教学过程
一、 复习引入
二、 探索新知
（1）； （2）
归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．即，如果方程能化成或的形式，那么直接开平方可得或．
三、 反馈练习
四、 应用拓展
例：市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．
解：设每年人均住房面积增长率为x，
则：10（1+x）2=14.4
（1+x）2=1.44
直接开平方，得1+x=±1.2
即1+x=1.2，1+x=-1.2
所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．
所以，每年人均住房面积增长率应为20%．
五、 小结作业
六、 教学反思：

22.2降次——解一元二次方程（2）
教学内容
本节课主要学习运用配方法，即通过变形运用开平方法降次解方程。
教学目标
知识技能 探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程．
数学思考 在探索配方法时，使学生感受前后知识的联系，体会配方的过程以及方法。
解决问题 渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法．
情感态度 继续体会由未知向已知转化的思想方法．
重难点、关键
重点：用配方法解一元二次方程．
难点：正确理解把形的代数式配成完全平方式.
关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．
教学过程
一、 复习引入
二、 探索新知
归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程。
配方法解方程时应该遵循的步骤：
（1）把方程化为一般形式；
（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；
（3）方程两边同时除以二次项系数a；
（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．
三、 反馈练习
四、 小结作业 总结用配方法解一元二次方程的步骤。
（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．．
　五、教学反思：

22.2降次——解一元二次方程（3）
教学内容
本节课主要学习用公式法解一元二次方程。
教学目标
知识技能 掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程．
数学思考 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性．
解决问题 培养学生准确快速的计算能力．
情感态度 通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识；通过求根公式的推导，渗透分类的思想．
重难点、关键
重点：求根公式的推导及 用公式法解一元二次方程．
难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解．
关键：掌握一元二次方程的求根公式，并应用求根公式法解简单的一元二次方程．
教学过程
一、 复习引入
1.用配方法解下列方程：（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52
复习配方法解一元二次方程，为继续学习公式法引入作好铺垫．
二、 探索新知
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，用配方法推导它的两个根为x1=，x2=
（）是一元二次方程的求根公式
归纳：
（1）一元二次方程的根是由一元二次方程的系数确定的；
（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在的前提下，把的值代入 （）中，可求得方程的两个根；
（3）我们把公式（）称为一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；
（4）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．
三、 反馈练习
四、 应用拓展
例：某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元一次方程m是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．
（2）要使它为一元一次方程，必须满足:
①或②或③

五、 小结作业
（1）求根公式的概念及其推导过程；
（2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程；
六、 教学反思：

22.2降次——解一元二次方程（4）
教学内容
本节课主要学习用根的判别式b2-4ac来判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用。
教学目标
知识技能 掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．
数学思考 从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目。
解决问题 用根的判别式b2-4ac来判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况．
情感态度 继续体会由未知向已知转化的思想方法．
重难点、关键
重点：理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况．
难点：用根的判别式b2-4ac来判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的应用.
关键：从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系．
教学过程
一、 复习引入
二、 探索新知
得出结论：
（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1=，x2=．
（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=．
（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．
三、 反馈练习例：不解方程，判定方程根的情况
四、 应用拓展
例1：某养鸡厂的矩形鸡舍长靠墙．现在有材料可以制作竹篱笆13米，若欲围成20平方米的鸡舍，鸡舍的长和宽应是多少？能围成22平方米的鸡舍吗，若可以求出长和宽，若不能说明理由．
（1）学生是否能够迅速设出未知数，列出方程；
（2）学生是否能够准确判断问题的答案；
（3）学生能否选择合理的解决问题的方案．
五、 小结作业
1. b2-4ac>0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；
2. b2-4ac=0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；
3. b2-4ac<0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的运用．
六、 教学反思：

22.2降次——解一元二次方程（5）
教学内容
本节课主要学习用因式分解法解一元二次方程。
教学目标
知识技能 1．应用分解因式法解一些一元二次方程．
2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．
情感态度 使学生知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，
重难点、关键
重点：应用分解因式法解一元二次方程．
难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.
关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法，感悟用因式分解法使解题简便．
教
教学过程
一、 复习引入
二、 探索新知
归纳：1.利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．
2.配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程．
3.解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．
三、 反馈练习
四、 拓展提高
例1．已知9a2-4b2=0，求代数式的值．
五、 小结作业
（1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．
（2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：
联系：①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．
②公式法是由配方法推导而得到．
③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．
区别：①配方法要先配方，再开方求根．
②公式法直接利用公式求根．
③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0。
　六、 教学反思：

22.2.降次——解一元二次方程（习题课）
【学习目标】
1、 会灵活选用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程。并能说出各种解法的要点及注意的问题。
2、 能利用b2-4ac来判断一元二次方程根的情况；同时能根据根的情况来判断某些字母系数的取值范围。
3、 会列一元二次方程解简单实际问题，并对结果作合理的解释。
【学习过程】
一、自主学习：
自学课本Ｐ35---P44内容，思考下列问题：
1、 一元二次方程的解法有哪几种？其基本思想是什么？它们之间有什么区别和联系？
2、 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？配方的关键是什么？
3、 用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？求根公式是怎样推导出来的？
4、 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？
5、 如何利用b2-4ac来判断一元二次方程根的情况？都是有哪几种情况？
6、 求取的方程的解都符合题意吗？有什么判断依据？
交流与点拨：
师生共同思考以上几个问题，在解一元二次方程时，往往首先把方程转化成一般形式，然后再去观察到底使用那种方法。注意配方法的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方（二次项系数为1时）。求根公式不要死记，要掌握推导过程。b2-4ac来判断一元二次方程根的情况是考点，要灵活掌握。
二、巩固练习
三、小结作业
四、教学反思：
1、 解一元二次方程时，首先把方程转化成一般形式观察，首先考虑因式分解法，若不行再选择其它方法。
2、 解方程时要细心，注意符号运算及每一步细节。
3、 遇实际问题时，方程的解要符合实际意义。
4、 b2-4ac来判断一元二次方程根的情况；同时能根据根的情况来判断某些字母系数的取值范围。
一元二次方程的根与系数的关系
教学目标
（1）掌握一元二次方程根与系数的关系。
（2）能运用根与系数的关系求：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数；
根据方程求代数式的值。
（3）学生经历观察→发现→猜想→证明的思维过程，培养学生的分析能力和解决问
题的能力。
教学重点：一元二次方程根与系数的关系。
教学难点：运用韦达定理解决问题。
教学过程：
一． 创设情景。
同学们，我们在前面学习过用公式法解一元二次方程，在那里，我们已经看出：一元二次方程的根由系数决定，这说明一元二次方程的根与系数有密切的关系，究竟有怎样的关系呢？那我们今天和大家一起来探索。
二． 探索新知。
1． 请大家完成下面的表格：
方程
x
x

x

2.观擦上面的规律，运用你发现的规律填空：
（1）已知方程x的根是x和x，则= ；=
（2）已知方程x+3x－5=0的根是x和x，则= ；=
猜想：如果方程的根是x和x，则= ；=
4．同学们通过自己的计算证明。
三． 应用新知。
例1． 已知方程的一个根是3，求方程的另一个根及c的值。
例2． 已知方程的根是x和x，求下列式子的值：
（1） + （2）
四． 自主练习
五． 小结作业:
六． 课后反思。

22.3实际问题与一元二次方程（第1课时）
【学习目标】
1、 会根据具体问题（按一定传播速度传播问题和平均增长率或降低率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解。
2、 能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。
3、 进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键。
【学习过程】
一、复习回顾：
1、解一元二次方程都是有哪些方法？
2、列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？
①审题；②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答
二、自主学习：
（一）自学课本Ｐ48探究1
交流与点拨：
学生可在交流中解决问题，教师深入小组讨论，对疑惑较多的问题要点拨；前两个问是解题的关键，可作适当点拨。最后思考题，可让学生试试独立完成。要教给学生如何审题，分析题。
三、例题学习：
（一）例1： 教材P48探究1
（二）例1： 教材Ｐ49探究2
交流与点拨：
重点点拨问题2，根据情况教师可作必要讲解，问题4可让学生独立完成，来检查对此探究的掌握程度。此探究是平均增长率（下降率）问题，是中考考点，要引起同学们注意。
四、课堂练习：
五、总结作业：
1、 列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义。
2、 探究2是平均增长率或降低率问题。若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b,则有：（常见n=2）
七、 教学反思：

22.3实际问题与一元二次方程（第2课时）
【学习目标】
1、 继续探索实际问题中的数量关系，会列一元二次方程解应用题。
2、 能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。
3、 通过一题多解体会列方程的的实质，培养灵活处理问题的能力。
【学习过程】
一、复习回顾：
1、2、列一元二次方程解应用题都是有哪些步骤？
①审题；②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答
二、自主学习：
（一）自学课本Ｐ50探究3
交流与点拨：
在解决这个探究时，可以在黑板上作图形，借助图形帮助同学们理解。在问题2中，是要现搞清封面的长宽之比为27︰21=9︰7由中央矩形长、宽与封面长、宽比例相同也是9︰7；由此可以断定上下边衬与左右边衬宽度之比也是9︰7。掌握这种由比例来设未知数的方法，当然，要会通过图形找一些数量关系。
三、例题学习：
例：（教材Ｐ50探究3）要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？
四、课堂练习：
五、小结作业
七、教学反思：
1、 在探究3的学习中，注重图形的利用，有时也可利用图形的变换---平移，使一些题目易于解决。
2、 在分析题意时，注意间接设未知数法，有时比直接设未知数好理解。
3、 还要强调，求出的解是否符合实际意义。

22.3实际问题与一元二次方程（第3课时）
【学习目标】
1、掌握运用速度、时间、路程三者的关系建立数学模型并解决实际问题；
2、通过复习速度、时间、路程三者的关系，提出问题，用这个知识解决问题．
【学习过程】
一、自主学习：
自学课本Ｐ51——Ｐ52探究4
交流与点拨：
以上几个问题同学间先交流，看能理解到什么程度，由于第一次接触变速（匀减速）运动，教师可作必要的讲解。从紧急刹车到停车这一过程我们假设是匀减速运动，此时，平均速度=（初速度+末速度）÷2，然后再利用行驶时间=行驶路程÷平均速度，探究中的第一个问题自然解决。对于平均每秒车速减少值=（初速度－末速度）÷车速变化时间；第三问是难点，可以借助线段图来帮助理解。
二、例题学习：
例：（教材Ｐ51探究4）一辆汽车以20m／s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车。（1）从刹车到停车用了多少时间？（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？（3）刹车后汽车滑行到15m约用了多少时间（精确到0.1s）？
（3）设汽车行驶到15m时用了x s，由（2）可知，这是的车速为（20－8x）m／s；这段路程的平均速度为 m／s=(20－4x) m／s.由 速度×时间=路程列方程。
（在以上几个问题解决的基础上，教师可以引导学生师生合作完成，特别是第三问，教师可作必要的讲解，思考留给学生自己处理。）
三、课堂练习：
四、小结作业
五、教学反思：
1、 学习了行程中的变速运动，一种匀减速运动，知道了初速度、末速度及如何求匀减速中的平均速度。
2、 对行程问题更深入的了解。
3、 用一元二次方程解决行程中的变速运动。
4、 数学与物理学科之间的联系。

第二十二章 小结与复习
【学习目标】
1、 理解并掌握一元二次方程的有关概念。
2、 能根据不同的一元二次方程的特点，选用恰当的方法求解，使解题过程简单合理。
3、 熟悉掌握列方程解实际问题的一般步骤。
4、 进一步熟悉具体问题的数量关系并列出一元二次方程。
5、 能根据问题的实际意义，合理地运用几何图形解决问题。
【学习过程】
一、自主学习：
1、 正确理解一元二次方程的定义。
2、 一元二次方程都是有哪些解法？各自的解题步骤是什么？
3、 如何运用b2-4ac判断一元二次方程根的情况，及求一些字母的取值范围。
4、 想一想，四个探究是怎样处理的。“按一定速度传播问题、增长（或降低）率问题、图形设计问题、匀减速问题”针对每个探究，怎样找相等关系？
5、 仔细体会本章内容，你都是有哪些收获？
交流与点拨：
1、一元二次方程的定义满足的三个条件：（1）整式方程（2）只含一个未知数（3）未知数的最高次数是2
2、解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
3、用b2-4ac判断一元二次方程根的情况，（考点）ax2+bx+c=0(a≠0)
①当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时方程没有实数根；
4、平均增长率或降低率（考点）
二、课堂练习：
三、总结作业
四、教学反思：
1、 知道怎样的方程才是一元二次方程，它与一元一次方程有什么区别和联系。
2、 一元二次方程都是有4种解法，根据方程特点选择不同的解法。
3、 根的判别式的作用。
4、 一元二次方程在实际生活中广泛存在，并且能帮助解决生活中的一些实际问题。