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无约束重力模式

根据无约束重力模型公式：
两边取对数得
Ln(Tij)=lnk+αlnGi+βlnAj-γlntij
Tij─ 交通区i到交通区j的出行分布量：
Gi─ 交通区i的出行产生总量：
Aj─ 交通区j的出行吸引总量：
K，α，β，γ─ 模型参数；
公式转换为:Y=K+αx1+βx2-γx3
参数的确定是通过拟合现状OD调查资料，用最小二乘法确定。
现有一规划区域，共划分为5个交通区，经调查其现状OD分布见表1，各交通区间的出行时间见表2，通过对各交通区的交通生成进行预测，得到各交通区未来交通产生、吸引量见表3，分析计算得到未来各交通区间的交通出行时间见表4。
表A1（现状OD分布）
交通区
1
2
3
4
5
1
800
600
200
300
400
2
200
2100
500
200
150
5
450
240
900
100
50
4
110
100
240
700
50
5
90
50
100
120
600
表B2（各交通区间的出行时间）
交通区
1
2
3
4
5
1
5
10
18
20
30
2
12
4
10
25
20
3
15
10
8
15
35
4
20
25
15
10
30
5
35
25
35
35
12
表C2（各交通区未来交通产生，吸引量）
交通区
产生量
吸引量
1
5200
4400
2
4500
4100
3
3300
3400
4
2100
2700
5
2300
2200
表D1（未来各交通区间的交通出行时间）
交通区
1
2
3
4
5
1
5
10
12
15
20
2
10
4
8
20
20
3
10
10
7
10
30
4
15
20
10
8
20
5
30
20
30
30
10

解： 选用出行时间的函数形式，将无约束重力模型变为：
Ln(Tij)=lnk+αlnGi+βlnAj-γlntij
格式LN(number)：number是用于计算其自然对数的正实数。Ln是exp函数的反函数
计算步骤：打开数据文件，在定下的单元格中输入公式 Ln(number),按下number之后选择要计算的数字，然后按下Entre键后公式将返回计算结果如下表：

i
j
T
G
A
T
lnT
lnG
lnA
lnt
1
1
800
5200
4400
5
6.684612
8.556414
8.38936
1.609438
1
2
600
5200
4100
10
6.39693
8.556414
8.318742
2.302585
1
3
200
5200
3400
12
5.298317
8.556414
8.131531
2.484907
1
4
300
5200
2700
15
5.703782
8.556414
7.901007
2.70805
1
5
400
5200
2200
20
5.991465
8.556414
7.696213
2.995732
2
1
200
4500
4400
10
5.298317
8.411833
8.38936
2.302585
2
2
2100
4500
4100
4
7.649693
8.411833
8.318742
1.386294
2
3
500
4500
3400
8
6.214608
8.411833
8.131531
2.079442
2
4
200
4500
2700
20
5.298317
8.411833
7.901007
2.995732
2
5
150
4500
2200
20
5.010635
8.411833
7.696213
2.995732
3
1
450
3300
4400
10
6.109248
8.101678
8.38936
2.302585
3
2
240
3300
4100
10
5.480639
8.101678
8.318742
2.302585
3
3
900
3300
3400
7
6.802395
8.101678
8.131531
1.94591
3
4
100
3300
2700
10
4.60517
8.101678
7.901007
2.302585
3
5
50
3300
2200
30
3.912023
8.101678
7.696213
3.401197
4
1
110
2100
4400
15
4.70048
7.649693
8.38936
2.70805
4
2
100
2100
4100
20
4.60517
7.649693
8.318742
2.995732
4
3
240
2100
3400
10
5.480639
7.649693
8.131531
2.302585
4
4
700
2100
2700
8
6.55108
7.649693
7.901007
2.079442
4
5
50
2100
2200
20
3.912023
7.649693
7.696213
2.995732
5
1
90
2300
4400
30
4.49981
7.740664
8.38936
3.401197
5
2
50
2300
4100
20
3.912023
7.740664
8.318742
2.995732
5
3
100
2300
3400
30
4.60517
7.740664
8.131531
3.401197
5
4
120
2300
2700
30
4.787492
7.740664
7.901007
3.401197
5
5
600
2300
2200
10
6.39693
7.740664
7.696213
2.302585

Y
X1
X2
X3

Y=K+αx1+βx2-γx3此方程为线性回归方程，
k, α，β，γ是用最小二乘法标定。计算步骤：
[c¹·c]¯¹c¹·y=β^
c=(1 x)：
Y

X1
X2
X3
6.6846
1
8.5564
8.3894
1.6094
6.3969
1
8.5564
8.3187
2.3026
5.2983
1
8.5564
8.1315
2.4849
5.7038
1
8.5564
7.9010
2.7081
5.9915
1
8.5564
7.6962
2.9957
5.2983
1
8.4118
8.3894
2.3026
7.6497
1
8.4118
8.3187
1.3863
6.2146
1
8.4118
8.1315
2.0794
5.2983
1
8.4118
7.9010
2.9957
5.0106
1
8.4118
7.6962
2.9957
6.1092
1
8.1017
8.3894
2.3026
5.4806
1
8.1017
8.3187
2.3026
6.8024
1
8.1017
8.1315
1.9459
4.6052
1
8.1017
7.9010
2.3026
3.9120
1
8.1017
7.6962
3.4012
4.7005
1
7.6497
8.3894
2.7081
4.6052
1
7.6497
8.3187
2.9957
5.4806
1
7.6497
8.1315
2.3026
6.5511
1
7.6497
7.9010
2.0794
3.9120
1
7.6497
7.6962
2.9957
4.4998
1
7.7407
8.3894
3.4012
3.9120
1
7.7407
8.3187
2.9957
4.6052
1
7.7407
8.1315
3.4012
4.7875
1
7.7407
7.9010
3.4012
6.3969
1
7.7407
7.6962
2.3026

将C=( 1 x)转置的步骤是：
按矩阵c选择行列数，在单元格中输入:
=TRANSPOSE(B2:E26)，然后按Cntrl+Shift+Enter组合键
最后得出的结果是如下表（C¹）:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8.556414
8.556414
8.556414
8.556414
8.556414
8.411833
8.411833
8.411833
8.411833
8.411833
8.101678
8.1017
8.10168
8.101678
8.101678
7.649693
7.649693
7.649693
7.649693
7.649693
7.740664
7.740664
7.740664
7.740664
7.740664
8.38936
8.318742
8.131531
7.901007
7.696213
8.38936
8.318742
8.131531
7.901007
7.696213
8.38936
8.3187
8.13153
7.901007
7.696213
8.38936
8.318742
8.131531
7.901007
7.696213
8.38936
8.318742
8.131531
7.901007
7.696213
1.609438
2.302585
2.484907
2.70805
2.995732
2.302585
1.386294
2.079442
2.995732
2.995732
2.302585
2.3026
1.94591
2.302585
3.401197
2.70805
2.995732
2.302585
2.079442
2.995732
3.401197
2.995732
3.401197
3.401197
2.302585

下一步的步骤是[C¹.c]；
依据C4×25·C25×4＝C4×4 选择单元格区域的行列数，在单元格区域中输入为=MMULT(A28:Y31,B2:E26)，然后然后按Cntrl+Shift+Enter组合键

最后得出的结果是如下表[C¹.c]：
25
202.3014
202.1843
64.69881
202.3014
1640.22
1636.086
521.8098
202.1843
1636.086
1636.811
522.0168
64.69881
521.8098
522.0168
175.021

下一步是算[C¹.c] ¯¹；
先选择单元格区域的行列数，在单元格区域中输入： =MINVERSE(B34:E37)
然后按Cntrl+Shift+Enter组合键。
得出的结果是如下表[C¹.c] ¯¹：
88.85468
-3.7687
-6.4898
-2.2538
-3.7687
0.365695
0.069688
0.095011
-6.4898
0.069688
0.691824
0.12784
-2.2538
0.095011
0.12784
0.174296

下一步是算[C¹.c] ¯¹.C¹；
依据C4×4·C4×25＝C4×25选择单元格区域中的行列数，在单元格
区域中输入为：=MMULT(B39:E42,A28:Y31)，按Cntrl+Shift+Enter组合键。
得出的结果是如下表[C¹.c] ¯¹.C¹：
-1.4645
-2.56842
-1.76437
-0.77124
-0.09055
-2.48183
0.041599
-0.30565
-0.87474
0.454338
-1.31295
-0.855
1.16418
1.856362
0.709383
-0.52339
-0.71347
2.063708
4.06268
3.326618
-2.42845
-1.05632
-0.75519
0.740861
4.545988
0.097888
0.158824
0.1631
0.168237
0.181298
0.110873
0.018893
0.071704
0.142697
0.128426
-0.00255
-0.007
-0.0544
-0.03658
0.053527
-0.12931
-0.1069
-0.18581
-0.22307
-0.15029
-0.03019
-0.07363
-0.04816
-0.06422
-0.18287
0.11619
0.155947
0.049738
-0.08122
-0.18612
0.194726
0.028733
-0.01217
-0.05452
-0.1962
0.173112
0.1243
-0.0509
-0.16474
-0.16598
0.193449
0.181372
-0.03676
-0.22477
-0.24931
0.288401
0.187711
0.110029
-0.04945
-0.33158
-0.08783
0.02396
0.031804
0.041227
0.065188
0.01925
-0.14948
-0.0526
0.077632
0.051451
-0.01022
-0.019
-0.1053
-0.07265
0.092654
0.017509
0.058623
-0.08612
-0.15449
-0.02096
0.146965
0.067267
0.114004
0.084534
-0.13313

下一步是算[C¹.c] ¯¹.C¹Y：
依据C4×25·C25×1＝C4×1选择单元格区域中的行列数，在单元格区域中输入为：=MMULT(A45:Y48,A2:A26) 。然后按Cntrl+Shift+Enter组合键。
得出的结果是如下表[C¹.c] ¯¹.C¹Y：
LNK
8.222704
α
0.481022
β
-0.3757
γ
-1.4067

经过最小二乘法标定后，得到
K=2.106，α=0.481, β=-0.375, γ=-1.406
则所求的无约束重力模型为：

将预测各交通区发生，吸引量和预测各交通区间出行时间代入公式得到的交通分布预测结果如下表：
交通区
1
2
3
4
5
产生总量
1
53.21
145.21
201.3
300
485.20
1184.92
2
132.37
37.2
106.46
418.57
446.15
1140.75
3
114.03
116.77
75.93
136.81
688.05
1131.59
4
161.18
247.36
100.26
81
313.13
902.927
5
446.63
258.40
488
535.84
124.13
1853
吸引总量
907.42
804.937
971.95
1472.22
2056.66

无约束重力模型得到的交通分布预测结果：

可见采用无约束重力模型得到交通分布预测结果与己知的相对照，不满足约束条件∑Tij=Aj , ∑Tij=Gi 中的任何一个。