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第三章 电力网络方程的修正解法
在电力系统分析计算中经常会遇到网络结构或者运行参数发生局部变化，而网络的大部分没有变化的情况。这时，如果能利用变化前已经有的信息快速计算出变化后的网络解，对提高电网计算速度是很有益处的。这种利用变化前已经有的信息快速计算出变化后的网络解的方法称为网络方程修正解法，基本思想是对变化前网络方程或网络方程的解进行少量的修正计算得到变化后的网络方程的解。这种解法可以成倍地提高计算速度，因而在电网计算的诸多领域已得到了十分广泛的应用。
修正解法要解决的问题是：线性方程的系数矩阵有局部变化时，如何利用变前的系数矩阵、系数矩阵的变化量和变化前的解快速得到变化后的解。
第一节 补偿法
在电网在线静态安全分析中，可应用补偿法计算各种不同的网络元件开断后的潮流分布；在短路电流计算中也大量应用补偿法。
一、补偿法网络方程的修正计算
令n维电力系统网络方程是
（3-1）
当网络结构或参数发生微小变化而节点注入电流不变时，这时网络方程变为
（3-2）
式（3-2）中在电力网络分析中一般是由于元件增加、移出或元件参数发生变化引起的，可用节点支路关联矩阵描述为，式（3-2）变为
（3-3）
式中是阶矩阵，是发生变化的支路数，通常是网络修正支路的原始支路导纳矩阵。M是和发生变化的元件相对应的阶节点支路关联矩阵。
利用矩阵求逆辅助定理，式（3-3）变为
（3-4）
式中
（3-4a）
式中为网络修正支路的原始支路阻抗矩阵，为原网络修正支路对应的端口之间的端口阻抗矩阵。如果网络变化使网络解裂（且有一部分网络与参考点之间无支路），则（3-4a）式右侧不可逆，这时需要采取特殊的措施，否则这样的修正不能进行。
令，式（3-4a）可改写为：
（3-4b）
或
（3-4c）
1、后补偿
后补偿法先计算网络方程的解，然后再计算补偿项。将式（3-4）展开得

令为解的补偿项，得计算模式
（3-5）
在式中，是在原网络中加修正支路后，在修正支路中流过的电流，而使节点注入电流产生的增量。所以是节点注入电流增量产生的节点电压增量，符合叠加原理。
式（3-5）计算模式的主要计算是先后用的因子表对注入电流和进行前代回代运算。为了节省计算量，对(b)式的计算可先计算，再计算。
2、前补偿
先计算补偿项，然后再求解网络方程。引入将式（3-4）展开得

得计算模式
（3-6）
不难看出，式（3-6）也符合叠加原理。该模式的主要计算是先后用的因子表对注入电流和+进行前代回代运算。为了节省计算量，(a) 式的计算可令，先计算，再计算。
3、中补偿
这种模式利用原网络导纳矩阵的因子表进行网络方程求解计算，补偿修正步夹在网络方程求解的前代和回代计算之间。
假设节点导纳矩阵Y已被分解成因子表，即

式（3-4）变为

式中，得计算模式
（3-7）
几种补偿计算模式各有特点，计算代价有所不同。当修正支路数不很大时，使用补偿法在计算速度上可以获得很高的效益。下面分析时几种补偿法的计算量。
对于后补偿，（3-5)式的计算代价主要花在(a)和(b)两步上。步(a)执行一次完全前代和一次完全回代，其计算量用FS＋BS表示。步(b)中的右侧的项M是一个稀疏列矢量，只有两个非零元素，计算只需要用Y的因子表对稀疏矢量进行前代回代，涉及一次快速前代和一次完全回代的计算量，其计算量用FFS＋BS表示。后补偿的总计算量为FFS +FS+2BS。
对前补偿，（3-6）式计算量主要花在(a)步和(c）步。(a)步主要计算量为FFS＋BS，步(c)计算量是FS＋BS，前补偿总计算量为FFS +FS+2BS。
对中补偿，步(a)的计算量为一次前代的计算量，即为FS；步（b）中用计算W和的计算工作量为2FFS;步（d）为一次完全回代，计算量是BS。总计算量约为2FFS +FS+BS。
可见中补偿计算量最小。特别是当Y是对称矩阵时，是单位下三角矩阵，可用计算W，用计算，这又省去了一次前代。但当M较大时，W列数较多，这时其计算量也将增加。
如果原网络解已可用，后补偿（3-5)式步(a)可省去，这时用后补偿有明显优势。
补偿法特别适合子注入电流不变，而又要对网络中不同部位发生局部变化时求网络方程的解的场合应用。这时只要利用原来变化前的导纳矩阵的因子表进行前代回代求解，省去了重新分解因子表的计算量。
二、补偿法在电网计算中的应用
应用补偿法时，关键是要合理地构造网络矩阵的修正量，一方面要正确反映网络的变化，另一方面还要尽量减小计算量。
1、面向支路的修正
对支路开断或添加，导纳矩阵的修正量为:
（3-8）
式中M是由开断支路的节点支路关联矢量组成的矩阵。对一条支路开断M为一列矢量：
（3-9）
是标量，其值是支路导纳取负值(对支路开断)或取正值(对添加支路)。对于m条支路开断的情况，M是n×m阶矩阵，是m条支路的原始支路导纳矩阵的负值。
2、面向节点的修正
如对于支路开断，导纳矩阵的修正量式（3-8）也可以用下面的矩阵乘积表示：
（3-10）
式中，是开断支路两端的节点号，是支路的导纳。式中M是开断支路的关联节点与网络节点的关联矢量组成的矩阵，是支路开断对导纳矩阵中节点对应的四个元素的修正量所组成的矩阵。当开断支路为两端有充电电容时，导纳矩阵的修正量表示为：
（3-11）
式中，为两端充电电容的容纳。当开断的为接地支路时，导纳矩阵的修正量表示为：
（3-12）
当有m条支路开断时，导纳矩阵的修正量表示为
（3-13）
式中，和分别为第条开断支路的节点关联矢量和第条支路
开断对其关联节点对应的导纳矩阵中元素的修正量组成的矩阵。
上述两种修正方法，具体选用时，为减少计算量，应遵循的原则是使M矩阵的阶数尽量小。
三、补偿法的物理解释
Y
Y
Y
+
-

如图所示，节点之间支路开断，相当于在支路两端节点之间并联一条负阻抗支路，即补偿公式中的。也可以理解为原网络结构不变，原注入电流也不变，只是在节点上分别添加注入电流和。电流是在原网络上并联之后在该支路上流过的电流。
由图可见，只要求出，把它注入到节点和上，再和原来的注入电流矢量一起作为开断前网络的注入电流，就可以求解出变化后网络的节点电压。
从节点向原网络看进去可用一个等值电动势源表示，如图所示。其内电动势即节点之间的开路电压，即

式中是没有接入支路时节点电压列矢量。而电动势源内阻抗为节点组成的端口的端口自阻抗

图示回路阻抗是

修正支路电流

把这个电流转换成节点注入电流有

这正是前补偿计算公式(3-6a)。将原网络注入电流和补偿注入电流相加得网络变化后注入原网络的电流。用原网络的导纳矩阵可求得变化后网络的节点电压。
第二节 因子表的修正算法
网络结构或参数发生变化时，我们可以不改变网络方程的系数矩阵而用补偿法对新网络进行计算；当然也可以修改网络方程的系数矩阵，然后用修改后系数矩阵进行计算。对于已形成了原网络的系数矩阵因子表，又需要多次应用网络变化后的因子表进行计算场合，以原网络的系数矩阵因子表为基础，对其修正得到新的因子表的方法更能节省计算量。修正因子表有两种方法，一种直接对原因子表进行修正，另一种对因子表要改变的部位进行局部再分解。
一、因子表秩1修正算法
1、算法的原理
设原来的网络方程系数矩阵的因子分解形式是
（3-14）
网络结构或参数发生局部变化后的系数矩阵变成
（3-15）
式中和都是的矢量,是标量。新的矩阵的因子表为
（3-16）
由上三式得
（3-17）
问题是如何由式（3-17）的右端求出左端因子表各元素。为此首先把式（3-17）各项第一行第一列与其它行列分离写成分块矩阵的形式，并按下运算得
（3-18）
（3-19）
（3-20）
将式（3-18）～式（3-19）代入式（3-17）变为
（3-21）
根据式（3-21）左右两端元素对应相等得：
（3-22）
（3-23）
（3-24）
（3-25）
式（3-22）是的计算式。用式（3-22）消去式（3-23）中的，得的计算式
（3-26）
式中
（3-27）
用式（3-22）消去式（3-24）中的，得的计算式
（3-28）
式中
（3-29）
式（3-25）可写成如下的形式
（3-30）
式中
（3-31）
（3-32）
（3-33）
用式（3-22）消去式（3-33）中的，再将式（3-26）和式（3-28）代入，得

（3-34）
式中
（3-35）
把式(3-31)、式(3-32)和式(3-34)代入式(3-30)有
（3-36）
可见(3-36)式和(3-17)式形式相同，只是维数降低了一维。可以用相同的方法求出的第一列、的第一个和的第一行元素。如此递推，不断地求出降阶矩阵的第一行和第一列，、和及不断降阶，最终完成整个因子修正。
以上讨论的是假定，都是维列矢量，为一标量的情况，所以叫秩1因子修正。如果和是阶矩阵，是阶对角线矩阵，则总可以将的修正项写成
（3-37）
的形式，多次使用秩1因子修正算法得到修正后的因子表。
如果不是对角线矩阵，展开式相对比较复杂，仍能写成秩1因子修正公式的和的形式。例如对二阶修正可写为
(3-38)
就可递归地调用秩1因子修正算法了。
2、算法流程
①不对称矩阵的情况
矩阵不对称时，，。因子表修正算法可用下面程序实现:
（3-39）
式中和是降低了维以后的矢量。和分别是原矩阵因子表和的第行和第列矢量（不包括对角线元素）。是的第个对角元。和是第步结束时，和的第1个元素。
分析(3-39式的计算程序可知，若，则对、、的修正不必做；若，则对、、的修正也不必做。，是否为零，取决于开始时中非零元素的分布，也取决于的非零元素的分布。
如若，在(3-39)式中的修正计算中，中的非零元素将改变中的非零元素的分布。由于中的非零元素一定在节点的因子道路上，因此，节点的因子道路是需要做因子修正的地方，只需对和中非零元素点集的路集上的点进行因子修正，不在路集上的点不别修正。（对的修正相当于用和对其做前代运算）
同样，如若，在(3-39)式中的修正计算中，中的非零元素将改变中的非零元素的分布。也只需对和中非零元素点集的路集上的点进行因子修正，不在路集上的点不别修正。（对的修正相当于用和对其做前代运算）
因此，可以借助稀疏矢量法提高因子修正的计算速度。 令稀疏矢量中非零元素的点集的道路集是，中非零元素的点集的道路集是使用稀疏矢量法进行因子修正的程序是:
（3-40）
式中，和分别是和中的第个元素，为中的第个行元素，为的第个列元素。
②对称矩阵的情况
矩阵对称时，，即；，即。式（3-39）计算步骤合并为
（3-41）
使用稀疏矢量法时，因，只有一个路集，计算流程为
（3-42）
二、系数矩阵阶次变化时因子表的修正
以上介绍的秩1因子修正算法是假定网络变化前后网络方程系数矩阵因子表的阶次不变。下面介绍当网络变化使矩阵及因子表的阶次变化时的因子表修正算法。
1、在原矩阵的右下角加边
已知阶的原矩阵已经分解成因子表，即，求在矩阵右下角加行列的边后的矩阵
（3-43）
的因子表。由于加的边不影响原矩阵的因子表，所以的因子分解可写为
（3-44）
右边展开得

根据两边矩阵元素对应相等得

或 （3-45）
或 或 （3-46）
或 （3-47）
可见，我们可以利用原因子表，，用式（3-45）计算，用式（3-46）计算，最后用式(3-47)计算，再对分解因子表得，，。
由于加边矩阵的阶次为，，所以，对分解因子表的计算工作量是很小的。当和很稀疏时，（3-45）式和（3-46）式的计算都可以用稀疏矢量法的快速前代来实观。特别是和都是对称矩阵并且和互为转置时，（3-45）式和（3-46）式两式中可省略一式。
当时，和都是列矢量，（3-45）式和（3-46）式也是列矢量，是标量，和都是1，则（3-47）式变成
（3-48）
2、在原矩阵的左上角加边
已知阶的原矩阵已经分解成因子表，即，现考虑在矩阵左上角加1行1列的边后的情况，加边后的矩阵为
（3-49）
式中，是标量，和都为列矢量。的因子分解可写为
（3-50）
右边展开得

按两边矩阵各元素对应相等整理得
（3-51）
或 （3-52）
或 （3-53）
或 （3-54）
可见，可用式（3-51）～式（3-53）计算式（3-50）中的，和。将式（3-52）和（3-53）代入式（3-54）得
（3-55）
式（3-55）和式（3-17）有相同的形式，可用因子表秩1修正法求得式（3-50）中，和。
当加边多于1行1列时，一种方法是从里到外一层一层加边，每加一层用上述方法求得增维后的因子表，直到所有边加完为止。另一种方法为上述加1行1列的推广，加边后矩阵的因子分解写为
（3-56）
展开为

整理得
（3-57）
或 或 （3-58）
或 （3-59）
或 或 （3-60）
由式（3-57）知，将因子分解可得，和。然后用式（3-58）和式（3-59）计算和。对式（3-60）用因子表秩1修正法求得，和。
三、因子表的局部再分解
因子表的局部再分解方法是对因子表中受影响的部分执行局部普通的因子分解计算。这种作法比修正导纳矩阵然后重新进行因子分解计算速度要快，因此得到了广泛的应用。
已知原矩阵已经分解成因子表，即，写成分块矩阵的形式
（3-61）
所以
（3-62）
无论网络方程发生怎样的变化，总可取合适的阶数使覆盖矩阵受影响的部分。
将变化后的矩阵用下式表示:
（3-63）
式中，、、与矩阵的相同位置元素相同，而
（3-64）
式中，为与同阶的修改矩阵。对因子分解的过程分析可知，除了和相对应的部分之外，矩阵其余部分的因子表不受影响。所以
（3-65）
所以
（3-66）
由式（3-62）、（3-64）和（3-66）得：
（3-67）
可见对式（3-67）右侧矩阵执行普通的因子分解可得到。
需要说明，上面介绍的算法使用时、和应为方阵，即、应取覆盖受影响部分的右下角最小方阵。
四、块稀疏矩阵的因子表修正算法
在电力系统计算中，有时要求解的线性代数方程组的系数矩阵具有2×2分块的形式，例如牛顿法潮流解法的雅克比矩阵。我们把每个2×2块矩阵看作为一个元素，则这个矩阵是一个块稀疏矩阵，其稀疏结构和具有标量元素的矩阵的相同。我们可以用普通稀疏矩阵相同的作法进行因子表修正或者局部再分解，只不过在每个数值计算步中不是进行两个标量之间的运算(加减乘除)，而是2×2块阵之间的运算。矩阵因子表的指针仍可使用在标量元素情况下的指针，即检素信息不变。
思考和练习题
矩阵

（1） 绘出赋权有向图；
（2） 求出赋权有向因子图；
（3） 独立矢量，进行前代、回代求出的解；
（4） 的增量为，其中，，用补偿法计算方程的解；
（5） 用秩1修正法求出的因子表；
（6） 用右下角加边的矩阵因子表修正法，计算变化后矩阵的因子表，其中，；
（7） 用左上角加边的矩阵因子表修正法，计算变化后矩阵的因子表，其中，；
（8） 如果，用因子表局部修正法求的因子表。