《高观点下中学数学——分析学》练习题.doc

《高观点下中学数学——分析学》练习题一

一、填空题
1.若，则.
2.若，则.
3.设，若，则称为从到上的 .
4.若复数是某个整系数多项式方程的根，则称是 数.
5.设，则.
6.设函数定义在开区间内，对于，有，则称是内的 函数.
7．集合中的关系同时为反身的、对称的、（ ），则称关系为等价关系。
8．一个集合若不能与其一个真子集建立一个（ ），则称该集合为有限集。
9．函数在点的邻域内有定义，若（ ），则称函数在点处连续。
10．设是从到上的连续函数，满足：
1）（ ）；，
2）对于有,则是以为底的对数。
11．若函数是定义在上的连续函数，且满足：
1）（ ）；
2），当时，；
3）,则分别称是正弦函数与余弦函数。
12．设为从集合到集合中的关系，若,有唯一的，使（ ），则称为（从到中的）映射。
13.若，则.
14.若，则.
15.设，若，有,则称为从到上的 .
16.含有 的等式叫做函数方程.
17.设，则.
18．设函数定义在开区间内，对于，有，则称是内的 函数.
19．集合中满足（ ）的二元关系称为序关系。
20．设是非空数集，若存在实数，满足：1）有；2），有（ ），则称是数集的上确界。
21、函数在点的某个邻域内有定义，设在处的改变量是，相应的函数改变量=，若存在，则称函数在点（ ）。
22．若是定义在上的非零连续函数，且满足方程（ ），则称是指数函数。
23．函数是上的连续函数，且满足：
1）（ ）；2）有最小正根；3），则分别称是余弦函数.
24．既上凸又下凸的函数是（ ）.
25． 。
26．设，则。
27．设是非空实数集，当且仅当1） ，2）有。
28．致密性定理是：有界数列必有 。
29．对于，令，则对于，有。
30．设，则。

二、单项选择题
1.设，，有.
A. B. C. D.
2.若，且，则
A. B. C. D.
3.若在内连续，则在内（ ）
A. 可导 B. 单调 C. 有界 D. 对称
4.设是超越数，则是（ ）
A.有理数 B.代数数 C. 无理数 D. 超越数
5.与都是以为周期的周期函数，且 ，则（ ）
A. 不是周期函数
B. 是以为周期的周期函数
C. 是周期函数，但周期大于或等于
D. 是周期函数，但周期小于或等于
6.设是内充分光滑的严格下凸函数，则（ ）
A. 在内必取到最小值 B. 在内必取到最大值
C. 在内有 D. 前三个结论都不对
7．
A．= B． C． D．
8．实数集是（ ）
A．有限集 B．可列集 C．不可列集 D．空集
9．是从到的映射，且，，则
A．= B． C． D．
10．函数在点处（ ）
A．间断 B．连续 C． 可导 D．取得极小值
11．函数与在上有界，且，则在上（ ）。
A．有界 B．无界 C．有下界而无上界 D．结论不定
12．下面结论（ ）是正确的。
A．若是单调函数，也是单调函数，则是单调函数。
B．若在数集上可导，且有界，则在上有界
C．若是周期函数，，则是周期函数
D．若在数集上有界且可导，则在上有界
13.设，，有.
A. B. C. D.
14.自然数集，是（ ）
A. 有限集 B. 可列集 C. 不可列集 D. 空集
15.设定义在上，是的极小值点，则（ ）
A.
B. 有
C. 当时，有
D.
16.设是二元函数，且使得，则函数是（ ）
A.有理函数 B. 无理函数 C. 代数函数 D. 超越函数
17.设是内的严格上凸函数，则（ ）
A. 在内必取到最大值 B. 在内必取到最小值
C. 在内有 D. 前三个结论都不对
18. 在内连续可导，且，使得，则是（ ）
A. 稳定点 B. 极值点 C. 拐点 D. 临界点
19. 。
A．= B． C． D．
20. 复数集C是（ ）。
A．可以成为有序域 B．不能成为有序域 C．不能成为有序集 D．前三个结论都不对
21.是从到的映射，且，，则。
A． B． C． = D．
22. 函数，在点处（ ）。
A．可导 B．连续 C．间断 D．前三个结论都不对
23. 函数在开区间内连续，则（ ）正确。
A．在内有界 B．在内可导
C．在内取得极值 D．前三个结论都不对
24. 函数定义在区间内，且在点处连续，则结论（ ）正确。
A． 在点的某个邻域内有界 B． 在内有界
C． 在点处可导 D．在点处取得极值.
25．，当（ ）时，，有
A．连续 B．可导 C．是满射 D．是单射
26．按教材中定义，0是（ ）
A．自然数 B．整数而不是自然数 C．奇数 D．超越数
27．定义实数集上的两个函数与，它们之间的关系是（ ）
A．相等 B． 不相等 C．线性无关 D．相似
28．设是其定义域内的严格单调增加函数，则（ ）
A．不一定有反函数； B．有连续的反函数；
C．有反函数且反函数严格单调增加； D．有反函数且反函数严格单调减少。
29．设是其定义域内可导，则（ ）.
A． 在其定义域内有界； B．在其定义域内有界
C．在其定义域内有界 D．前三个结论都不对
30．设是一非空有界闭凸集，是严格下凸函数，是极小值点，则（ ）.
A．是最小值点. B．不一定是最小值点
C．还可能有其他的极小值点 D．前三个结论都不对

三、计算题
1.设，求
2.设，求
3.求函数的极值
4.已知重根号），求
5．求过抛物线上的点的切线方程。
6．已知，求。
7．已知，求的最小值。
8．若，求。
9.设，求.
10.已知的曲线经过点，且曲线上任意点的切线的斜率是该点横坐标的2倍，求.
11.已知，求.
12.已知，求.
13. 求过椭圆上的点的切线方程。
14．已知，求。
15．已知与是复数，且，求 。
16．已知，且，求的最大值。
17．设与是两个复数，求，并说明几何意义.
18．已知，求.
19．求为何值时，是严格单调增加函数？
20．在第一象限内有定点，过点做线段，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，为坐标原点。求点与点的坐标各为多少时的面积最小，最小面积是多少？.

四、证明题
1.证明（1）（4分）
（2）（4分）
2.证明 设数集与均有上界，则集合有上界，且

3.证明 设，有

4.证明 设是从到的连续函数，则存在点,使得.
5．设有映射，证明：
（1）若是满射，则是满射．
（2）若是满射，且是单射，则是满射．
6．若在点处连续，则在点处也连续．
7．证明：方程在区间内有且仅有一个实根。
8．证明不是周期函数。
9.设定义在上，对于任意的，有
，
则是常值函数.
10.证明（1） (4分)
(2) （4分）
11.若函数在闭区间上连续，且皆属于，则至少存在一点，使得

12.设证明
13、求过椭圆上的点的切线方程。
14、已知，求。
15、已知与是复数，且，求 。
16、已知，且，求的最大值。
17、设有映射，若对于任意的，有，则是单射，是满射。
18、若在上连续，且，则在上有界。
19、证明：两个多项式
,
在区间内相等（）当且仅当
20、证明：若，则 。
21．是集合中的两个等价关系。证明：若是等价关系，则=。
22．证明方程在内有且仅有一实根。
23．证明：当时，有.
24．设为三角形三内角，则.

《高观点下中学数学——分析学》练习题二

一、填空题
1．。
2．设，则。
3．设是非空实数集，当且仅当1） ；2）有。
4．有限覆盖定理是：若开区间集覆盖闭区间，则 。
5．设，则。
6．设，则。
7．集合X中的关系R同时为（ ），则称关系R为等价关系。
8．设是非空数集，若存在实数，满足1），有；2）（ ），则称是数集的上确界。
9．函数在0的某个邻域内有定义，若（ ），则称函数在点0连续。
10．若是指数函数，则满足函数方程（ ）。
11．若是余弦函数，则满足函数方程（ ）。
12．设集合，是凸集当且仅当（ ）。
13．集合X中的关系R同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R为（ ）
14．设E是非空数集，若存在实数β，满足1），，有；2）（ ），则称β是数集E的下确界。
15．函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义。若（ ）存在，则称函数f(x)在点x0可导。
16．若y=f(x)是对数函数，则f(x)满足函数方程（ ）。
17．若非零连续函数f(x)满足方程f(x+y)=f(x)+f(y)，则函数f(x)是（ ）函数。
18．设函数f(x)定义在区间（a,b）上，对于任意的x1，x2∈（a,b），，有（ ）成立，则称f(x)在（a,b）上为下凸函数。

二、单项选择题
1．当（ ）时， 有。
A．连续 B． 可导 C．是满射 D．是单射
2．
A．1 B． C． D．
3．是（ ）。
A．周期函数 B．奇函数 C．偶函数 D．有界函数
4．是（ ）。
A．代数函数 B．超越函数 C． 多项式函数 D．有理函数
5．若函数在点可导，则在点（ ）
A．可导 B．连续 C．间断 D．无定义
6．若函数，则在（ ）。
A．连续 B．可导 C．间断 D．无定义
7．（当且仅当（ ）
A. = B. C. D.
8.已知函数在实数集上可导，且在上有界，则函数在上（ ）。
A．有界 B. 无界 C. 连续 D. 不连续
9、已知函数在闭区间上连续，则在上（ ）。
A．可导 B. 不可导 C. 可积 D.不可积
10．已知函数与，在上满足关系＜则（ ）
A． B.
C. D.前三个结论都不对
11．函数在开区间内连续，则在内（ ）
A．有界 B.可导 C. 可积 D. 前三个结论都不对
12．函数在点处（ ）
A．可导 B. 连续 C. 间断 D. 前三个结论都不
13．设f：X→Y，，则A（ ）f-1(f(A))
A. = B. ≠ C. D.
14．已知函数y=f(x)在区间（a, b）上可导，，有，则（ ）。
A. f′(x)有界 B. f′(x)无界 C. f(x)可积 D. f(x)不可积
15．已知函数f(x)与在[a, b]上可导，且f(x)<，则（ ）。
A. f′(x) ≠ B. f′(x) < C. f′(x) > D. 前三个结论都不对
16．已知，对于，定义，则F（x）在区间[0，2]上（ ）。
A. 连续 B. 不连续 C. 可导 D. 前三个结论都不对
17．已知f(x)是区间[a, b]上的严格下凸函数，则（ ）。
A. B. 最小值唯一 C. D. 最大值唯一
18．定义在（0，1）上，则f(x)在（0，1）上是( )函数
A. 有界 B. 无界 C. 周期 D. 偶

三、计算题
1．设，求。
2．设，求。
3．一物体从米高处自由落下，求物体撞击地面的速度。
4．求函数的定义域与极值。
5．已知，求
6．已知。求该函数曲线的渐近线.
7．计算积分
8．已知……求的最小值点.
9．已知，求
10．求定积分
11．已知，求f(x)
12．求

四、证明题
1．设为集合中的等价关系，是的等价类，对于，若，则。

密

封

线
2．若为三角形的三个内角，证明：
3．若，证明：不等式．
4．若是的周期，则的任一正周期必是的正整数倍。
5．证明，若则
6．设数列满足且，则级数收敛.
7．证明，若函数在上连续，有数列，……，且，则存在 使.
8．已知证明
9．设数列{an}满足an>0且，则收敛。
10．已知函数f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内存在二阶导数，且f(a)=f(b)=0，存在。则至少存在一点，使。
11．已知，证明
12．已知函数在[a,b]上连续非负，且存在一点，使，则。