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7.4 基本不等式
一、填空题
1．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
解析 ∵x＞0，y＞0且1＝＋≥2，∴xy≤3.当且仅当＝时取等号．
答案 3
2．已知p＝a＋，q＝x2－2，其中a＞2，x∈R，则p，q的大小关系为________．
解析 p＝a＋＝a－2＋＋2≥2＋2＝4.
当a－2＝，即a＝3时取等号，q＝x2－2≤4，∴p≥q.
答案 p≥q
3．若x，y是正数，则2＋2的最小值是________．
解析 由2＋2≥x2＋＋y2＋＋2
≥2＋2＋2＝4.当且仅当x＝y＝时取等号．
答案 4
4．已知0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列不等式：①log2a＞0； ②2a－b＜；
③2＋＜；④log2a＋log2b＜－2，其中正确的是________．
解析 由0＜a＜b，且a＋b＝1，得0＜a＜＜b＜1，所以log2a＜0.易得a－b＞－1，所以2a－b＞，由＋＞2，得2＋＞4，由1＝a＋b＞2(a≠b)，得ab＜，所以log2a＋log2b＝log2ab＜－2，仅④正确．
答案 ④
5．在等式“1＝＋”两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是________．
解析 设括号内填入的两个正整数为x，y，则有＋＝1，
于是x＋y＝(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2 ＝16，当且仅当y2＝9x2，
即x＝4，y＝12时等号成立．此时x＋y取最小值16.故应填4和12.
答案 4和12
6．已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为________．
解析 由a7＝a6＋2a5，得a5q2＝a5q＋2a5，又a5≠0，q＞0，所以q2＝q＋2，
解为q＝2.于是由＝4a1，得m＋n＝6，
所以＋＝(m＋n)＝≥(5＋4)＝，当且仅当n＝2m，
即m＝2，n＝4时等号成立，故min＝.
答案
7．函数y＝loga(x－1)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在一次函数y＝mx＋n的图象上，其中mn＞0，则＋的最小值为________．
解析 y＝mx＋n过定点(2,1)，所以2m＋n＝1，
所以＋＝(2m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝8.
答案 8
8．若不等式|2a－1|≤对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析 因为≥2，所以|2a－1|≤2，解得－≤a≤.
答案
9．已知0＜x＜，则函数y＝5x(3－4x)的最大值为________．
解析 因为0＜x＜，所以－x＞0，
所以y＝5x(3－4x)＝20x≤202＝，当且仅当x＝－x，
即x＝时等号成立．
答案
10．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为________．
解析 由题可得a＞0，c＞0，且Δ＝22－4ac＝0即ac＝1.所以a＋c≥2＝2，当且仅当a＝c＝1时取等号．
所以＋＝ac×＝a2＋c2＋a＋c＝(a＋c)2＋(a＋c)－2，当且仅当a＝c＝1时，min＝22＋2－2＝4.
答案 4
11．若不等式4x2＋9y2≥2kxy对一切正数x，y恒成立，则整数k的最大值为________．
解析 由4x2＋9x2≥2kxy(x＞0，y＞0)，得2k≤＋.因为＋≥2＝12，所以2k≤12，所以k≤3，即kmax＝3.
答案 3
12．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，在D内任意x1，x2，…，xn，都有
≤f.
若y＝sin x在(0，π)是凸函数，可以推出在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值为________．
解析 ≤f＝f，
所以(sin A＋sin B＋sin C)≤，
所以sin A＋sin B＋sin C≤，即最大值为.
答案
13．不等式a2＋3b2≥λb(a＋b)对任意a，b∈R恒成立，则实数λ的最大值为________．
解析 因为要求λ的最大值，所以只需要考察b(a＋b)＞0的情况，
假设b(a＋b)＞0，所以由a2＋3b2≥λb(a＋b)，得λ≤＝，
不妨令＝t＞0，不妨令h(t)＝＝
＝(t＋1)＋－2≥2－2＝2，
当t＝1时取等号．故λ的最大值为2.
答案 2
二、解答题
14．对于任意x∈R，不等式2x2－a＋3>0恒成立，求实数a的取值范围．
解析 原不等式可化为a<＝＝2＋恒成立．
问题转化为求f(x)＝2＋ 的最小值．
令u＝≥1
而函数f(u)＝2u＋在[1，＋∞)上单调递增，
所以f(u)≥f(1)＝2＋1＝3，所以f(x)min＝3，故a<3.
15．扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x(米)，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y(米)．
(1)求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；
(2)要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？
(3)当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)？求此时外周长的值．
解析 (1)9＝(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2·＝BC＋x，h＝x，
所以9＝·(2BC＋x)·x，得BC＝－.
由得2≤x＜6.
所以y＝BC＋2x＝＋(2≤x＜6)．
(2)由y＝＋≤10.5，得3≤x≤4.
因为[3,4][2,6)．所以腰长x的范围是[3,4]．
(3)y＝＋≥2＝6，当且仅当＝，即x＝2∈[2,6)时等号成立．
故外周长的最小值为6米，此时腰长为2米.
16．有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段．为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距d(m)正比于车速v(km/h)的平方与车身长l(m)的积，且车距不得小于一个车身长l(假设所有车身长均为l)．而当车速为60(km/h)时，车距为1.44个车身长．
(1)求通过隧道的最低车速；
(2)在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量Q最多？
解析 (1)依题意，设d＝kv2l，其中k是待定系数．
因为当v＝60时，d＝1.44l，
所以1.44l＝k×602l.
所以k＝0.000 4，则d＝0.000 4v2l.
因为d≥l，
所以0.000 4v2l≥l，
所以v≥50.
所以最低车速为50 km/h.
(2)因为两车间距为d，则两辆车头间的距离为(l＋d)m，
一小时内通过汽车的数量为Q＝，即Q＝.
因为＋0.000 4v≥2 ＝0.04，
所以Q≤.
当＝0.000 4v，即v＝50时，Q取得最大值为.
所以当v＝50 km/h时，单位时段内通过的汽车数量最多．
17．心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x天后的存留量y1＝；若在t(t＞0)天时进行第一次复习，则此时存留量比未复习情况下增加一倍(复习的时间忽略不计)，其后存留量y2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为(a＜0)，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”．
(1)若a＝－1，t＝5，求“二次复习最佳时机点”；
(2)若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．
解析 设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y.
由题意，得y2＝(x－t)＋(t＞0)．
所以y＝y2－y1＝(x－t)＋－(t＞4)．
(1)当a＝－1，t＝5时，
y＝(x－5)＋－＝－＋1≤－2＋1＝，当且仅当x＝14时取等号，
所以“二次复习最佳时机点”为第14天．
(2)y＝(x－t)＋－
＝－－＋－≤－2＋，
当且仅当＝，即x＝(t＋4)－4时取等号，
由题意，得(t＋4)－4＞t，所以－4＜a＜0，所以a的取值范围是(－4,0)．
18．如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3(百米)，底AB的长为4(百米)．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计)，将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等，面积分别为S1和S2.
(1)若小路一端E为AC的中心，求此时小路的长度；
(2)求的最小值．
解析 (1)因为E为AC的中点，
所以AE＝CE＝.
因为＋3＜＋4，
所以点F不在BC上．
若点F在AB上，则AE＋AF＝3－AE＋4－AF＋3.
所以AE＋AF＝5.
所以AF＝＜4.
在△ABC中，cos A＝.
在△AEF中，EF2＝AE2＋AF2－2AE·AFcos A＝＋－2×××＝，
所以EF＝.
即小路一端E为AC的中点时小路的长度为(百米)．
(2)若小道的端点E、F都在两腰上，如图，设CE＝x，CF＝y，则x＋y＝5.
＝＝－1
＝－1
＝－1≥－1
＝(当x＝y＝时取等号)．
若小道的端点E、F分别在一腰(不妨设腰AC)上和底上，
设AE＝x，AF＝y，则x＋y＝5.
＝＝－1
＝－1≥－1＝(当x＝y＝时取等号)．
故最小值是.．
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