【步步高】2014届高三数学大一轮复习-7.4-基本不等式课时检测-理-苏教版.doc

7.4 基本不等式一、填空题1已知x，yR，且满足1，则xy的最大值为_解析x0，y0且12，xy3.当且仅当时取等号答案32已知pa，qx22，其中a2，xR，则p，q的大小关系为_解析paa22224.当a2，即a3时取等号，qx224，pq.答案pq3若x，y是正数，则22的最小值是_解析由22x2y222224.当且仅当xy时取等号答案44已知0ab，且ab1，则下列不等式：log2a0；2ab；2；log2alog2b2，其中正确的是_解析由0ab，且ab1，得0ab1，所以log2a0.易得ab1，所以2ab，由2，得24，由1ab2(ab)，得ab，所以log2alog2blog2ab2，仅正确答案5在等式“1”两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是_解析设括号内填入的两个正整数为x，y，则有1，于是xy(xy)10102 16，当且仅当y29x2，即x4，y12时等号成立此时xy取最小值16.故应填4和12.答案4和126已知正项等比数列an满足：a7a62a5，若存在两项am，an使得4a1，则的最小值为_解析由a7a62a5，得a5q2a5q2a5，又a50，q0，所以q2q2，解为q2.于是由4a1，得mn6，所以(mn)(54)，当且仅当n2m，即m2，n4时等号成立，故min.答案7函数yloga(x1)1(a0，且a1)的图象恒过定点A，若点A在一次函数ymxn的图象上，其中mn0，则的最小值为_解析ymxn过定点(2,1)，所以2mn1，所以(2mn)4428.答案88若不等式|2a1|对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是_解析因为2，所以|2a1|2，解得a.答案9已知0x，则函数y5x(34x)的最大值为_解析因为0x，所以x0，所以y5x(34x)20x202，当且仅当xx，即x时等号成立答案10已知二次函数f(x)ax22xc(xR)的值域为0，)，则的最小值为_解析由题可得a0，c0，且224ac0即ac1.所以ac22，当且仅当ac1时取等号所以aca2c2ac(ac)2(ac)2，当且仅当ac1时，min22224.答案411若不等式4x29y22kxy对一切正数x，y恒成立，则整数k的最大值为_解析由4x29x22kxy(x0，y0)，得2k.因为212，所以2k12，所以k3，即kmax3.答案312如果函数f(x)在区间D上是凸函数，在D内任意x1，x2，xn，都有f.若ysin x在(0，)是凸函数，可以推出在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值为_解析ff，所以(sin Asin Bsin C)，所以sin Asin Bsin C，即最大值为.答案13不等式a23b2b(ab)对任意a，bR恒成立，则实数的最大值为_解析因为要求的最大值，所以只需要考察b(ab)0的情况，假设b(ab)0，所以由a23b2b(ab)，得，不妨令t0，不妨令h(t)(t1)2222，当t1时取等号故的最大值为2.答案2二、解答题14对于任意xR，不等式2x2a30恒成立，求实数a的取值范围解析原不等式可化为a2恒成立问题转化为求f(x)2 的最小值令u1而函数f(u)2u在1，)上单调递增，所以f(u)f(1)213，所以f(x)min3，故a3.15扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高不低于米记防洪堤横断面的腰长为x(米)，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y(米) (1)求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；(2)要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？(3)当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)？求此时外周长的值解析(1)9(ADBC)h，其中ADBC2BCx，hx，所以9(2BCx)x，得BC.由得2x6.所以yBC2x(2x6)(2)由y10.5，得3x4.因为3,42,6)所以腰长x的范围是3,4(3)y26，当且仅当，即x22,6)时等号成立故外周长的最小值为6米，此时腰长为2米.16有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距d(m)正比于车速v(km/h)的平方与车身长l(m)的积，且车距不得小于一个车身长l(假设所有车身长均为l)而当车速为60(km/h)时，车距为1.44个车身长(1)求通过隧道的最低车速；(2)在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量Q最多？解析(1)依题意，设dkv2l，其中k是待定系数因为当v60时，d1.44l，所以1.44lk602l.所以k0.000 4，则d0.000 4v2l.因为dl，所以0.000 4v2ll，所以v50.所以最低车速为50 km/h.(2)因为两车间距为d，则两辆车头间的距离为(ld)m，一小时内通过汽车的数量为Q，即Q.因为0.000 4v2 0.04，所以Q.当0.000 4v，即v50时，Q取得最大值为.所以当v50 km/h时，单位时段内通过的汽车数量最多17心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x天后的存留量y1；若在t(t0)天时进行第一次复习，则此时存留量比未复习情况下增加一倍(复习的时间忽略不计)，其后存留量y2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为(a0)，存留量随时间变化的曲线如图所示当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点” (1)若a1，t5，求“二次复习最佳时机点”；(2)若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围解析设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y.由题意，得y2(xt)(t0)所以yy2y1(xt)(t4)(1)当a1，t5时，y(x5)121，当且仅当x14时取等号，所以“二次复习最佳时机点”为第14天(2)y(xt)2，当且仅当，即x(t4)4时取等号，由题意，得(t4)4t，所以4a0，所以a的取值范围是(4,0)18如图，ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3(百米)，底AB的长为4(百米)现决定在空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计)，将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等，面积分别为S1和S2.(1)若小路一端E为AC的中心，求此时小路的长度；(2)求的最小值解析(1)因为E为AC的中点，所以AECE.因为34，所以点F不在BC上若点F在AB上，则AEAF3AE4AF3.所以AEAF5.所以AF4.在ABC中，cos A.在AEF中，EF2AE2AF22AEAFcos A2，所以EF.即小路一端E为AC的中点时小路的长度为(百米)(2)若小道的端点E、F都在两腰上，如图，设CEx，CFy，则xy5. 1111(当xy时取等号)若小道的端点E、F分别在一腰(不妨设腰AC)上和底上，设AEx，AFy，则xy5.111(当xy时取等号)故最小值是.8