最佳平方逼近多项式PPT课件.ppt

最佳平方逼近多项式1n本节内容1.内积空间2.两类特殊的函数族3.函数的最佳平方逼近4.举例5.MATLAB程序实现5.2 最佳平方逼近多项式21.内积空间权函数：考虑到 在区间a,b上各点的函数值比重不同,常引进加权形式的定义，设在区间a,b上的非负函数 满足条件：1）存在；2）对非负的连续函数 ，若则在a,b上，即 不恒为0。就称 为a,b上的权函数。它的物理意义可以解释为密度函数。31.内积空间内积：设 是a,b上的权函数，则称积分 为函数 与 在a,b上的内积,有下列性质：1）2）为常数;3）4）当且仅当 时，41.内积空间内积空间：满足内积定义的函数空间称为内积空间。如在连续函数空间 上定义了内积就形成了一个内积空间。向量的模：在n维欧氏空间 中，内积就是两向量的数量积，即向量的模（范数)的定义为：51.内积空间欧式范数：若 ,则量称为 的欧式范数。对任何 ,有以下结论：（1），又称柯西-施瓦茨不等式；（2），又称三角不等式；（3），又称平行四边形定律。62.两类特殊的函数族正交：若 为a,b上的权函数且满足则称 与 在a,b上带权正交。正交函数族：若函数族满足关系则称 是a,b上带权 的正交函数族；若 ，则称为标准正交函数族。72.两类特殊的函数族 可以证明，三角函数族满足上述条件，是在 上的正交函数族。线性无关：若函数 在区间a,b上连续，如果 当且仅当 时成立，则称在a,b上是线性无关的。82.两类特殊的函数族线性无关函数族：若函数族中的任何有限个 线性无关，则称 为线性无关函数族。充要条件：在a,b上线性无关的充要条件是它的Gramer行列式 ，其中93.函数的最佳平方逼近最佳平方逼近函数：对于 及 中的一个子集 若存在 使下式成立:则称 是 在子集 中的最佳平方逼近函数，其中 是一组线性无关函数族，函数103.函数的最佳平方逼近对函数s*(x)的求解：等价于求以下多元函数 的最小值。令 则引入内积定义，可得即113.函数的最佳平方逼近 上式是关于 的线性方程组，称为法方程。用矩阵形式可表示为简记为 。其中123.函数的最佳平方逼近 由于 线性无关，故其系数矩阵H的行列式非奇异，即 ，该法方程有唯一解为 则最佳平方逼近函数为 令 ，则平方误差133.函数的最佳平方逼近 特别地，取 ，求其最佳平方逼近多项式 。此时，143.函数的最佳平方逼近又称为希尔伯特矩阵。则方程 的唯一解即为所求多项式s*(x)的系数。154.举例1.求 在区间0,1上的一次最佳平方逼近多项式。解：取 由得则由 162024/1/31 周三174.举例得解得：故所求一次最佳平方逼近多项式为：所求最佳一次逼近多项式为：184.举例194.举例Matlab 求定积分（int函数）d 0=(2*2(1/2)/5-(6*ellipticF(asin(1/(3/2+(3(1/2)*i)/2)(1/2),-(3/2+(3(1/2)*i)/2)/(-3/2+(3(1/2)*i)/2)*(-1/(-3/2+(3(1/2)*i)/2)(1/2)/5+(6*(3/2+(3(1/2)*i)/2)*(2/(3/2+(3(1/2)*i)/2)(1/2)*(-1/2+(3(1/2)*i)/2)/(3/2+(3(1/2)*i)/2)(1/2)*(1/2+(3(1/2)*i)/2)/(-3/2+(3(1/2)*i)/2)(1/2)*ellipticF(asin(2/(3/2+(3(1/2)*i)/2)(1/2),-(3/2+(3(1/2)*i)/2)/(-3/2+(3(1/2)*i)/2)*(-1/(2*(-1/2+(3(1/2)*i)/2)*(1/2+(3(1/2)*i)/2)(1/2)/5204.举例214.举例224.举例二次234.举例三次244.举例四次254.举例264.举例274.举例284.举例295.MATLAB编程实现function A=ZJPFBJ(f,n,a,b)C=zeros(n+1,n+1);var=findsym(f);f=f/varfor i=1:n+1 C(1,i)=(power(b,i)-power(a,i)/i;f=f*var;d(i,1)=int(sym(f),var,a,b);endfor i=2:n+1 C(i,1:n)=C(i-1,2:n+1);f1=power(b,n+i);f2=power(a,n+i);C(i,n+1)=(f1-f2)/(n+i);endA=Cd;A=real(double(A);end305.MATLAB编程实现程序结果输出计算结果输出315.MATLAB编程实现程序结果输出计算结果输出 程序正确 简化计算32谢谢敬敬请老老师、同学、同学们批批评指正指正332024/1/31 周三34