数学竞赛中的数论问题(学生版)第三讲.doc

四．整除
例18 任意一个正整数与它的十进制表示中的所有数码之差能被9整除．
证明：
例19 试证．
证明：
例20 设与为正整数，满足
，
求证可被1979整除（1979）
证明：
例20-1 2009年9月9日的年、月、日组成“长长久久、永不分离”的吉祥数字20090909，而它也恰好是一个不能再分解的素数．若规定含素因子的数为吉祥数，请证明最简分数的分子是吉祥数．
证明：
例21 试证．
证明：
例22 个连续整数中必有一个能被整除．
证明：
例23 个连续整数之积必能被整除．
证明：
例24 有男孩、女孩共个围坐在一个圆周上（），若顺序相邻的3人中恰有一个男孩的有组，顺序相邻的3人中恰有一个女孩的有组，求证．
证明：

例25 （1956，中国北京）证明对任何正整数都是整数，并且用3除时余2．
分析：
五、同余
例26 正方体的顶点标上或，面上标上一个数，它等于这个面四个顶点处的数的乘积，求证，这样得出的14个数之和不能为0．
证明：
例27 设多项式的系数都是整数，并且有一个奇数及一个偶数使得及都是奇数，求证方程没有整数根．
证明：
六、不定方程
未知数的个数多于方程个数的整系数代数方程，称为不定方程．求不定方程的整数解，叫做解不定方程． 解不定方程通常要解决3个问题，方程是否有解？有解时，有几个解，解数是有限还是无穷？求出全部解．
例28 解方程．
解：
例29 求方程的整数解．
解：
例30 甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，…直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数为 ．（1988，高中联赛）
解：

例31（1989，高中）如果从数1，2，…，14中按由小到大的顺序取出，使同时满足
，
那么，所有符合上述要求的不同取法有多少种？
解：

七．数论函数
主要是高斯函数，欧拉函数．
例32 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为
(A)　　 (B) (C) (D)
（2010年全国高考数学陕西卷理科第10题）
例33 用表示不大于的最大整数，求
．
解：
八、综合练习
例34 整数勾股形中，证明
（1）必有一条直角边长是3的倍数；
（2）必有一条直角边长是4的倍数；
（3）必有一条边长是5的倍数；
（4）三角形的面积是6的倍数．
证明：

例35　已知内有个点，连同共有个点，以这些点为顶点，把分割为若干个互不重叠的小三角形，现把分别染上红色、蓝色、黄色，而其余个点，每点任意染上红、蓝、黄三色之一，证明三顶点都不同色的小三角形的总数必是奇数．（斯潘纳定理）
证明：

例36 对整点25边形的顶点作三染色，求证，存在一个三顶点同色的三角形，它的重心也是整点．
解：
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