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有限元方法有限元方法2 有限元法是求解偏微分方程问题的一种重要数有限元法是求解偏微分方程问题的一种重要数值方法，它的基础分两个方面：一是变分原理，值方法，它的基础分两个方面：一是变分原理，二是剖分插值二是剖分插值 从第一方面看，从第一方面看，有限元法是有限元法是Ritz-GalerkinRitz-Galerkin方法的一种变形方法的一种变形它提供了一种选取它提供了一种选取“局部基函局部基函数数”的新技巧，从而克服了的新技巧，从而克服了Ritz-GalerkinRitz-Galerkin方法方法选取基函数的固有困难选取基函数的固有困难 从第二方面看，从第二方面看，它是差分方法的一种变形它是差分方法的一种变形差分法是点近似差分法是点近似，它只考虑在有限个离散点上函，它只考虑在有限个离散点上函数值，而不考虑在点的邻域函数值如何变化；数值，而不考虑在点的邻域函数值如何变化；有有限元方法考虑的是分段（块）的近似限元方法考虑的是分段（块）的近似因此有限因此有限元方法是这两类方法相结合，取长补短而进一步元方法是这两类方法相结合，取长补短而进一步发展了的结果在几何和物理条件比较复杂的问发展了的结果在几何和物理条件比较复杂的问题中，有限元方法比差分方法有更广泛的适应性题中，有限元方法比差分方法有更广泛的适应性37.7.两点边值问题的有限元方两点边值问题的有限元方法法 本节以两点边值问题为例，并从本节以两点边值问题为例，并从RitzRitz法和法和GalerkinGalerkin法两种观点出发来叙述有限元法的基本思法两种观点出发来叙述有限元法的基本思想及解题过程想及解题过程.7.1 7.1 基于基于RitzRitz法的有限元方程法的有限元方程 考虑两点边值问题考虑两点边值问题其中，其中，4 1.1.写出写出RitzRitz形式的变分问题形式的变分问题 与边值问题与边值问题(7.1)(7.1)、(7.2)(7.2)等价的变分问题是：等价的变分问题是：求求 ，使，使其中，其中，（7.37.3）式式(7.3)(7.3)是应用有限元法求解边值问题是应用有限元法求解边值问题(7.1)(7.1)、(7.2)(7.2)的出发点的出发点.5 2.2.区域剖分区域剖分 剖分原则与差分法相同，即将求解区域剖分成若剖分原则与差分法相同，即将求解区域剖分成若干个互相连接，且不重叠的子区域，这些子区域称干个互相连接，且不重叠的子区域，这些子区域称为为单元单元单元的几何形状可以人为选取，一般是规单元的几何形状可以人为选取，一般是规则的，但形状与大小可以不同对于一维情形最为则的，但形状与大小可以不同对于一维情形最为简单简单.将求解区间 分成若干个子区间，其节点为每个单元 的长度为 .单元在区间中分布的疏密程度或单元尺寸的大小，可根据问题的物理性质来决定，一般来说，在物理量变化剧烈的地方，单元尺寸要相对小一些，排列要密一些.6 设 为 的有限维子空间，它的元素为 .要构造 ，只需构造单元基函数 .构造单元基函数所遵循的原则是：其中，是单元节点序号为 的节点.(1)每个单元中的基函数的个数和单元中的节点数相同，每个节点对应一个基函数，本例中，单元 有两个节点，因此基函数有两个.(2)基函数应具有性质7 3.3.确定单元基函数确定单元基函数 有限元法与有限元法与Ritz-GalerkinRitz-Galerkin方法的主要区别之一，方法的主要区别之一，就在于就在于有限元方法中的基函数是在单元中选取的有限元方法中的基函数是在单元中选取的由于各个单元具有规则的几何形状，而且可以不必由于各个单元具有规则的几何形状，而且可以不必考虑边界条件的影响，因此在单元中选取基函数可考虑边界条件的影响，因此在单元中选取基函数可遵循一定的法则遵循一定的法则891011 (7.6)令 4.4.形成有限元方程形成有限元方程便得到确定 的线性代数方程组称式（7.5）为有限元方程有限元方程.12 (7.8)(7.7)值得注意的是，在实际计算中，并不是按照上述值得注意的是，在实际计算中，并不是按照上述步骤形成有限元方程的，而是步骤形成有限元方程的，而是先先进行进行单元分析单元分析，即，即在单元上建立有限元特征式，然后在单元上建立有限元特征式，然后再再进行进行总体合成总体合成，即将各单元的有限元特征式进行累加，合成为有限即将各单元的有限元特征式进行累加，合成为有限元方程具体过程如下：元方程具体过程如下：第一步：单元分析单元分析.注意到作变换13 (7.10)并引入记号其中，.于是或写成 (7.9)其中，.从而有 (7.11)这里 (7.12)称为单元刚度矩阵单元刚度矩阵，其中 (7.13)(7.16)(7.14)式中 (7.15)将式（7.11）、（7.14）代入式（7.7），便有对式（7.7）右端第二项积分，有这样，我们就得到了单元有限元特征式的一般表示形式：于是有第二步：第二步：总体合成总体合成.总体合成就是将单元上的有总体合成就是将单元上的有限元特征式进行累加，合成为总体有限元方程限元特征式进行累加，合成为总体有限元方程.这一过程实际上是将单元有限元特征式中的系数矩阵（称为单元刚度矩阵）逐个累加，合成为总体系数矩阵（称为总刚度矩阵）；同时将右端单元荷载向量逐个累加，合成为总荷载向量，从而得到关于的线性代数方程组为此，记从而式(7.16)右端第一个和式为 (7.17)其中（未标明的元素均为0）这就是总刚度矩阵总刚度矩阵对式(7.16)右端第二个和式，有其中这就是总荷载向量总荷载向量.从总刚度矩阵和总荷载向量的形成过程可以看出，的计算，实际上是把 中四个元素在适当的位置上“对号入座”地叠加，的计算也是如此我们引入 ，只是为了叙述方便，实际上，在编制程序时并不需要显然，方程组(7.18)的系数矩阵 是对称正定的三对角矩阵，因此可采用追赶法求出 在节点上的近似值 .(7.18)其这样，就可将式(7.16)写成因此，有限元方程为197.7.两点边值问题的有限元方两点边值问题的有限元方法法 本节以两点边值问题为例，并从本节以两点边值问题为例，并从RitzRitz法和法和GalerkinGalerkin法两种观点出发来叙述有限元法的基本思法两种观点出发来叙述有限元法的基本思想及解题过程想及解题过程.7.1 7.1 基于基于RitzRitz法的有限元方程法的有限元方程7.2 7.2 基于基于GalerkinGalerkin法的有限元方程法的有限元方程 从从GalerkinGalerkin法出发形成有限元方程的过程与前法出发形成有限元方程的过程与前面完全一样，针对边值问题面完全一样，针对边值问题(7.1)(7.1)、(7.2)(7.2)所得到的所得到的结果也是一致的但是从结果也是一致的但是从GalerkinGalerkin法出发形成的有法出发形成的有限元方程限元方程更具一般性更具一般性，它不仅适用于对称正定的算，它不仅适用于对称正定的算子方程，而且也适用于非对称正定的算子方程，所子方程，而且也适用于非对称正定的算子方程，所以我们今后主要是依据这一观点建立有限元方程以我们今后主要是依据这一观点建立有限元方程20与边值问题与边值问题(7.1)(7.1)、(7.2)(7.2)等价的等价的GalerkinGalerkin变分问变分问题是：题是：求求 ，使得，使得 (7.19)(7.19)其中其中仍用分段线性函数构成的试探函数空间仍用分段线性函数构成的试探函数空间 替代替代 ，将，将代入代入(7.19)(7.19)，则得到，则得到 所满足的线性代数所满足的线性代数方程组方程组 (7.20)(7.20)这和方程组这和方程组(7.6)(7.6)是完全一样的是完全一样的.与容易看出，方程组与容易看出，方程组(7.20)(7.20)的系数矩阵就是总刚的系数矩阵就是总刚度矩阵在总刚度矩阵形成的过程中，注意到度矩阵在总刚度矩阵形成的过程中，注意到 (7.21)(7.21)而而从而有从而有即即故有故有这就是有限元方程这就是有限元方程(7.18).(7.18).由上述看出，按由上述看出，按GalerkinGalerkin法推导有限元方程更加法推导有限元方程更加直接方便尤其重要的是按这一观点推导的有限直接方便尤其重要的是按这一观点推导的有限元方程，不仅适用于元方程，不仅适用于定常的定常的微分方程定解问题，而微分方程定解问题，而且也适用于且也适用于不定常的不定常的微分方程定解问题，因此具有微分方程定解问题，因此具有广泛的适应性广泛的适应性例例7.1 7.1 用有限元方法解边值问题用有限元方法解边值问题将区间将区间0,10,1等分成等分成4 4个单元个单元.解解 利用上述分析结果，我们只需构造出单元刚利用上述分析结果，我们只需构造出单元刚度矩阵和单元荷载向量，然后合成为总刚度矩阵和度矩阵和单元荷载向量，然后合成为总刚度矩阵和总荷载向量总荷载向量注意到注意到(7.13)和和(7.15)，并将，并将 形成单元形成单元 上的中点值上的中点值 则不难得到则不难得到其中，其中，单元，单元 的中点为的中点为 于是有于是有如果把单元刚度矩阵如果把单元刚度矩阵 和单元荷载向量和单元荷载向量 “扩大扩大”，便得到，便得到 和和 为为类似地，可写出类似地，可写出 和和 .然后进行叠加，便得到总刚度矩阵和总荷载向量：然后进行叠加，便得到总刚度矩阵和总荷载向量：依边界条件依边界条件 即即 在在 中划去首末两行中划去首末两行和首末两列，在和首末两列，在 中划去首末两行，便得到如下中划去首末两行，便得到如下线性代数方程组：线性代数方程组：解之，得解之，得8.8.二维椭圆边值问题的有限二维椭圆边值问题的有限元方法元方法 用有限元方法求解二维椭圆边值问题的过程与用有限元方法求解二维椭圆边值问题的过程与两点边值问题的有限元方法大体相同，只是在具体两点边值问题的有限元方法大体相同，只是在具体处理时比一维情形更复杂些考虑如下椭圆型方程处理时比一维情形更复杂些考虑如下椭圆型方程的第一边值问题：的第一边值问题：(8.1)(8.1)(8.2)(8.2)其中，其中，是是 平面的一个有界域，其边值平面的一个有界域，其边值 是分段是分段光滑的简单闭曲线光滑的简单闭曲线.以下我们从以下我们从GalerkinGalerkin法出发，叙述有限元求解问法出发，叙述有限元求解问题题(8.1)(8.1)、(8.2)(8.2)的全过程的全过程与边值问题与边值问题(8.1)(8.1)、(8.2)(8.2)等价的等价的GalerkinGalerkin变分问变分问题是：题是：求求 ，使得，使得 (8.3)(8.3)其中其中8.1 8.1 区域剖分区域剖分正如前章所言，对高维区域的剖分与对一维区域正如前章所言，对高维区域的剖分与对一维区域的剖分有很大不同的剖分有很大不同.对对一维区域一维区域无论作哪一种剖分，无论作哪一种剖分，其其单元仍然是一个区间单元仍然是一个区间，对不同的剖分只是区间长对不同的剖分只是区间长度不同而已度不同而已.对高维区域而言，不同的剖分其对高维区域而言，不同的剖分其单元的形状各异单元的形状各异，如对二维区域，剖分后的子区域可以是如对二维区域，剖分后的子区域可以是三角形、矩三角形、矩形或四边形形或四边形.限于篇幅，本书只讨论剖分后所得的子限于篇幅，本书只讨论剖分后所得的子区域是三角形的情况，这种剖分称为区域是三角形的情况，这种剖分称为三角形剖分三角形剖分.将区域将区域 划分成有限个三角形单元，剖分方法划分成有限个三角形单元，剖分方法见前章，那里曾假定剖分的单元应是见前章，那里曾假定剖分的单元应是锐角三角形锐角三角形现在我们去掉这一限制，现在我们去掉这一限制，只假定不同的单元是无重只假定不同的单元是无重叠的内部，且单元的顶点不是其它单元边的内点叠的内部，且单元的顶点不是其它单元边的内点当然还要当然还要尽量避免出现大钝角的三角形尽量避免出现大钝角的三角形在物理量在物理量变化剧烈的地方，单元要划分得细密一些，变化缓变化剧烈的地方，单元要划分得细密一些，变化缓和的地方，划分得稀一些和的地方，划分得稀一些划分好单元之后，要对单元和节点进行编号设划分好单元之后，要对单元和节点进行编号设 是区域中的单元总数，将全区域中的单元统一编号，是区域中的单元总数，将全区域中的单元统一编号，单元号记为单元号记为 全区域中的节点也要按一全区域中的节点也要按一定的顺序统一编号，记全区域中共有定的顺序统一编号，记全区域中共有 个节点，节个节点，节点号记为点号记为节点编号的一般原则是尽可能使同一单元内的节点节点编号的一般原则是尽可能使同一单元内的节点号比较接近以后可以看到，单元内节点序号的差号比较接近以后可以看到，单元内节点序号的差值决定了总体系数矩阵的带宽值决定了总体系数矩阵的带宽8.2 8.2 确定单元基函数确定单元基函数与一维情形一样，为了构造试探函数空间与一维情形一样，为了构造试探函数空间 我我们只需在每个单元上构造插值基函数这里，我们们只需在每个单元上构造插值基函数这里，我们仅考虑三角形单元上的线性插值函数为了便于后仅考虑三角形单元上的线性插值函数为了便于后面积分的计算，我们先将直角坐标转换为面积坐标面积分的计算，我们先将直角坐标转换为面积坐标.1.1.面积坐标及有关公式面积坐标及有关公式(1)(1)面积坐标的定义面积坐标的定义设设 是以是以 为顶点的为顶点的任意三角形单元，面积为任意三角形单元，面积为 ，我们，我们规定规定 的次序按逆时针方向排列的次序按逆时针方向排列在在 中中(图图8.1)8.1)任意一点任意一点 的位置，可用它在直角坐标系的位置，可用它在直角坐标系 中的两个坐标值中的两个坐标值 来确定来确定.图(8.1)如果我们过点如果我们过点 作与三个顶点的连线，形成三个作与三个顶点的连线，形成三个小三角形小三角形那么一旦那么一旦 的值确定后，这三个三角形的面积也的值确定后，这三个三角形的面积也就有了确定的值；反之，这三个小三角形的面积确就有了确定的值；反之，这三个小三角形的面积确定之后，点定之后，点 也就有了确定的位置，由此可见，三角也就有了确定的位置，由此可见，三角形单元中任意一点形单元中任意一点 的位置，除了可用直角坐标的位置，除了可用直角坐标 来来确定外，还可以用连接点确定外，还可以用连接点 与与与三个节点所形成的小与三个节点所形成的小三角形的面积来确定三角形的面积来确定用用 分别表示这三个小三角形的面积，显然分别表示这三个小三角形的面积，显然令令 (8.4)则称这三个比值则称这三个比值 为点为点 的的面积坐标面积坐标.由定义可由定义可知，知，所以，所以，并不是互相独立的，其中任意一个面并不是互相独立的，其中任意一个面积坐标都可以用另外两个面积坐标来表示，而且积坐标都可以用另外两个面积坐标来表示，而且它们与直角坐标系的选取方法是无关的，这也是它们与直角坐标系的选取方法是无关的，这也是采用面积坐标的一个优点采用面积坐标的一个优点显然，三个节点显然，三个节点 的面积坐标是的面积坐标是 节点节点 节点节点 节点节点(2)(2)面积坐标与直角坐标的关系面积坐标与直角坐标的关系我们知道我们知道于是，有于是，有其中其中由此可得到面积坐标与直角坐标之间的如下转换关由此可得到面积坐标与直角坐标之间的如下转换关系：系：(8.6)(8.6)(8.7)(8.7)从上述关系中可以看出，面积坐标从上述关系中可以看出，面积坐标 和和直角坐标直角坐标 之间是线性变换的关系，它实际上是将之间是线性变换的关系，它实际上是将 平面平面上的任意形状的三角形变换到上的任意形状的三角形变换到 平面上的直角平面上的直角三角形单元经过这种变换，使得在任意三角形区三角形单元经过这种变换，使得在任意三角形区域上的积分问题转化为在直角边为域上的积分问题转化为在直角边为1 1的直角三角形区的直角三角形区域上的积分问题，所以在计算上会带来很大的方便域上的积分问题，所以在计算上会带来很大的方便(3)(3)面积坐标函数对直角坐标的偏导数面积坐标函数对直角坐标的偏导数设面积坐标函数为设面积坐标函数为 是是 的函的函数，由复合函数的求导法则，有数，由复合函数的求导法则，有注意到式注意到式(8.6)(8.6)，可得，可得所以面积坐标函数对直角坐标的偏导数为所以面积坐标函数对直角坐标的偏导数为 (8.8)(8.8)(4)(4)面积坐标的积分面积坐标的积分单元分析中的积分，由于基函数几乎无例外地均单元分析中的积分，由于基函数几乎无例外地均采用多项式函数，被积函数一般都是以幂函数形式采用多项式函数，被积函数一般都是以幂函数形式出现的，因此在单元分析中经常考虑的是如下典型出现的，因此在单元分析中经常考虑的是如下典型形式的积分形式的积分其中其中 是任意非负整数是任意非负整数 以面积坐标替换直角坐标，并利用重积分变量以面积坐标替换直角坐标，并利用重积分变量替换公式，不难算出替换公式，不难算出 (8.9)(8.9)为证明此式，只需注意到变换的为证明此式，只需注意到变换的JacobiJacobi行列式行列式以及积分关系式以及积分关系式 (8.10)(8.10)容易看出，在一维有限元分析中，由式容易看出，在一维有限元分析中，由式(7.8)(7.8)给给出的变换出的变换 正与上面讨论的面积坐标相当正与上面讨论的面积坐标相当如果说变换如果说变换(8.6)(8.6)将将 平面上的任意形状的三角形平面上的任意形状的三角形单元变换到单元变换到 平面上直角边为平面上直角边为1 1的直角三角形单的直角三角形单元，那么变换元，那么变换(7.8)(7.8)则把则把 轴上的线段单元轴上的线段单元 变换到变换到 轴上的参考单元轴上的参考单元0,10,1由此可见，在一维的情况下，由此可见，在一维的情况下，与公式与公式(8.9)(8.9)相应的积分公式为相应的积分公式为 (8.11)(8.11)其中其中,为线段单元为线段单元 的长度的长度 2.2.构造单元基函数构造单元基函数 任一个三角形单元任一个三角形单元 上，可唯一确定一个线性插上，可唯一确定一个线性插值函数值函数其中，其中，为三角形单元顶点为三角形单元顶点 处给定的函数值，处给定的函数值，为为 处相应的单元节点基函数，它们都是线处相应的单元节点基函数，它们都是线性性函数，且满足条件函数，且满足条件 根据前面的讨论容易验证：根据前面的讨论容易验证：即面积坐标正好是三角形单元上线性插值函数的基即面积坐标正好是三角形单元上线性插值函数的基函数，于函数，于是在任一三角形单元是在任一三角形单元 上上 (8.12)(8.12)称式称式(8.12)(8.12)为单元形状函数将每一个单元上构为单元形状函数将每一个单元上构造的函数造的函数 合并恰来就得到合并恰来就得到 在整个区域在整个区域 上的分块上的分块近似函数近似函数 .由于每个节点对应一个基函数，所以整个区由于每个节点对应一个基函数，所以整个区域域 上共上共有有 个基函数个基函数.容易证明，由容易证明，由 所所生成的试生成的试探函数空间探函数空间 是是 的的 维子空间，维子空间，中的任一函数中的任一函数 均均可表为可表为其中，其中，是是 在节点在节点 处的值处的值.8.3 8.3 单元分析单元分析 令令 (8.13)(8.13)下面利用式下面利用式(8.6)(8.6)、(8.8)(8.8)对式对式(8.13)(8.13)右端的积分右端的积分逐项进行分析逐项进行分析.设单元设单元 为为 在三个顶点上，在三个顶点上，的值分别的值分别为为和和 记记 为为 的面积，的面积，则在单元则在单元 上上于是式于是式(8.13)(8.13)右端的第一个积分可化为右端的第一个积分可化为其中其中 (8.14)称称 为单元刚度矩阵为单元刚度矩阵.同理，可将式同理，可将式(8.13)右端的第二个积分化为：右端的第二个积分化为：其中其中 (8.15)称称 为单元载荷向量为单元载荷向量.综合以上分析，我们得到综合以上分析，我们得到 8.4 8.4 总体合成总体合成 令令 (8.16)(8.16)我们知道，单元刚度矩阵或单元载荷向量中的我们知道，单元刚度矩阵或单元载荷向量中的元素下标值对应于单元节点序号所谓总体合成，元素下标值对应于单元节点序号所谓总体合成，就是将这些序号转就是将这些序号转换为总体节点序号，然后把这个元素加到总体系数换为总体节点序号，然后把这个元素加到总体系数矩阵某个位置上去这个位置的行列序号，正是相矩阵某个位置上去这个位置的行列序号，正是相应的总体节点序号必须指出，对于每个单元中的应的总体节点序号必须指出，对于每个单元中的节点号统一按逆（或顺）时针方向排列，但是它们节点号统一按逆（或顺）时针方向排列，但是它们在总的节点编号中就不一点按原来的次序排列了在总的节点编号中就不一点按原来的次序排列了 设已经给出了单元节点编号与总的节点编号的对设已经给出了单元节点编号与总的节点编号的对应关系，令应关系，令对单元对单元 有有其中，其中，是一个是一个 的矩阵的矩阵.若单元若单元 的节点的节点 在总节在总节点编号中的序号为点编号中的序号为 ，则，则 的第一行第的第一行第 个元素为个元素为1，其余元素均为其余元素均为0；的第二行、第三行分别也只有一的第二行、第三行分别也只有一个非零元素，其值为个非零元素，其值为1，其位置由单元，其位置由单元 的节点的节点 在总编号中的序号来决定在总编号中的序号来决定 同理，可以写出同理，可以写出于是式于是式(8.16)右端的第一项成为右端的第一项成为其中其中 (8.17)就是总刚度矩阵，就是总刚度矩阵，表示对表示对 个单元求和个单元求和.显然，显然，只是单元刚度矩只是单元刚度矩 的九个元素在的九个元素在总节点编号下重新排列和总节点编号下重新排列和“扩展扩展”的结果，而总刚的结果，而总刚度矩阵度矩阵则是将各个单元的则是将各个单元的“贡献贡献”叠加起来叠加起来.它是一个它是一个 的对称、正定矩阵的对称、正定矩阵.对于式对于式(8.16)右端的第二项，同样得右端的第二项，同样得其中其中 (8.18)就是总载荷向量，它是每个单元上单元载荷向量贡就是总载荷向量，它是每个单元上单元载荷向量贡献的叠加献的叠加 这样由式这样由式(8.3)可知，对可知，对 ,有有故得到故得到 所满足的线性代数方程组所满足的线性代数方程组 (8.19)方程组方程组(8.19)的系数矩阵的系数矩阵 对称、正定，故方程组对称、正定，故方程组(8.19)有有唯一解唯一解 求得它们后，就有求得它们后，就有8.5 8.5 边界条件的处理边界条件的处理 1.1.第一边值条件第一边值条件 若第一边值条件为非齐次的若第一边值条件为非齐次的 (8.20)则应像内点一样，在界点也引进基函数则应像内点一样，在界点也引进基函数引进的方引进的方法及计算公式同内点完全一样法及计算公式同内点完全一样 假定内节点和边界点的总个数为假定内节点和边界点的总个数为 ，则与上面的，则与上面的推导完全一样，可得到推导完全一样，可得到 所满足的线性代数方所满足的线性代数方程组程组或写成或写成 (8.21)要得到问题要得到问题(8.1)、(8.20)的解的解 在内部节点上在内部节点上的近似值，则可按如下方法对方程组的近似值，则可按如下方法对方程组(8.21)进行处进行处理理 假设有假设有 个边界节点，个边界节点，个内节点为叙述方便，个内节点为叙述方便，假定在总体节点编号时，假定在总体节点编号时，把边界把边界 上的节点排在最前上的节点排在最前面面，于是为了得到内点所满足的有限元方程，可先，于是为了得到内点所满足的有限元方程，可先从方程组从方程组(8.21)中去掉前中去掉前 个方程，即：个方程，即：(8.22)然后用边值然后用边值 代入左端相应项，并移至代入左端相应项，并移至右端，便得到有限元方程，它是一个具右端，便得到有限元方程，它是一个具 个未知数、个未知数、个方程的线性代数方程组个方程的线性代数方程组 若记若记其中，其中，是是 的方阵，的方阵，是是 的方阵；的方阵；都是都是 的，的，都是都是 的则方程的则方程(8.23)可写成如下形式可写成如下形式 (8.24)其中其中 是从是从 中划去头中划去头 行行 列元素而得到的列元素而得到的.显然，显然，若边界条件是齐次的，则此方程组就是式若边界条件是齐次的，则此方程组就是式(8.19)若边界若边界 上的节点不是排在前上的节点不是排在前 个个，则在，则在 中划去中划去相应的相应的 行行 列，在列，在 中划去相应的中划去相应的 行，然后用边值行，然后用边值代入左端相应项，并移至右端，同样得到内点所满代入左端相应项，并移至右端，同样得到内点所满足的线性代数方程组足的线性代数方程组 以上的约束处理方法，将以上的约束处理方法，将 改改 为时，要重新存储为时，要重新存储矩阵的元素，从而给编制程序带来麻烦因此在实矩阵的元素，从而给编制程序带来麻烦因此在实际计算时，应把方程组（际计算时，应把方程组（8.24）改写为）改写为 (8.25)其中其中,是是 阶单位矩阵，阶单位矩阵，是由边界是由边界 上节点上节点 的值所的值所组成当边界条件为齐次时，组成当边界条件为齐次时，这一方程组的系这一方程组的系数矩阵保留了数矩阵保留了 的阶数它与方程组的阶数它与方程组(8.24)等价等价 2.2.第二和第三边值条件第二和第三边值条件 假定问题中给定的是下列边值条件之一：假定问题中给定的是下列边值条件之一：(8.26)(8.26)(8.27)(8.27)其中，其中，都是给定的连续函数都是给定的连续函数.因为它们是因为它们是自然边值条件自然边值条件，可像内点一样在界点，可像内点一样在界点形成有限元方程形成有限元方程,只不过双线性形式只不过双线性形式 因边值条件因边值条件不同需要修改不同需要修改.例如，对例如，对Poisson方程方程(8.1)与边值条件与边值条件(8.26)，相应的双线性形式为相应的双线性形式为变分式的右端修改为变分式的右端修改为于是有于是有 (8.28)其中，其中，是第是第 个单元如果它的边界个单元如果它的边界 至少有一条边至少有一条边是在是在的边界的边界 上，则记这部分边界为上，则记这部分边界为 显然，若显然，若 是是“内内部的元部的元”，即，即 的三条边都不在的三条边都不在 上，则在上，则在(8.28)中中将不出现线积分项将不出现线积分项 为了书写方便，我们记这种情况下的为了书写方便，我们记这种情况下的 为为 ，即空，即空集，集，在空集上的积分为零在空集上的积分为零在这种情况下，只需对在这种情况下，只需对单元载荷向量作如下修改：单元载荷向量作如下修改：(8.29)其中其中 如果如果 是非空集，可设是非空集，可设 是是 边（如果是其它边，边（如果是其它边，只需将下列计算公式稍作修改，如果是两条或三条只需将下列计算公式稍作修改，如果是两条或三条边，则应计算类似的两个或三个积分），令边，则应计算类似的两个或三个积分），令 ，引入参数引入参数 为为 上的弧长，对应上的弧长，对应 有有 ，对应，对应 有有 ，这样可得这样可得这样就得到了单元载荷向量这样就得到了单元载荷向量 如果对如果对Poisson方程方程(8.1)与边值条件与边值条件(8.27)，相，相应的双线性形式为应的双线性形式为 (8.30)变分式的右端项为变分式的右端项为于是，有于是，有 (8.31)这时单元载荷向量也具有这时单元载荷向量也具有(8.29)的形式单元刚度的形式单元刚度矩阵修改为矩阵修改为其中其中,与与(8.14)的形式完全一样，而的形式完全一样，而 是由是由(8.31)左端的线积分产生的三阶矩阵，其表达式为左端的线积分产生的三阶矩阵，其表达式为 (8.32)其中其中 如果问题给出的是混合边值条件：在如果问题给出的是混合边值条件：在 的一部分的一部分 上给出第一边值，在其余部分上给出第一边值，在其余部分 上给出第二边值这上给出第二边值这时可用前述方法分别处理时可用前述方法分别处理 和和 ，和和 的交界点应取的交界点应取作剖分节点，把它当做第一边值或第二边值点处理作剖分节点，把它当做第一边值或第二边值点处理均可均可