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高三解题——想得好才能做得好
张志超 江苏省南京市第五中学 邮编210004
为了凸显高考的选拔功能，让不同层次的考生在考试中各尽其能，数学试卷在中档题的设置中，大都具有“一题多解”的特点，如果考生选择了好的解法，可以让你 “简洁、易解”；如果选择了不好的解法，可以让你“繁琐、易错.”笔者认为：解法的选择，是考生数学能力差异的反映，最终将在考试成绩上得到显现.因此，在高三数学复习时，教师要引导学生从数学知识整体与方法上全面去认识解题，力求从 “一题多解”中学会辨析好与不好的解法，把好方法的选择与解题落实在复习之中，用想得好去做得好。.以下笔者以近年来的一些高考真题为样题，谈谈对该问题的认识.
1.(2012年江苏卷11)
设为锐角，若，则的值为 ▲ .
1.1想法：从结论考虑,要求的值，可以先求出的值，其次求出的值，最后再利用及和角公式求出值.
详解：因为为锐角，，得.
所以.
.
.
反思：从结论考虑,执果索因..思路正确但太死板，连同计算，求出结果共需要7个步骤，费时费工，如果一步出错，满盘皆输，隶属不好的解法，不提倡用此法求解.
1.2想法：从结构考虑，， 那么
.
所以只要由条件，利用二倍角公式求出即可.
详解：因为为锐角，，得
所以.
那么.
故.
反思：应用整体化的思想方法，从结构考虑，利用代数式的恒等变形，将需要求的
等价变形为与已知条件有关的.从思维的层面上看，这个想法优于想法1，
计算步骤也只要4步，而且每步计算都是整体化的，难度明显小于详解1，隶属较好的解法.但是的恒等变形不易想到，需要平时加强训练.
1.3想法：从整体考虑，用换元法，令，得.将原题等价于“设为锐角，若，则=_____▲_____.”显然变形后的习题，其难度远远小于原题.
详解：因为为锐角，，令，得为锐角.
所以
故.
反思：应用换元法，本题抓住了条件与结论中，都含有共同的元，引入新元等价建立了条件与结论的新关系，使得问题变得简单、易解.应用此法不需多想与的关系，回避了的变形难点，只要换元、计算正确即可，隶属好方法，最值得提倡.
2．（2010年全国卷1文数11）
已知圆的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为
(A) (B) (C) (D)
2.1想法： 用函数方法，选择一个变量PA=x，建立关于x的函数y.再求y的最小值即可.
P
A
B
O
详解：如图所示：设PA=PB=,∠APO=,则∠APB=，PO=，，
===，令，则..
怎样求 的最小值呢？
2.1.1(判别式法)
由，得，由是正实数，所以
，，解得或.又因为是正实数，所以解得故.此时，此题选C.
2.1.2.（均值不等式法）
因为，所以
当且仅当取“=”. 故，此题选C.
也可以用换元法，令，得
2.1.3（导数法）
，令，求解很困难，此法不可取.
反思：想法1是解决最值问题的一般性解法，其难点在于变量x的选择，尤其是怎样用x去表示，结合图形，利用向量数量积的几何意义，可突破难点.在建立函数后，怎样求其最小值，可以看出又多种选择，最好的为将其变形后，用均值不等式求解.最不能选择的是导数法.
P
A
B
O
2.2想法：用函数方法，选择一个变量，建立关于的函数y.再求y的最小值即可.
详解：如图设，得

换元：，得
故，此题选C.
反思：选择了角为变量，建立y关于的三角函数，最后利用均值不等式求解，由于运算过程用到一些三角关系式，从结构上讲比较简单，是好方法.
2.3想法：建系用坐标法将用坐标表示，再利用坐标的限制条件求解.
详解：以圆心为原点，P点在x正半轴上，建立直角坐标系系：
得圆的方程为，设，其中
.

因为，所以.
当且仅当时，取“=”. 故，此题选C.
反思：坐标法是解决向量问题常用的方法，建系将向量坐标化，再利用向量的坐标运算，可将问题简化，隶属好方法.此题难点在利用，找到的关系.
3.（2011年广东理卷11）等差数列前9项的和等于前4项的和．若，则k=______▲______．
3.1想法：由，可解得d、；再利用，求出k.
详解：设公差为d, 由得，由，得
，.
反思：按照要求，由因到果，计算不繁琐，这是常用解法，只是算法步骤较多.
3.2想法：由可得，得.因为，所以k=10.
详解：如想法3.2：
反思：从整体考虑，抓住的条件，利用等差数列中若，则的性质，得到，比较得k=10.想法3.2优于3.1.其关键在处理等差、等比数列问题时，应用了整体化的思想方法，简化了运算.
4.（2010年全国理16）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点， 且，则的离心率为 ▲ .
4.1想法：因为是焦点，是端点，所以由，可以将D点坐标用椭圆基本量与的关系表示，再将D点坐标代人椭圆方程，即可求得.
详解：设椭圆方程为第一标准形式，设，F分 BD所成的比为2，，代入
，
反思:求离心率的常用方法是找椭圆基本量与的关系.本题利用坐标、方程求解，隶属为一般性的解法，需要熟练掌握.

4.2想法:利用几何性质、第二定义，分别将BF与FD的长用椭圆基本量与表示，再利用，找到与的关系，即可求得.
详解:如图，,
作轴于点D1,则由，得
,所以,
即,由椭圆的第二定义得
又由,得
反思：利用几何性质可简化问题求解，平时要多留心几何解法.
4.3想法：因为BC是过焦点F的弦，用椭圆极坐标，其中，分别求出
ＢＦ和ＤＦ，利用，可求得离心率.
详解：因为，
所以
因为，所以，解得.
反思：用极坐标方法，其本质为圆锥曲线的统一定义，此法正是利用了这一性质，使得解答简单、易算，理科考生应该在复习中掌握.
象以上这样的中档题在每年全国各地的试卷中比比皆是，它分布在选择题、填空题的后几题， 用于考查考生对数学思想方法的理解和应用。这些题对考生的成绩影响极大：如果选用了好的解法不但简单易对，而且心态稳定、赢得时间去做难题；选用了不好的解法，不但费时而且难以做对，还可能引起焦虑情绪，影响后继考试。笔者认为：只要我们在高三复习时，用想得好去做得好，多一些“一题多解”，少一些“单一重复”，高考时就能做得更好。

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