利用导数研究不等式恒成立问题.doc

导数复习系列（3）
——利用导数研究不等式的恒成立问题
1． 设函数f(x)＝，对于任意实数x∈[－1，2]，f(x)≤m恒成立，则m的最小值为________．

2.已知，,命题“”是假命题，则的取值范围是_______.

3.(2012·无锡调研)若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．

4.（2008江苏）设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为 .

5．(2012·宿迁市联考)已知f(x)＝2xln x，g(x)＝－x2＋ax－3.
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)若存在x∈(0，＋∞)，使f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围；

变式：证明对一切x∈(0，＋∞)，都有f(x)＞2成立．

6.

1．设函数f(x)＝，对于任意实数x∈[－1，2]，f(x)≤m恒成立，则m的最小值为________．
2.已知，,命题“”是假命题，则的取值
范围是_______.

3.(2012·无锡调研)若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
(2)当x≤0时，对任意a≠0，不等式恒成立．
当x＞0时，在e＞x两边取自然对数，得＞ln x.
①当0＜x≤1时，ln x≤0，当a＞0时，不等式恒成立；
当a＜0时，ln x＜0，aln x＞0，不等式等价于a＜，由(1)得，此时∈(－∞，0)，不等式不恒成立．
②当x＞1时，ln x＞0，则a＞0，不等式等价于a＜，由(1)得，此时的最小值为e，得0＜a＜e.
综上，a的取值范围是(0，e)．
4.（2008江苏）设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为 .
【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论取何值，≥0显然成立；当x＞0 即x∈（0，1]时，≥0可化为，
设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4；
当x＜0 即x∈时，≥0可化为，
在区间上单调递增，因此，从而≤4，综上＝4
【答案】4
5．(2012·宿迁市联考)已知f(x)＝2xln x，g(x)＝－x2＋ax－3.
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)若存在x∈(0，＋∞)，使f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围；

变式：证明对一切x∈(0，＋∞)，都有f(x)＞2成立．
(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(ln x＋1)．
令f′(x)＝0，得x＝.
当x∈时，f′(x)＜0；
当x∈时，f′(x)＞0.
所以f(x)在上单调递减；在上单调递增．
故当x＝时，f(x)取最小值为－.
(2)解　存在x∈(0，＋∞)，使f(x)≤g(x)成立，即2xln x≤－x2＋ax－3在x∈(0，＋∞)能成立，等价于a≥2ln x＋x＋在x∈(0，＋∞)能成立，等价于a≥(2ln x＋x＋)min.
记h(x)＝2ln x＋x＋，x∈(0，＋∞)，
则h′(x)＝＋1－＝＝.
当x∈(0,1)时，h′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0.
所以当x＝1时，h(x)取最小值为4，故a≥4.
(3)证明　记j(x)＝2，x∈(0，＋∞)，
则j′(x)＝2.
当x∈(0,1)时，j′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，j′(x)＜0.
所以当x＝1时，j(x)取最大值为－.
又由(1)知，当x＝时，f(x)取最小值为－，
故对一切x∈(0，＋∞)，都有f(x)＞2成立．

6.