图形中最短问题的解题策略.doc

南通市初中数学基地活动课堂观摩 课堂教学设计 2013．10．31
图形中“最短问题” 的解题策略
【教学目标】
1．使学生进一步感悟“两点之间线段最短”“垂线段最短”等几何基本事实；
2．通过对具体问题的研究，学会用对称等变换将问题进行转化的解题策略；
3．体会转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等在数学解题中的应用策略．
【重点、难点】
重点：数学解题的策略； 难点：数学思想在解题中的应用．
【教学过程】
一、研究问题，感悟几何基本事实
1.解答以下一组问题：

（图1） （图2） （图3）
（1）如图1，已知A和B两点，请在平面内求作一点P，使PA+PB最短.
（说说你是怎样作的，为什么？）
（2）如图2，已知A和B两点和直线l，请在直线l上求作一点P，使PA+PB最短.
（你是怎样思考的，为什么？）
（3）如图3，已知A和B两点和直线l，请在直线l上求作一点P，使PA+PB最短.
（思考本题与第2题有何不同，你的解题方法是什么？是否有何解题策略？）
在以上各题中，体现了怎样的几何基本事实？________________________________.
2.几何基本事实的应用
（1）如图4，已知点A是∠MON内一点.
①在∠MON的两边上分别求作点B、C，使△ABC的周长最短；
②在上题中，若∠MON=30°，OA=2，则△ABC的最短周长是多少？

（图4） （图5）
（2）如图5，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，在BC、DE上分别作一点M、N，使得△AMN的周长最小，此时∠AMN+∠ANM=________.
请思考以下问题，并在小组内交流你的观点，倾听别人的见解.
你是怎样解决此类问题的？在此过程中运用了怎样的方法？有怎样的解题策略与别人分享.
二、研究新问题，再次感悟几何基本事实
1.（1）如图6，已知点A和直线l，在直线l上求作一点P，使线段AP最短.
体现的几何基本事实是________________________.

（图6） （图7）
（2）如图7，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点P是斜边AB上一动点，则线段PC的最小值为___________．
2. 几何基本事实的应用
（1）如图8，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上一动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是_______________

（图8） （图9）

（2）如图9，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，经过点C且与边AB相切的动圆O与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是___________．
小组交流：
你是怎样解决此类问题的？在此过程中运用了怎样的方法？有怎样的解题策略与别人分享.
三、综合运用，深化数学思想，感悟解题策略
1.如图10，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P、Q、K
分别在线段BC、CD、BD上，则PK+QK的最小值为_______

解答以上各题后，谈谈你的解题体会：
[设计意图：通过以上问题的研究，使学生学会应用转化思想将要解决的问题转化为能利用基本事实解决，其方法是运用了轴对称，以形助数、以数助形的数形结合思想，利用勾股定理、三角形有关角的定理、特殊四边形的有关性质等常见几何定理解决问题，最终还是始终抓住转化为利用几何基本事实来解题的解题策略]
三、课堂小结
解决此类图形中的最短问题的解题策略就是将问题转化为两个几何基本事实的图形模型，运用转化思想、数形结合思想，结合几何有关定理，巧用代数运算策略，就能有效解决此类问题．当然，本课不可能穷举所有类型，还希望同学们在学习的过程中灵活运用所学，充分运用数学思想和方法，总结解题策略，举一反三．
四、课堂练习
1．如图11，已知⊙O的直径CD为2，∠AOC=60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，
使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．

（图11） （图12） （图13）
2．如图12，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是　 　．
3．如图13，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（－4，0）、B（0，4），⊙O的半
径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为 ．

课堂教学语言
开场：同学们，学习数学离不开解题，而数学解题仅仅知道“解题方法和技巧”是不够的，重要的是掌握寻找“解题方法和技巧”的途径，在这个过程中，不能忽视掌握数学中的基本概念、基本事实、定理、公式对我们解好题的重要作用。本课我和大家从就如何利用几何基本事实解决图形中的最短问题这个角度，探讨一下初中数学的解题策略。
一、
1.首先请大家解决两个简单问题，并说明运用了怎样的几何基本事实。

2.掌握这两个基本事实，对研究有些图形中的最短问题有什么帮助呢？
请研究“初步应用”中的（1）（2）两个问题。
请同学们说说你的思考和方法：
（1） 由于A、B位于点P所在直线l的同侧，所以考虑将其中一点B作它关于l的对称点B’，这样PA+PB=PA+PB’，当P落在线段AB’上时，PA+PB=PA+PB’=PB’，就是最短的了。（几何画板演示点P的其它位置），本质是利用轴对称将折线变成线段。
（2） 这个问题中有两个动点P、B，从图形直观上很难看出在什么位置PB最短，考虑到PB是圆的切线，联想到切线的性质和常用辅助线，得到，从这个数量式子上可以直观地看出当PO最小时，PB最小，所以将动点P运动到垂线段位置，即PB的最小值为。
在这个过程中，解题策略是看形难就看数，以数助形，顺利得解。
3.这种解题的策略，你有没有很好地领会？请继续研究“变式应用”中的3个问题，考验一下自己。
（1）△AMN的周长最小，涉及三条线段之和最小，题中有2个动点M、N，不妨先固定一点（N），
就转化为只有一个动点M，两个定点A、N，只要使MA+MN最小，显然只要作A关于BC
的对称点A1，然后再释放点N，考虑使AN+MN最短，同样作A关于DE的对称点A2，这
样AM+MN+NA= A1M+MN+N A2，利用基本事实①作线段A1 A2分别交BC、ED于M、N即
可，本质上还是将折线变成线段，当然还要利用三角形的角的有关知识，才能最终解决问题。
（2）本题有3个动点，分别在三条线段上，可先固定P、Q，剩1个动点K，运用事实①，再释放
点P、Q，利用基本事实②，变成垂线段，得解。
（3）题中有2个动点P、Q，1个定点C，分析到PQ是直径，所以作半径OC和过切点的半径OD，
再将折线变成线段，当然还要用到勾股定理和面积法，最终得解。
课中小结：通过对以上问题的研究，你对这类问题的解题策略有何认识？
学会了通过转化思想将要解决的问题转化为能利用基本事实解决，其方法是运用了轴对称，以形助数、以数助形的数形结合思想，利用勾股定理、三角形有关角的定理、特殊四边形的有关性质等常见几何定理解决问题，最终还是始终抓住转化为利用几何基本事实来解题的解题策略，同时对多个动点问题可以采取由多变少，分步考虑的策略。

二、
既然大家对此类问题的解题策略有不错的理解，那么我们再看看下面两个问题，又该思考对策？
（1）将立体问题转化为平面问题。

（2）将代数问题转化为几何问题。

三、课堂小结
解决此类图形中的最短问题的解题策略就是将问题转化为两个几何基本事实的图形模型，运用转化思想、数形结合思想，结合几何有关定理，巧用代数运算策略，就能有效解决此类问题．当然，本课不可能穷举所有类型，还希望同学们在学习的过程中灵活运用所学，充分运用数学思想和方法，总结解题策略，举一反三．
四、课堂练习
学要能用，学要会用，接着用3道题检测一下自己本课的学习效果。

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